Problemas de móviles

A las ocho de la mañana sale de Sevilla por la autovía A-92 un coche a 90 km/h. Al mismo tiempo, en dirección contraria, sale de Málaga otro coche a 115 km/h. La autovía entre las dos ciudades mide 205 km. ¿Cuándo y dónde se cruzan los coches?

Los problemas de móviles parecen siempre distintos, pero casi todos se resuelven con el mismo truco. Para cada vehículo escribimos dónde está en el instante t y después buscamos el momento en que ambos están en el mismo lugar. Todo se mueve a velocidad constante, así que nos bastan las fórmulas del movimiento rectilíneo uniforme y el procedimiento habitual para resolver problemas.

Dos coches que van uno al encuentro del otro

Anotamos lo que sabemos y lo que buscamos. Al coche que sale de Sevilla le asignamos el subíndice 1 y al que sale de Málaga, el 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Todo está en kilómetros y horas, no se mezclan unidades y no hace falta convertir nada. El tiempo saldrá en horas.

Ayuda hacer un esquema. A lo largo de la autovía trazamos el eje x. Colocamos el origen en Sevilla, de modo que Málaga queda en 205 km.

Esquema: el eje x a lo largo de la autovía, el coche rojo que sale de Sevilla avanza hacia la derecha con velocidad v_1 y el coche azul que sale de Málaga avanza hacia la izquierda con velocidad v_2

El coche rojo avanza en el sentido del eje, así que su posición es sencillamente la distancia que ha recorrido:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

El coche azul parte de 205 km y avanza en sentido contrario al del eje. Por eso su posición disminuye 115 km cada hora:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

El signo menos está ahí por la misma razón por la que la gráfica de Andrés bajaba cuando volvía a casa. Un físico diría sin dudar que el coche azul tiene velocidad −115 km/h. Nosotros dejamos la velocidad positiva, tal como la marca el velocímetro, y escribimos el sentido con el signo en la fórmula.

Los coches se cruzan cuando están en el mismo lugar, es decir, cuando x₁ = x₂. Resolvemos el problema en general:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

La segunda línea tiene sentido incluso sin ecuaciones. La expresión v₁ · t es la distancia recorrida por el coche rojo y v₂ · t, la del azul; entre los dos recorren toda la distancia que separa las ciudades. Cada hora se acercan el uno al otro 90 km + 115 km = 205 km. Sustituimos:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Las unidades cuadran: kilómetros divididos entre kilómetros por hora son horas. El lugar del encuentro lo obtenemos sustituyendo el tiempo en la posición de cualquiera de los coches:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Para comprobarlo: en ese momento el coche azul está en 205 km − 115 km = 90 km, o sea, en el mismo lugar. También concuerda con una estimación. Si los dos coches fueran igual de rápidos, se cruzarían a mitad de camino. El coche de Málaga es más rápido, así que se cruzan más cerca de Sevilla. Respuesta: los coches se cruzan a las nueve, a 90 km de Sevilla. Los conductores probablemente no tengan tiempo de saludarse, porque se lanzan el uno hacia el otro precisamente a esos 205 km por hora.

Punto de corte de las gráficas

El mismo problema se puede resolver sin ecuación. Dibujamos las posiciones de ambos coches en una sola gráfica, como hicimos antes con el coche y el camión.

Gráfica de la posición del coche que sale de Sevilla (en rojo) y del que sale de Málaga (en azul). El punto de corte naranja muestra cuándo y dónde se cruzan los coches

La recta roja sale del origen y sube con una pendiente de 90 km/h. La azul empieza a una altura de 205 km y baja, porque el coche avanza en sentido contrario al del eje. Baja más deprisa de lo que sube la roja, porque el coche de Málaga es más rápido. Llega a Sevilla, donde la posición es cero, en menos de dos horas.

En el punto donde se cortan las rectas, los dos coches tienen la misma posición en el mismo instante. Eso es exactamente el encuentro. Desde el punto de corte naranja bajamos al eje del tiempo y leemos 1 h; hacia la izquierda, al eje vertical, y leemos 90 km.

Resolver la ecuación x₁ = x₂ equivale a buscar el punto de corte de dos rectas, solo que en lugar de dibujar, calculamos. La gráfica muestra lo que ocurre en el problema y da una estimación rápida. La ecuación da el número exacto incluso cuando el punto de corte cae entre dos divisiones.

Alcance

De Utrera sale un ciclista a velocidad constante de 18 km/h. Una hora después, por la misma carretera, sale un coche a 54 km/h. ¿Cuándo y dónde alcanza el coche al ciclista?

Decidamos desde dónde contamos el tiempo. Lo más cómodo es poner en marcha el cronómetro en el momento en que sale el coche. El ciclista lleva entonces una hora de marcha, es decir, una ventaja de 18 km. Es su distancia inicial s₀ de la fórmula s = s₀ + v · t. El ciclista solo avanza hacia delante y salió del origen del eje, por lo que su distancia inicial coincide con su posición inicial. Trazamos el eje a lo largo de la carretera con el origen en Utrera. El ciclista tendrá el subíndice 1 y el coche, el 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Ambos avanzan en el sentido del eje, así que sus posiciones son

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

El coche alcanza al ciclista cuando están en el mismo lugar, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Esta vez en el denominador está la diferencia de velocidades. El coche recorta de la ventaja 54 km − 18 km = 36 km cada hora, igual que antes la ventaja del coche sobre el camión crecía con la diferencia de sus velocidades. Calculamos:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

El coche alcanza al ciclista en media hora, es decir, en 30 min. El lugar del encuentro lo sacamos de la posición del coche:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

En el mismo instante, el ciclista está en 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, así que cuadra. Respuesta: el coche alcanza al ciclista media hora después de salir, a 27 km de Utrera.

