Zadania tekstowe o ruchu

O ósmej rano z Warszawy wyjeżdża drogą ekspresową S8 samochód z prędkością 90 km/h. Naprzeciw niego w tej samej chwili rusza z Białegostoku drugi samochód z prędkością 115 km/h. Droga między miastami ma 205 km. Kiedy i gdzie samochody się spotkają?

Zadania o ruchu za każdym razem wyglądają inaczej, ale prawie wszystkie da się rozgryźć tym samym sposobem. Dla każdego pojazdu zapisujemy, gdzie jest w chwili t, a potem szukamy momentu, w którym oba są w tym samym miejscu. Wszystko jedzie ze stałą prędkością, więc wystarczą nam wzory na ruch jednostajny prostoliniowy i zwykły sposób rozwiązywania zadań.

Dwa samochody naprzeciw siebie

Zapisujemy dane i szukane. Samochód z Warszawy dostaje indeks 1, samochód z Białegostoku indeks 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Wszystko jest w kilometrach i godzinach, jednostki się nie mieszają, więc nie musimy zamieniać. Czas wyjdzie nam w godzinach.

Pomoże szkic. Wzdłuż drogi rozciągamy oś x. Początek umieszczamy w Warszawie, więc Białystok leży na 205 km.

Szkic: oś x wzdłuż drogi, czerwony samochód z Warszawy jedzie z prędkością v_1 w prawo, niebieski samochód z Białegostoku z prędkością v_2 w lewo

Czerwony samochód jedzie zgodnie z kierunkiem osi, więc jego położenie to po prostu droga, którą przejechał:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Niebieski samochód zaczyna na 205 km i jedzie przeciwnie do kierunku osi. Jego położenie zmniejsza się więc w każdej godzinie o 115 km:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Minus jest tu z tego samego powodu, dla którego opadał wykres Antka w drodze do domu. Fizyk powiedziałby spokojnie, że niebieski samochód ma prędkość −115 km/h. My zostawimy prędkość dodatnią, tak jak pokazuje ją prędkościomierz, a zwrot zapiszemy znakiem we wzorze.

Samochody się spotkają, gdy będą w tym samym miejscu, czyli gdy x₁ = x₂. Zadanie rozwiązujemy ogólnie:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Drugi wiersz ma sens także bez równań. Wyrażenie v₁ · t to droga czerwonego samochodu, v₂ · t droga niebieskiego, a razem przejeżdżają całą odległość między miastami. W każdej godzinie zbliżają się do siebie o 90 km + 115 km = 205 km. Podstawiamy:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Jednostki się zgadzają: kilometry podzielone przez kilometry na godzinę to godziny. Miejsce spotkania dostaniemy, podstawiając czas do położenia któregokolwiek samochodu:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Dla sprawdzenia: niebieski samochód jest w tej chwili na 205 km − 115 km = 90 km, czyli w tym samym miejscu. Zgadza się też oszacowanie. Gdyby oba samochody jechały równie szybko, spotkałyby się w połowie drogi. Samochód z Białegostoku jedzie szybciej, więc spotkają się bliżej Warszawy. Odpowiedź: samochody spotkają się o dziewiątej, 90 km od Warszawy. Pomachać sobie kierowcy raczej nie zdążą, przecież pędzą ku sobie właśnie z prędkością 205 km na godzinę.

Punkt przecięcia wykresów

To samo zadanie rozwiążemy też bez równania. Położenia obu samochodów narysujemy na jednym wykresie, tak jak wcześniej samochód i ciężarówkę.

Wykres położenia samochodu z Warszawy (na czerwono) i samochodu z Białegostoku (na niebiesko). Pomarańczowy punkt przecięcia pokazuje, kiedy i gdzie samochody się spotkają

Czerwona prosta wychodzi z początku układu i wznosi się z nachyleniem 90 km/h. Niebieska zaczyna się na wysokości 205 km i opada, bo samochód jedzie przeciwnie do kierunku osi. Opada bardziej stromo, niż czerwona się wznosi, bo samochód z Białegostoku jest szybszy. Do Warszawy, gdzie położenie jest zerowe, dojedzie w niecałe dwie godziny.

Tam, gdzie proste się przecinają, oba samochody mają w tej samej chwili to samo położenie. To jest właśnie spotkanie. Z pomarańczowego punktu przecięcia schodzimy na oś czasu i odczytujemy 1 h, w lewo na oś pionową i odczytujemy 90 km.

