Mozgásos szöveges feladatok

Reggel nyolckor Budapestről elindul az M6-os autópályán egy autó 90 km/h sebességgel. Vele szemben ugyanabban a pillanatban Pécsről elindul egy másik autó 115 km/h sebességgel. A két város között az autópálya 205 km hosszú. Mikor és hol találkoznak az autók?

A mozgásos feladatok mindig másnak látszanak, de szinte mindet ugyanazzal a trükkel meg lehet fejteni. Minden járműre felírjuk, hol van a t időpontban, aztán azt a pillanatot keressük, amikor mindkettő ugyanazon a helyen van. Minden állandó sebességgel megy, ezért elég az egyenes vonalú egyenletes mozgás képlete és a feladatok megoldásának szokásos eljárása.

Két autó egymással szemben

Felírjuk, amit tudunk és amit keresünk. A budapesti autó az 1-es indexet kapja, a pécsi a 2-est:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Minden kilométerben és órában van, a mértékegységek nincsenek keverve, ezért nem kell átváltanunk. Az idő órában jön ki.

Segít a vázlat. Az autópálya mentén kifeszítünk egy x tengelyt. Az origót Budapestre tesszük, így Pécs a 205 km helyen van.

Vázlat: az x tengely az autópálya mentén, a budapesti piros autó a v_1 sebességgel jobbra megy, a pécsi kék autó a v_2 sebességgel balra

A piros autó a tengely irányában megy, ezért a helye egyszerűen a megtett út:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

A kék autó a 205 km helyről indul, és a tengellyel ellentétes irányba megy. A helye ezért óránként 115 km értékkel csökken:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

A mínusz itt ugyanazért van, amiért Bence grafikonja csökkent, amikor hazafelé ment. A fizikus nyugodtan mondhatná, hogy a kék autó sebessége −115 km/h. Mi a sebességet pozitívan hagyjuk, ahogy a sebességmérő mutatja, az irányt pedig előjellel írjuk a képletbe.

Az autók akkor találkoznak, amikor ugyanazon a helyen vannak, vagyis amikor x₁ = x₂. A feladatot általánosan oldjuk meg:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

A második sor egyenletek nélkül is értelmes. A v₁ · t kifejezés a piros autó útja, a v₂ · t a kéké, és együtt megteszik a két város közötti egész távolságot. Minden órában 90 km + 115 km = 205 km értékkel közelednek egymáshoz. Behelyettesítünk:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

A mértékegységek stimmelnek: kilométer osztva kilométer per órával óra. A találkozás helyét úgy kapjuk meg, hogy az időt behelyettesítjük bármelyik autó helyének képletébe:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Ellenőrzésül: a kék autó ebben a pillanatban a 205 km − 115 km = 90 km helyen van, tehát ugyanott. A becslés is stimmel. Ha mindkét autó egyformán gyorsan menne, az út felénél találkoznának. A pécsi autó gyorsabban megy, ezért Budapesthez közelebb találkoznak. A válasz: az autók kilenc órakor találkoznak, Budapesttől 90 km távolságra. Integetni a sofőrök valószínűleg nem érnek rá, hiszen óránként éppen 205 km értékkel közelednek egymáshoz.

A grafikonok metszéspontja

Ugyanezt a feladatot egyenlet nélkül is megoldjuk. A két autó helyét egy grafikonba rajzoljuk, ahogy korábban az autót és a kamiont.

A budapesti autó (pirossal) és a pécsi autó (kékkel) helyének grafikonja. A narancssárga metszéspont megmutatja, mikor és hol találkoznak az autók

A piros egyenes az origóból indul, és 90 km/h meredekséggel emelkedik. A kék a 205 km magasságból indul, és csökken, mert az autó a tengellyel ellentétes irányba megy. Meredekebben csökken, mint ahogy a piros emelkedik, mert a pécsi autó gyorsabb. Budapestre, ahol a hely nulla, nem egészen két óra alatt ér oda.

Ahol az egyenesek metszik egymást, a két autónak ugyanabban az időben ugyanaz a helye. Ez pontosan a találkozás. A narancssárga metszéspontból lemegyünk az időtengelyre, és leolvassuk az 1 h értéket, balra megyünk a függőleges tengelyre, és leolvassuk a 90 km értéket.