También aquí dibujamos la gráfica de la posición. En el eje del tiempo ponemos esta vez los minutos transcurridos desde la salida del coche, para que no aparezcan números decimales en la figura.

Gráfica de la posición del ciclista (en azul) y del coche (en rojo), con el tiempo en minutos desde la salida del coche. El punto de corte naranja muestra cuándo y dónde el coche alcanza al ciclista

La recta azul del ciclista no empieza en el origen, sino a una altura de 18 km, igual que la gráfica del coche que pasaba junto al poste kilométrico. La recta roja del coche sale de cero y es más empinada. La separación vertical entre las rectas es la ventaja del ciclista. Disminuye cada minuto hasta que desaparece por completo en el punto de corte, a los 30 min y 27 km. Pasado el punto de corte, la recta roja queda por encima de la azul: el coche ha adelantado al ciclista y ya se aleja de él.

Ojo con lo que respondemos. La media hora se cuenta desde la salida del coche. En ese momento el ciclista ya lleva una hora y media pedaleando. Si hubiéramos puesto en marcha el cronómetro con él, habría salido una hora y media. Las dos cosas son ciertas, solo que cada tiempo se mide desde un instante distinto, y por eso en la respuesta hay que indicar cuál.

De la fórmula se deduce otra cosa. Si el coche fuera solo a 18 km/h, en el denominador habría un cero. No se puede dividir entre cero, y el coche no alcanzaría al ciclista ni en Granada.

Un tren en un túnel

Un tren de 200 m de longitud atraviesa a velocidad constante de 72 km/h un túnel de 1 km. ¿Cuánto tarda en atravesarlo entero, es decir, desde que entra la locomotora hasta que sale el último vagón?

Es tentador dividir la longitud del túnel entre la velocidad. Pero aquí no podemos considerar el tren una partícula, porque en el resultado influye justamente su longitud, y sin un esquema es fácil pasarlo por alto.

En gris y a trazos, el tren cuando su frente entra en el túnel; en color pleno, el tren cuando su cola sale del túnel. El frente está en naranja en las dos posiciones y en rojo, la distancia s que recorre

Basta con seguir un único punto del tren, el frente de la locomotora (en naranja). Al principio está en la entrada del túnel. Cuando sale el último vagón, el frente ha rebasado la salida en toda la longitud del tren. Ha recorrido, pues, la longitud del túnel (en azul) más la longitud del tren (en verde):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Las longitudes están en metros, así que convertimos la velocidad a metros por segundo:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

El tiempo es la distancia dividida entre la velocidad:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metros divididos entre metros por segundo son segundos, de modo que el tren atraviesa el túnel en un minuto. Quien solo tomó la longitud del túnel obtuvo 50 s. Pero en ese momento la locomotora apenas está saliendo y todo el tren va detrás, todavía dentro del túnel. La estimación cuadra: el tren recorre un kilómetro en cincuenta segundos y los doscientos metros de más, en otros diez.

Calcula ahora cuánto tiempo está el tren entero dentro del túnel. Empieza en el momento en que entra el último vagón y el frente está, por tanto, 200 m más allá de la entrada. Termina cuando el frente llega a la salida. El frente recorre 1000 m − 200 m = 800 m, lo que le lleva 40 s. Esta vez la longitud del tren se resta.

A favor y en contra de la corriente

Por el Guadalquivir navega un barco turístico. Respecto al agua va a 15 km/h y el río fluye a 3 km/h. ¿Cuánto tarda en llegar a un puerto situado a 36 km río abajo y cuánto en volver?

La velocidad del barco la medimos respecto al agua. Si el barquero apagara el motor, el agua arrastraría el barco a 3 km/h. Como siempre, depende de respecto a qué medimos el movimiento. Respecto a la orilla, a favor de la corriente el barco avanza en una hora 15 km con su propia fuerza y el agua lo empuja otros 3 km. El barco tendrá el subíndice 1 y la corriente, el 2. El tiempo a favor de la corriente lo llamamos $t_{+}$ , porque las velocidades se suman, y el tiempo en contra, $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

A favor de la corriente las velocidades se suman y el viaje dura

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

En contra de la corriente, el agua hace retroceder el barco 3 km cada hora y las velocidades se restan:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilómetros divididos entre kilómetros por hora dan horas. El barco llega al puerto en dos horas y vuelve en tres.

Si la corriente alcanzara la velocidad del barco respecto al agua, en el denominador de la segunda fórmula habría un cero, igual que con el coche que persiguiera al ciclista a solo 18 km/h. En contra de la corriente, el barco estaría parado respecto a la orilla, y el barquero podría dejar el motor encendido todo el día sin acercarse ni un metro al puerto de partida.

Y ahora una pregunta trampa. ¿A qué velocidad media navegó el barco en todo el recorrido de ida y vuelta? Quien responda 15 km/h, porque la corriente ayudó una vez y estorbó otra por igual, ha caído en la misma trampa que en el problema de ida a 60, vuelta a 40. El barco recorrió 72 km en 5 h:

$v_{m} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

En contra de la corriente navegó más tiempo, tres horas en vez de dos, y por eso la media se inclinó hacia la velocidad menor. En aguas tranquilas habría recorrido los mismos 72 km en 4,8 h, o sea, en 4 h y 48 min. Una corriente que ayuda y estorba por igual siempre alarga el viaje de ida y vuelta.

En todos los problemas de este artículo, los coches, los trenes y los barcos iban a velocidad constante. Pero un coche real tiene que arrancar primero y frenar antes de llegar. Cómo describir un movimiento en el que cambia la velocidad lo veremos en el siguiente artículo, Aceleración.

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