Problemi sul moto

Alle otto del mattino un’auto parte da Milano sull’autostrada A1 alla velocità di 90 km/h. Nello stesso momento una seconda auto parte da Bologna in direzione opposta alla velocità di 115 km/h. L’autostrada tra le due città misura 205 km. Quando e dove si incontrano le auto?

I problemi sul moto si presentano ogni volta in modo diverso, ma quasi tutti si risolvono con lo stesso trucco. Per ogni veicolo scriviamo dove si trova al tempo t e poi cerchiamo l’istante in cui entrambi sono nello stesso punto. Tutto procede a velocità costante, quindi ci bastano le formule del moto rettilineo uniforme e il solito procedimento per risolvere i problemi.

Due auto una contro l’altra

Scriviamo ciò che sappiamo e ciò che cerchiamo. All’auto di Milano diamo l’indice 1, a quella di Bologna l’indice 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Tutto è in chilometri e ore, le unità non sono mescolate, quindi non serve convertire. Il tempo verrà in ore.

Aiuta uno schizzo. Lungo l’autostrada tracciamo l’asse x. L’origine la mettiamo a Milano, quindi Bologna si trova a 205 km.

Schizzo: asse x lungo l’autostrada, l’auto rossa da Milano va verso destra con velocità v_1, l’auto blu da Bologna verso sinistra con velocità v_2

L’auto rossa va nel verso dell’asse, quindi la sua posizione è semplicemente lo spazio che ha percorso:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

L’auto blu parte da 205 km e va contro il verso dell’asse. La sua posizione perciò a ogni ora diminuisce di 115 km:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Il meno è qui per lo stesso motivo per cui scendeva il grafico di Andrea sulla via del ritorno. Un fisico direbbe tranquillamente che l’auto blu ha velocità −115 km/h. Noi lasciamo la velocità positiva, come la mostra il tachimetro, e il verso lo scriviamo con il segno nella formula.

Le auto si incontrano quando sono nello stesso punto, cioè quando x₁ = x₂. Risolviamo il problema in forma generale:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

La seconda riga ha senso anche senza equazioni. L’espressione v₁ · t è lo spazio dell’auto rossa, v₂ · t quello dell’auto blu e insieme percorrono tutta la distanza tra le città. Ogni ora si avvicinano di 90 km + 115 km = 205 km. Sostituiamo:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Le unità tornano: chilometri divisi per chilometri all’ora sono ore. Il luogo dell’incontro lo otteniamo sostituendo il tempo nella posizione di una qualsiasi delle auto:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Per controllo: l’auto blu in quel momento è a 205 km − 115 km = 90 km, cioè nello stesso punto. Torna anche la stima. Se entrambe le auto andassero alla stessa velocità, si incontrerebbero a metà strada. L’auto di Bologna va più veloce, quindi si incontrano più vicino a Milano. Risposta: le auto si incontrano alle nove, a 90 km da Milano. Probabilmente i conducenti non faranno in tempo a salutarsi, dato che si avvicinano proprio a 205 km all’ora.

Intersezione dei grafici

Lo stesso problema lo risolviamo anche senza equazione. Riportiamo le posizioni delle due auto in un unico grafico, come prima per l’auto e il camion.

Grafico della posizione dell’auto da Milano (in rosso) e dell’auto da Bologna (in blu). L’intersezione arancione mostra quando e dove si incontrano le auto

La retta rossa parte dall’origine e sale con pendenza 90 km/h. Quella blu parte dall’altezza 205 km e scende, perché l’auto va contro il verso dell’asse. Scende più ripidamente di quanto salga la rossa, perché l’auto da Bologna è più veloce. A Milano, dove la posizione è nulla, arriverà in meno di due ore.

Dove le rette si intersecano, le due auto hanno nello stesso istante la stessa posizione. Questo è proprio l’incontro. Dall’intersezione arancione scendiamo sull’asse del tempo e leggiamo 1 h, andiamo a sinistra sull’asse verticale e leggiamo 90 km.