Az x₁ = x₂ egyenlet megoldása ugyanaz, mint két egyenes metszéspontjának keresése, csak rajzolás helyett számolunk. A grafikon megmutatja, mi történik a feladatban, és gyors becslést ad. Az egyenlet pontos számot ad akkor is, ha a metszéspont a beosztások közé esik.

Utolérés

Székesfehérvárról elindul egy kerékpáros állandó 18 km/h sebességgel. Egy órával utána ugyanazon az úton elindul egy autó 54 km/h sebességgel. Mikor és hol éri utol a kerékpárost?

Döntsük el, honnan mérjük az időt. A legkényelmesebb, ha akkor indítjuk a stoppert, amikor az autó elindul. A kerékpárosnak ekkor már egy óra menet van mögötte, ez 18 km előny. Ez az ő kezdeti útja, az s₀ az s = s₀ + v · t képletből. A kerékpáros csak előre megy, és a tengely origójából indult, ezért a kezdeti útja egybeesik a kezdeti helyével. A tengelyt az út mentén húzzuk meg, az origó Székesfehérvár. A kerékpáros az 1-es indexet kapja, az autó a 2-est:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Mindketten a tengely irányában mennek, így a helyük

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Az autó akkor éri utol a kerékpárost, ha ugyanazon a helyen lesznek, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Ezúttal a nevezőben a sebességek különbsége áll. Az autó minden órában 54 km − 18 km = 36 km értéket farag le az előnyből, ahogy korábban az autó előnye a kamionnal szemben a sebességeik különbségével nőtt. Kiszámoljuk:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Az autó fél óra, vagyis 30 min alatt éri utol a kerékpárost. A találkozás helyét az autó helyéből olvassuk le:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

A kerékpáros ugyanabban a pillanatban a 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km helyen van, stimmel. A válasz: az autó fél órával az indulása után éri utol a kerékpárost, Székesfehérvártól 27 km távolságra.

Itt is megrajzoljuk a hely grafikonját. Az időtengelyen ezúttal az autó indulása óta eltelt percek vannak, hogy az ábrán ne legyenek tizedes számok.

A kerékpáros (kékkel) és az autó (pirossal) helyének grafikonja, az idő percben az autó indulásától. A narancssárga metszéspont megmutatja, mikor és hol éri utol az autó a kerékpárost

A kerékpáros kék egyenese nem az origóból indul, hanem a 18 km magasságból, éppen úgy, mint a kilométerkő mellett elhaladó autó grafikonja. Az autó piros egyenese nullából indul, és meredekebb. Az egyenesek közötti függőleges távolság a kerékpáros előnye. Percről percre csökken, amíg a 30 min és 27 km helyen lévő metszéspontban teljesen el nem tűnik. A metszéspont után a piros egyenes a kék fölött van: az autó megelőzte a kerékpárost, és már távolodik tőle.

Vigyázat, mire válaszolunk. A fél órát az autó indulásától mérjük. A kerékpáros ekkor már másfél órája teker. Ha vele indítottuk volna a stoppert, másfél óra jönne ki. Mindkettő igaz, csak a két időt más pillanattól mérjük, ezért a válaszban meg kell adnunk, melyiktől.

A képletből még valamit kiolvasunk. Ha az autó csak 18 km/h sebességgel menne, nulla lenne a nevezőben. Nullával osztani nem lehet, és az autó még Veszprémben sem érné utol a kerékpárost.

Vonat az alagútban

Egy 200 m hosszú vonat állandó 72 km/h sebességgel halad át egy 1 km hosszú alagúton. Mennyi ideig tart, amíg teljesen áthalad az alagúton, vagyis a mozdony behajtásától az utolsó kocsi kihajtásáig?

Csábító az alagút hosszát elosztani a sebességgel. A vonatot azonban itt nem tekinthetjük tömegpontnak, mert az eredményt éppen a hossza dönti el, és vázlat nélkül ezt könnyen átnézzük.