Rozwiązywanie równania x₁ = x₂ to to samo co szukanie punktu przecięcia dwóch prostych, tylko zamiast rysować liczymy. Wykres pokaże, co się w zadaniu dzieje, i da szybkie oszacowanie. Równanie da dokładną liczbę także wtedy, gdy punkt przecięcia wypadnie między kratkami.

Doganianie

Z Grójca wyjeżdża rowerzysta ze stałą prędkością 18 km/h. Godzinę po nim tą samą drogą rusza samochód z prędkością 54 km/h. Kiedy i gdzie dogoni rowerzystę?

Zdecydujmy, od kiedy będziemy mierzyć czas. Najwygodniej włączyć stoper w chwili, gdy wyjeżdża samochód. Rowerzysta ma wtedy za sobą godzinę jazdy, czyli 18 km przewagi. To jego droga początkowa s₀ ze wzoru s = s₀ + v · t. Rowerzysta jedzie tylko do przodu i wyjechał z początku osi, więc jego droga początkowa pokrywa się z położeniem początkowym. Oś poprowadzimy wzdłuż drogi z początkiem w Grójcu. Rowerzysta dostanie indeks 1, samochód indeks 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Obaj jadą zgodnie z kierunkiem osi, więc ich położenia to

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Samochód dogoni rowerzystę, gdy będą w tym samym miejscu, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Tym razem w mianowniku stoi różnica prędkości. Samochód w każdej godzinie odrabia 54 km − 18 km = 36 km straty, tak jak wcześniej przewaga samochodu nad ciężarówką rosła o różnicę ich prędkości. Obliczamy:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Samochód dogoni rowerzystę po pół godzinie, czyli po 30 min. Miejsce spotkania odczytamy z położenia samochodu:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Rowerzysta jest w tej samej chwili na 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, zgadza się. Odpowiedź: samochód dogoni rowerzystę pół godziny po wyjeździe, 27 km od Grójca.

Także tutaj narysujemy wykres położenia. Na osi czasu są tym razem minuty od wyjazdu samochodu, żeby na rysunku nie pojawiły się ułamki dziesiętne.

Wykres położenia rowerzysty (na niebiesko) i samochodu (na czerwono), czas w minutach od wyjazdu samochodu. Pomarańczowy punkt przecięcia pokazuje, kiedy i gdzie samochód dogoni rowerzystę

Niebieska prosta rowerzysty nie zaczyna się w początku układu, ale na wysokości 18 km, tak jak wykres samochodu, który mijał słupek kilometrowy. Czerwona prosta samochodu wychodzi od zera i jest bardziej stroma. Pionowy odstęp między prostymi to przewaga rowerzysty. Z każdą minutą się zmniejsza, aż w punkcie przecięcia, przy 30 min i 27 km, znika całkowicie. Za punktem przecięcia czerwona prosta leży nad niebieską: samochód wyprzedził rowerzystę i już się oddala.

Uważajmy, na jakie pytanie odpowiadamy. Pół godziny liczymy od wyjazdu samochodu. Rowerzysta pedałuje w tej chwili już półtorej godziny. Gdybyśmy włączyli stoper razem z nim, wyszłoby półtorej godziny. Jedno i drugie jest prawdą, każdy czas mierzy się tylko od innej chwili, i dlatego musimy ją podać w odpowiedzi.

Ze wzoru odczytamy jeszcze jedną rzecz. Gdyby samochód jechał tylko 18 km/h, w mianowniku byłoby zero. Przez zero dzielić nie można i samochód nie dogoniłby rowerzysty nawet w Radomiu.

Pociąg w tunelu

Pociąg o długości 200 m przejeżdża ze stałą prędkością 72 km/h przez tunel, który ma 1 km. Ile czasu zajmuje mu przejechanie przez cały tunel, czyli od wjazdu lokomotywy do wyjazdu ostatniego wagonu?

Kusi, żeby podzielić długość tunelu przez prędkość. Pociągu nie możemy tu jednak traktować jako punktu materialnego, bo o wyniku decyduje właśnie jego długość, a bez szkicu łatwo to przeoczyć.

