Προβλήματα κίνησης

Στις οκτώ το πρωί ξεκινά από την Αθήνα, στην Ολυμπία Οδό, ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 90 km/h. Την ίδια στιγμή ξεκινά προς το μέρος του από την Πάτρα ένα δεύτερο αυτοκίνητο με ταχύτητα 115 km/h. Ο αυτοκινητόδρομος ανάμεσα στις δύο πόλεις έχει μήκος 205 km. Πότε και πού θα συναντηθούν τα αυτοκίνητα;

Τα προβλήματα κίνησης φαίνονται κάθε φορά διαφορετικά, σχεδόν όλα όμως λύνονται με το ίδιο κόλπο. Για κάθε όχημα γράφουμε πού βρίσκεται τη χρονική στιγμή t και μετά ψάχνουμε τη στιγμή που τα δύο βρίσκονται στο ίδιο σημείο. Όλα κινούνται με σταθερή ταχύτητα, άρα μας αρκούν οι τύποι της ευθύγραμμης ομαλής κίνησης και η συνηθισμένη διαδικασία επίλυσης ασκήσεων.

Δύο αυτοκίνητα το ένα απέναντι στο άλλο

Γράφουμε τι ξέρουμε και τι ζητάμε. Το αυτοκίνητο από την Αθήνα παίρνει δείκτη 1, το αυτοκίνητο από την Πάτρα δείκτη 2:

$\begin{aligned} υ_{1} & = 90 km / h \\ υ_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Όλα είναι σε χιλιόμετρα και ώρες, οι μονάδες δεν αναμειγνύονται, οπότε δεν χρειάζεται μετατροπή. Ο χρόνος θα βγει σε ώρες.

Βοηθά ένα σχήμα. Κατά μήκος του αυτοκινητόδρομου τεντώνουμε τον άξονα x. Την αρχή των αξόνων τη βάζουμε στην Αθήνα, οπότε η Πάτρα βρίσκεται στα 205 km.

Σχήμα: ο άξονας x κατά μήκος του αυτοκινητόδρομου, το κόκκινο αυτοκίνητο από την Αθήνα κινείται προς τα δεξιά με ταχύτητα υ_1, το μπλε αυτοκίνητο από την Πάτρα προς τα αριστερά με ταχύτητα υ_2

Το κόκκινο αυτοκίνητο κινείται κατά τη φορά του άξονα, οπότε η θέση του είναι απλώς το διάστημα που διήνυσε:

$x_{1} = υ_{1} \cdot t$

Το μπλε αυτοκίνητο ξεκινά από τα 205 km και κινείται αντίθετα προς τη φορά του άξονα. Η θέση του λοιπόν κάθε ώρα μειώνεται κατά 115 km:

$x_{2} = s - υ_{2} \cdot t$

Το μείον υπάρχει για τον ίδιο λόγο για τον οποίο έπεφτε η γραφική παράσταση του Νίκου στον δρόμο της επιστροφής προς το σπίτι. Ένας φυσικός θα έλεγε άνετα ότι το μπλε αυτοκίνητο έχει ταχύτητα −115 km/h. Εμείς αφήνουμε την ταχύτητα θετική, όπως τη δείχνει το κοντέρ, και την κατεύθυνση τη γράφουμε με το πρόσημο μέσα στον τύπο.

Τα αυτοκίνητα συναντιούνται όταν βρίσκονται στο ίδιο σημείο, δηλαδή όταν x₁ = x₂. Λύνουμε το πρόβλημα γενικά:

$\begin{array}{rcl} υ_{1} \cdot t & = & s - υ_{2} \cdot t / + υ_{2} \cdot t \\ υ_{1} \cdot t + υ_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (υ_{1} + υ_{2}) & = & s / : (υ_{1} + υ_{2}) \\ t & = & \frac{s}{υ_{1} + υ_{2}} \end{array}$