Risolvere l’equazione x₁ = x₂ equivale a cercare l’intersezione di due rette, solo che invece di disegnare calcoliamo. Il grafico mostra che cosa accade nel problema e dà una stima veloce. L’equazione dà il numero esatto anche quando l’intersezione cade tra due tacche.

Inseguimento

Da Lodi parte un ciclista a velocità costante di 18 km/h. Un’ora dopo, sulla stessa strada, parte un’auto alla velocità di 54 km/h. Quando e dove raggiunge il ciclista?

Decidiamo da dove misurare il tempo. La cosa più comoda è far partire il cronometro nel momento in cui parte l’auto. Il ciclista a quel punto ha alle spalle un’ora di viaggio, cioè un vantaggio di 18 km. È il suo spazio iniziale s₀ della formula s = s₀ + v · t. Il ciclista va solo avanti ed è partito dall’origine dell’asse, perciò il suo spazio iniziale coincide con la posizione iniziale. L’asse lo mettiamo lungo la strada con l’origine a Lodi. Il ciclista avrà l’indice 1, l’auto l’indice 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Entrambi vanno nel verso dell’asse, quindi le loro posizioni sono

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

L’auto raggiunge il ciclista quando si trovano nello stesso punto, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Questa volta al denominatore c’è la differenza delle velocità. L’auto ogni ora recupera sul vantaggio 54 km − 18 km = 36 km, proprio come prima il vantaggio dell’auto sul camion cresceva della differenza delle loro velocità. Calcoliamo:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

L’auto raggiunge il ciclista in mezz’ora, cioè in 30 min. Il luogo dell’incontro lo ricaviamo dalla posizione dell’auto:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Il ciclista nello stesso istante è a 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, torna. Risposta: l’auto raggiunge il ciclista mezz’ora dopo la sua partenza, a 27 km da Lodi.

Anche qui disegniamo il grafico della posizione. Sull’asse del tempo questa volta ci sono i minuti dalla partenza dell’auto, per non avere numeri decimali nella figura.

Grafico della posizione del ciclista (in blu) e dell’auto (in rosso), tempo in minuti dalla partenza dell’auto. L’intersezione arancione mostra quando e dove l’auto raggiunge il ciclista

La retta blu del ciclista non parte dall’origine, ma dall’altezza 18 km, come il grafico dell’auto che superava il cippo chilometrico. La retta rossa dell’auto parte da zero ed è più ripida. La distanza verticale tra le rette è il vantaggio del ciclista. Ogni minuto diminuisce, finché nell’intersezione a 30 min e 27 km scompare del tutto. Dopo l’intersezione la retta rossa sta sopra quella blu: l’auto ha superato il ciclista e già si allontana.

Attenzione a che cosa rispondiamo. La mezz’ora la misuriamo dalla partenza dell’auto. Il ciclista in quel momento pedala già da un’ora e mezza. Se avessimo avviato il cronometro con lui, sarebbe venuta un’ora e mezza. Sono validi entrambi: ciascun tempo è misurato da un istante diverso, e per questo nella risposta dobbiamo indicare da quale.

Dalla formula leggiamo ancora una cosa. Se l’auto andasse solo a 18 km/h, al denominatore ci sarebbe zero. Per zero non si può dividere e l’auto non raggiungerebbe il ciclista nemmeno a Piacenza.

Treno in galleria

Un treno lungo 200 m attraversa a velocità costante di 72 km/h una galleria lunga 1 km. Quanto ci mette ad attraversarla tutta, cioè dall’ingresso della locomotiva all’uscita dell’ultimo vagone?

Viene la tentazione di dividere la lunghezza della galleria per la velocità. Ma qui il treno non lo possiamo considerare un punto materiale, perché il risultato dipende proprio dalla sua lunghezza, e senza uno schizzo ci sfugge facilmente.