Na szaro przerywaną linią pociąg, gdy jego czoło wjeżdża do tunelu, linią ciągłą pociąg, gdy z tunelu wyjeżdża jego koniec. Czoło jest w obu położeniach na pomarańczowo, na czerwono droga s, którą przejeżdża

Wystarczy śledzić jeden punkt pociągu, czoło lokomotywy (na pomarańczowo). Na początku jest przy wjeździe do tunelu. Gdy z tunelu wyjeżdża ostatni wagon, czoło jest za wyjazdem o całą długość pociągu. Przejechało więc długość tunelu (na niebiesko) i do tego długość pociągu (na zielono):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Długości są w metrach, prędkość zamieniamy więc na metry na sekundę:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Czas to droga podzielona przez prędkość:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metry podzielone przez metry na sekundę to sekundy, więc pociąg przejedzie przez tunel w minutę. Kto wziął tylko długość tunelu, dostał 50 s. W tej chwili jednak lokomotywa dopiero wyjeżdża na zewnątrz, a cały pociąg za nią jest jeszcze w tunelu. Oszacowanie się zgadza: kilometr pociąg przejeżdża w pięćdziesiąt sekund, a dodatkowe dwieście metrów w kolejne dziesięć.

Policz jeszcze, jak długo w tunelu jest cały pociąg. Zaczyna się to w chwili, gdy do tunelu wjedzie ostatni wagon, czyli gdy czoło jest 200 m za wjazdem. Kończy się, gdy czoło dojedzie do wyjazdu. Czoło przejeżdża 1000 m − 200 m = 800 m, co zajmuje mu 40 s. Długość pociągu tym razem się odejmuje.

Z prądem i pod prąd

Po Wiśle płynie statek wycieczkowy. Względem wody płynie z prędkością 15 km/h, a rzeka płynie z prędkością 3 km/h. W jakim czasie dopłynie do przystani 36 km w dół rzeki i w jakim czasie wróci?

Prędkość statku mierzymy względem wody. Gdyby kapitan wyłączył silnik, woda unosiłaby statek z prędkością 3 km/h. Jak zawsze ważne jest, względem czego mierzymy ruch. Względem brzegu statek płynący z prądem pokonuje w godzinę 15 km własną siłą, a woda przesuwa go jeszcze o kolejne 3 km. Statek dostanie indeks 1, prąd indeks 2. Czas z prądem oznaczymy $t_{+}$ , bo prędkości się dodają, czas pod prąd $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Z prądem prędkości się dodają, a rejs trwa

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Pod prąd woda w każdej godzinie ściąga statek o 3 km z powrotem i prędkości się odejmują:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometry podzielone przez kilometry na godzinę dają godziny. Statek dopłynie do przystani w dwie godziny, a z powrotem w trzy.

Gdyby prąd osiągnął prędkość statku względem wody, w mianowniku drugiego wzoru byłoby zero, tak jak przy samochodzie, który jechałby za rowerzystą tylko 18 km/h. Statek płynący pod prąd stałby względem brzegu w miejscu i kapitan mógłby zostawić silnik włączony przez cały dzień, a przystań, z której wypłynął, nie przybliżyłaby się ani o metr.

A teraz pułapka. Z jaką prędkością średnią statek płynął na całej trasie tam i z powrotem? Kto powie 15 km/h, bo prąd raz pomagał, a raz przeszkadzał tak samo, dał się nabrać tak jak w zadaniu tam 60, z powrotem 40. Statek przepłynął 72 km w 5 h:

$v_{ś r} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Pod prąd płynął dłużej, trzy godziny zamiast dwóch, i dlatego średnia przechyliła się w stronę mniejszej prędkości. Na stojącej wodzie te same 72 km pokonałby w 4,8 h, czyli w 4 h i 48 min. Prąd, który tak samo pomaga, jak przeszkadza, zawsze wydłuża wycieczkę tam i z powrotem.

We wszystkich zadaniach w tym artykule samochody, pociągi i statki poruszały się ze stałą prędkością. Prawdziwy samochód musi się jednak najpierw rozpędzić, a przed celem znowu zahamować. Jak opisać ruch, w którym prędkość się zmienia, pokażemy w kolejnym artykule, Przyspieszenie.

« Poprzedni: Jak rozwiązywać zadania z kinematyki i dynamiki

Dalszy: Przyspieszenie »