Η δεύτερη γραμμή βγάζει νόημα και χωρίς εξισώσεις. Η παράσταση υ₁ · t είναι το διάστημα του κόκκινου αυτοκινήτου, η υ₂ · t του μπλε, και μαζί διανύουν ολόκληρη την απόσταση ανάμεσα στις πόλεις. Κάθε ώρα πλησιάζουν μεταξύ τους κατά 90 km + 115 km = 205 km. Αντικαθιστούμε:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Οι μονάδες βγαίνουν: χιλιόμετρα διά χιλιόμετρα ανά ώρα είναι ώρες. Το σημείο της συνάντησης το βρίσκουμε αν αντικαταστήσουμε τον χρόνο στον τύπο της θέσης οποιουδήποτε από τα δύο αυτοκίνητα:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Για έλεγχο: το μπλε αυτοκίνητο βρίσκεται εκείνη τη στιγμή στα 205 km − 115 km = 90 km, δηλαδή στο ίδιο σημείο. Βγαίνει σωστά και η εκτίμηση. Αν τα δύο αυτοκίνητα κινούνταν εξίσου γρήγορα, θα συναντιούνταν στα μισά της διαδρομής. Το αυτοκίνητο από την Πάτρα κινείται πιο γρήγορα, άρα θα συναντηθούν πιο κοντά στην Αθήνα. Απάντηση: τα αυτοκίνητα συναντιούνται στις εννέα, 90 km από την Αθήνα. Οι οδηγοί μάλλον δεν θα προλάβουν να χαιρετηθούν, αφού πλησιάζουν μεταξύ τους με ακριβώς 205 km την ώρα.

Τομή των γραφικών παραστάσεων

Το ίδιο πρόβλημα το λύνουμε και χωρίς εξίσωση. Σχεδιάζουμε τις θέσεις των δύο αυτοκινήτων σε μία γραφική παράσταση, όπως νωρίτερα το αυτοκίνητο με το φορτηγό.

Γραφική παράσταση της θέσης του αυτοκινήτου από την Αθήνα (με κόκκινο) και του αυτοκινήτου από την Πάτρα (με μπλε). Το πορτοκαλί σημείο τομής δείχνει πότε και πού συναντιούνται τα αυτοκίνητα

Η κόκκινη ευθεία ξεκινά από την αρχή των αξόνων και ανεβαίνει με κλίση 90 km/h. Η μπλε ξεκινά από ύψος 205 km και κατεβαίνει, επειδή το αυτοκίνητο κινείται αντίθετα προς τη φορά του άξονα. Κατεβαίνει πιο απότομα απ' ό,τι ανεβαίνει η κόκκινη, επειδή το αυτοκίνητο από την Πάτρα είναι ταχύτερο. Στην Αθήνα, όπου η θέση είναι μηδέν, φτάνει σε λιγότερο από δύο ώρες.

Εκεί όπου οι ευθείες τέμνονται, τα δύο αυτοκίνητα έχουν την ίδια χρονική στιγμή την ίδια θέση. Αυτή ακριβώς είναι η συνάντηση. Από το πορτοκαλί σημείο τομής κατεβαίνουμε στον άξονα του χρόνου και διαβάζουμε 1 h, πηγαίνουμε αριστερά στον κατακόρυφο άξονα και διαβάζουμε 90 km.

Το να λύσουμε την εξίσωση x₁ = x₂ είναι το ίδιο με το να βρούμε το σημείο τομής δύο ευθειών, μόνο που αντί να σχεδιάζουμε, υπολογίζουμε. Η γραφική παράσταση δείχνει τι συμβαίνει στο πρόβλημα και δίνει μια γρήγορη εκτίμηση. Η εξίσωση δίνει τον ακριβή αριθμό ακόμη και όταν το σημείο τομής πέφτει ανάμεσα στις υποδιαιρέσεις.

Το αυτοκίνητο φτάνει τον ποδηλάτη

Από την Ελευσίνα ξεκινά ένας ποδηλάτης με σταθερή ταχύτητα 18 km/h. Μία ώρα μετά από αυτόν ξεκινά στον ίδιο δρόμο ένα αυτοκίνητο με ταχύτητα 54 km/h. Πότε και πού θα φτάσει τον ποδηλάτη;

Αποφασίζουμε από πότε θα μετράμε τον χρόνο. Το πιο βολικό είναι να ενεργοποιήσουμε το χρονόμετρο τη στιγμή που ξεκινά το αυτοκίνητο. Ο ποδηλάτης έχει τότε πίσω του μία ώρα κίνησης, δηλαδή προβάδισμα 18 km. Αυτό είναι το αρχικό του διάστημα s₀ από τον τύπο s = s₀ + υ · t. Ο ποδηλάτης κινείται μόνο προς τα εμπρός και ξεκίνησε από την αρχή του άξονα, και γι' αυτό το αρχικό του διάστημα συμπίπτει με την αρχική του θέση. Τον άξονα τον τεντώνουμε κατά μήκος του δρόμου με αρχή στην Ελευσίνα. Ο ποδηλάτης θα έχει δείκτη 1, το αυτοκίνητο δείκτη 2:

$\begin{aligned} υ_{1} & = 18 km / h \\ υ_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Και οι δύο κινούνται κατά τη φορά του άξονα, άρα οι θέσεις τους είναι