Szürkén szaggatottan a vonat, amikor az eleje behajt az alagútba, folytonosan a vonat, amikor a vége kihajt az alagútból. Az eleje mindkét helyzetben narancssárga, pirossal az s út, amelyet megtesz

Elég a vonat egyetlen pontját követni, a mozdony elejét (narancssárgával). A kezdetén az alagút bejáratánál van. Amikor az utolsó kocsi kihajt az alagútból, az eleje a kijáraton túl van a vonat teljes hosszával. Megtette tehát az alagút hosszát (kékkel), és hozzá a vonat hosszát (zölddel):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

A hosszak méterben vannak, ezért a sebességet átváltjuk méter per másodpercre:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Az idő az út osztva a sebességgel:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Méter osztva méter per másodperccel másodperc, így a vonat egy perc alatt halad át az alagúton. Aki csak az alagút hosszát vette, 50 s értéket kapott. Ebben a pillanatban azonban a mozdony éppen csak kihajt, és az egész vonat mögötte még az alagútban van. A becslés stimmel: a kilométert a vonat ötven másodperc alatt teszi meg, és a kétszáz métert még tíz másodperc alatt.

Számold ki még, mennyi ideig van a vonat teljes egészében az alagútban. Ez attól a pillanattól kezdődik, amikor az utolsó kocsi behajt az alagútba, és az eleje tehát 200 m távolságra van a bejárattól. Akkor ér véget, amikor az eleje eléri a kijáratot. Az eleje 1000 m − 200 m = 800 m utat tesz meg, ami 40 s ideig tart. A vonat hosszát ezúttal levonjuk.

Folyón lefelé és felfelé

A Dunán egy kirándulóhajó halad. A vízhez képest 15 km/h sebességgel megy, és a folyó 3 km/h sebességgel folyik. Mennyi idő alatt ér a 36 km távolságra lévő kikötőbe lefelé, és mennyi idő alatt jön vissza?

A hajó sebességét a vízhez képest mérjük. Ha a hajós leállítaná a motort, a víz 3 km/h sebességgel sodorná a hajót. Mint mindig, itt is az számít, mihez képest mérjük a mozgást. A parthoz képest a hajó lefelé óránként 15 km utat tesz meg a saját erejéből, és a víz ezen felül még 3 km értékkel előrébb viszi. A hajó az 1-es indexet kapja, a folyó a 2-est. A lefelé tartó út idejének jele $t_{+}$ , mert a sebességek összeadódnak, a felfelé tartóé $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Lefelé a sebességek összeadódnak, és az út ennyi ideig tart:

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Felfelé a víz óránként 3 km értékkel visszahúzza a hajót, és a sebességek kivonódnak:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilométer osztva kilométer per órával óra. A hajó két óra alatt ér a kikötőbe, és három óra alatt jön vissza.

Ha a folyó elérné a hajó vízhez viszonyított sebességét, a második képlet nevezőjében nulla lenne, éppúgy, mint az autónál, amely csak 18 km/h sebességgel menne a kerékpáros után. A hajó felfelé a parthoz képest egy helyben állna, és a hajós akár egész nap járathatná a motort, a kiinduló kikötő egy méterrel sem kerülne közelebb.

És most egy csapda. Mekkora volt a hajó átlagsebessége az egész úton, oda és vissza? Aki azt mondja, hogy 15 km/h, mert a folyó egyszer segített, egyszer ártott ugyanannyit, éppúgy beleesett a csapdába, mint az oda 60, vissza 40 feladatnál. A hajó 72 km utat tett meg 5 h alatt:

$v_{á tl} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Felfelé tovább haladt, két óra helyett hármat, és az átlag ezért a lassabb sebesség felé húzódott. Állóvízben ugyanezt a 72 km utat 4,8 h alatt tenné meg, vagyis 4 h és 48 min alatt. A folyó, amely ugyanannyit segít, mint amennyit árt, az oda-vissza utat mindig meghosszabbítja.

A cikk összes feladatában az autók, a vonatok és a hajók állandó sebességgel mentek. A valódi autónak azonban először el kell indulnia, és a cél előtt megint le kell fékeznie. Hogyan írjuk le azt a mozgást, amelynél a sebesség változik, azt a következő cikkben mutatjuk meg, a Gyorsulás cikkben.

« Előző: Hogyan oldjuk meg a kinematikai és dinamikai feladatokat

Következő: Gyorsulás »