In grigio tratteggiato il treno quando la sua testa entra in galleria, in pieno il treno quando ne esce la coda. La testa è in arancione nelle due posizioni, in rosso lo spazio s che percorre

Basta seguire un solo punto del treno, la testa della locomotiva (in arancione). All’inizio è all’ingresso della galleria. Quando dalla galleria esce l’ultimo vagone, la testa è oltre l’uscita di tutta la lunghezza del treno. Ha percorso quindi la lunghezza della galleria (in blu) più la lunghezza del treno (in verde):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Le lunghezze sono in metri, quindi convertiamo la velocità in metri al secondo:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Il tempo è lo spazio diviso la velocità:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Metri divisi per metri al secondo sono secondi, quindi il treno attraversa la galleria in un minuto. Chi ha preso solo la lunghezza della galleria ha ottenuto 50 s. In quel momento, però, la locomotiva sta appena uscendo e tutto il treno dietro di lei è ancora in galleria. La stima torna: un chilometro il treno lo percorre in cinquanta secondi e i duecento metri in più in altri dieci.

Calcola ancora per quanto tempo il treno è dentro la galleria per intero. Comincia nel momento in cui entra l’ultimo vagone e la testa è quindi 200 m oltre l’ingresso. Finisce quando la testa arriva all’uscita. La testa percorre 1000 m − 200 m = 800 m, e ci mette 40 s. Questa volta la lunghezza del treno si sottrae.

A favore e contro corrente

Sul Po naviga un battello turistico. Rispetto all’acqua va a 15 km/h e il fiume scorre a 3 km/h. In quanto tempo arriva a un approdo distante 36 km a favore di corrente e in quanto tempo torna?

La velocità del battello la misuriamo rispetto all’acqua. Se il battelliere spegnesse il motore, l’acqua trascinerebbe il battello a 3 km/h. Come sempre conta rispetto a che cosa misuriamo il moto. Rispetto alla riva, a favore di corrente il battello in un’ora percorre 15 km con la propria forza e l’acqua lo spinge di altri 3 km. Il battello avrà l’indice 1, la corrente l’indice 2. Il tempo a favore di corrente lo indichiamo con $t_{+}$ , perché le velocità si sommano, quello contro corrente con $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

A favore di corrente le velocità si sommano e il viaggio dura

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Contro corrente l’acqua ogni ora riporta indietro il battello di 3 km e le velocità si sottraggono:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Chilometri divisi per chilometri all’ora danno ore. Il battello arriva all’approdo in due ore e torna in tre.

Se la corrente raggiungesse la velocità del battello rispetto all’acqua, al denominatore della seconda formula ci sarebbe zero, come per l’auto che seguisse il ciclista a soli 18 km/h. Il battello contro corrente resterebbe fermo rispetto alla riva e il battelliere potrebbe lasciare il motore acceso tutto il giorno, senza avvicinarsi di un metro al porto di partenza.

E ora la domanda trabocchetto. A che velocità media ha navigato il battello su tutto il viaggio, andata e ritorno? Chi risponde 15 km/h, perché la corrente una volta ha aiutato e una volta ostacolato in ugual misura, ci è cascato come nel problema andata a 60, ritorno a 40. Il battello ha percorso 72 km in 5 h:

$v_{m} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Contro corrente ha navigato più a lungo, tre ore invece di due, e la media si è perciò spostata verso la velocità più bassa. In acqua ferma gli stessi 72 km li avrebbe percorsi in 4,8 h, cioè in 4 h e 48 min. Una corrente che aiuta e ostacola in ugual misura allunga sempre la gita di andata e ritorno.

In tutti i problemi di questo articolo auto, treni e battelli andavano a velocità costante. Un’auto vera, però, prima deve partire e prima dell’arrivo frenare. Come descrivere un moto in cui la velocità cambia lo vedremo nel prossimo articolo, Accelerazione.

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