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + υ_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = υ_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Το αυτοκίνητο φτάνει τον ποδηλάτη όταν βρεθούν στο ίδιο σημείο, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} υ_{2} \cdot t & = & s_{0} + υ_{1} \cdot t / - υ_{1} \cdot t \\ t \cdot (υ_{2} - υ_{1}) & = & s_{0} / : (υ_{2} - υ_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{υ_{2} - υ_{1}} \end{array}$

Αυτή τη φορά στον παρονομαστή βρίσκεται η διαφορά των ταχυτήτων. Το αυτοκίνητο κάθε ώρα μειώνει το προβάδισμα κατά 54 km − 18 km = 36 km, όπως νωρίτερα το προβάδισμα του αυτοκινήτου μπροστά από το φορτηγό αυξανόταν κατά τη διαφορά των ταχυτήτων τους. Υπολογίζουμε:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Το αυτοκίνητο φτάνει τον ποδηλάτη σε μισή ώρα, δηλαδή σε 30 min. Το σημείο της συνάντησης το βρίσκουμε από τη θέση του αυτοκινήτου:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Ο ποδηλάτης την ίδια στιγμή βρίσκεται στα 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, βγαίνει σωστά. Απάντηση: το αυτοκίνητο φτάνει τον ποδηλάτη μισή ώρα μετά την αναχώρησή του, 27 km από την Ελευσίνα.

Και εδώ σχεδιάζουμε τη γραφική παράσταση της θέσης. Στον άξονα του χρόνου βάζουμε αυτή τη φορά λεπτά από την αναχώρηση του αυτοκινήτου, για να μην εμφανιστούν δεκαδικοί αριθμοί στο σχήμα.

Γραφική παράσταση της θέσης του ποδηλάτη (με μπλε) και του αυτοκινήτου (με κόκκινο), ο χρόνος σε λεπτά από την αναχώρηση του αυτοκινήτου. Το πορτοκαλί σημείο τομής δείχνει πότε και πού το αυτοκίνητο φτάνει τον ποδηλάτη

Η μπλε ευθεία του ποδηλάτη δεν ξεκινά από την αρχή των αξόνων, αλλά από ύψος 18 km, όπως η γραφική παράσταση του αυτοκινήτου που περνούσε από τη χιλιομετρική πινακίδα. Η κόκκινη ευθεία του αυτοκινήτου ξεκινά από το μηδέν και είναι πιο απότομη. Η κατακόρυφη απόσταση ανάμεσα στις ευθείες είναι το προβάδισμα του ποδηλάτη. Κάθε λεπτό μικραίνει, ώσπου στο σημείο τομής, στα 30 min και στα 27 km, εξαφανίζεται εντελώς. Μετά το σημείο τομής η κόκκινη ευθεία βρίσκεται πάνω από την μπλε: το αυτοκίνητο προσπέρασε τον ποδηλάτη και απομακρύνεται.

Προσοχή σε τι απαντάμε. Τη μισή ώρα τη μετράμε από την αναχώρηση του αυτοκινήτου. Ο ποδηλάτης εκείνη τη στιγμή πεταλίζει ήδη μιάμιση ώρα. Αν είχαμε ενεργοποιήσει το χρονόμετρο μαζί του, θα είχε βγει μιάμιση ώρα. Ισχύουν και τα δύο, κάθε χρόνος απλώς μετριέται από διαφορετική στιγμή, και γι' αυτό πρέπει να τη γράφουμε στην απάντηση.

Από τον τύπο διαβάζουμε και κάτι ακόμη. Αν το αυτοκίνητο κινούνταν μόνο με 18 km/h, στον παρονομαστή θα ήταν μηδέν. Με το μηδέν δεν διαιρούμε και το αυτοκίνητο δεν θα έφτανε τον ποδηλάτη ούτε στην Κόρινθο.

Τρένο σε σήραγγα

Ένα τρένο μήκους 200 m περνά με σταθερή ταχύτητα 72 km/h μέσα από μια σήραγγα που έχει μήκος 1 km. Πόσο χρόνο χρειάζεται για να περάσει ολόκληρο από τη σήραγγα, δηλαδή από την είσοδο της μηχανής ως την έξοδο του τελευταίου βαγονιού;

Μας βάζει στον πειρασμό να διαιρέσουμε το μήκος της σήραγγας με την ταχύτητα. Το τρένο όμως εδώ δεν επιτρέπεται να το θεωρήσουμε σωμάτιο, επειδή για το αποτέλεσμα αποφασιστικό ρόλο παίζει ακριβώς το μήκος του, και χωρίς σχήμα εύκολα το παραβλέπουμε.

Με γκρίζα διακεκομμένη γραμμή το τρένο τη στιγμή που η μύτη του μπαίνει στη σήραγγα, με συνεχή γραμμή το τρένο τη στιγμή που η ουρά του βγαίνει από τη σήραγγα. Η μύτη είναι και στις δύο θέσεις πορτοκαλί, με κόκκινο το διάστημα s που διανύει

Αρκεί να παρακολουθούμε ένα μόνο σημείο του τρένου, τη μύτη της μηχανής (με πορτοκαλί). Στην αρχή βρίσκεται στην είσοδο της σήραγγας. Όταν από τη σήραγγα βγαίνει το τελευταίο βαγόνι, η μύτη βρίσκεται πέρα από την έξοδο κατά ολόκληρο το μήκος του τρένου. Διήνυσε λοιπόν το μήκος της σήραγγας (με μπλε) και επιπλέον το μήκος του τρένου (με πράσινο):

$s = 1.000 m + 200 m = 1.200 m$

Τα μήκη είναι σε μέτρα, γι' αυτό μετατρέπουμε την ταχύτητα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο:

$υ = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Ο χρόνος είναι το διάστημα διαιρεμένο με την ταχύτητα:

$t = \frac{s}{υ} = \frac{1.200 m}{20 m / s} = 60 s$

Μέτρα διά μέτρα ανά δευτερόλεπτο είναι δευτερόλεπτα, άρα το τρένο περνά από τη σήραγγα σε ένα λεπτό. Όποιος πήρε μόνο το μήκος της σήραγγας, βρήκε 50 s. Τότε όμως η μηχανή μόλις βγαίνει έξω και ολόκληρο το τρένο πίσω της είναι ακόμη μέσα στη σήραγγα. Η εκτίμηση βγαίνει σωστά: το χιλιόμετρο το τρένο το διανύει σε πενήντα δευτερόλεπτα και τα διακόσια μέτρα παραπάνω σε άλλα δέκα.

Υπολόγισε και πόσο χρόνο βρίσκεται μέσα στη σήραγγα ολόκληρο το τρένο. Αρχίζει τη στιγμή που μπαίνει στη σήραγγα το τελευταίο βαγόνι και η μύτη βρίσκεται λοιπόν 200 m μετά την είσοδο. Τελειώνει όταν η μύτη φτάνει στην έξοδο. Η μύτη διανύει 1.000 m − 200 m = 800 m, κάτι που της παίρνει 40 s. Το μήκος του τρένου αυτή τη φορά αφαιρείται.

Με το ρεύμα και αντίθετα προς το ρεύμα

Σε έναν ποταμό πλέει ένα τουριστικό πλοιάριο. Ως προς το νερό κινείται με ταχύτητα 15 km/h και το ποτάμι ρέει με ταχύτητα 3 km/h. Σε πόσο χρόνο φτάνει στο λιμάνι που απέχει 36 km κατά τη φορά του ρεύματος και σε πόσο χρόνο επιστρέφει;

Την ταχύτητα του πλοίου τη μετράμε ως προς το νερό. Αν ο καπετάνιος έσβηνε τη μηχανή, το νερό θα παρέσυρε το πλοίο με ταχύτητα 3 km/h. Όπως πάντα έχει σημασία ως προς τι μετράμε την κίνηση. Ως προς την όχθη το πλοίο, όταν πηγαίνει με το ρεύμα, διανύει σε μία ώρα 15 km με τη δική του κίνηση και το νερό το μετακινεί επιπλέον κατά άλλα 3 km. Το πλοίο θα έχει δείκτη 1, το ρεύμα δείκτη 2. Τον χρόνο με το ρεύμα τον συμβολίζουμε $t_{+}$ , επειδή οι ταχύτητες προστίθενται, και τον χρόνο αντίθετα προς το ρεύμα $t_{-}$ :

$\begin{aligned} υ_{1} & = 15 km / h \\ υ_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Με το ρεύμα οι ταχύτητες προστίθενται και το ταξίδι διαρκεί

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{υ_{1} + υ_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Αντίθετα προς το ρεύμα το νερό τραβά το πλοίο κάθε ώρα πίσω κατά 3 km και οι ταχύτητες αφαιρούνται:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{υ_{1} - υ_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Χιλιόμετρα διά χιλιόμετρα ανά ώρα δίνουν ώρες. Το πλοίο φτάνει στο λιμάνι σε δύο ώρες και επιστρέφει σε τρεις.

Αν το ρεύμα έφτανε την ταχύτητα του πλοίου ως προς το νερό, στον παρονομαστή του δεύτερου τύπου θα ήταν μηδέν, όπως στην περίπτωση του αυτοκινήτου που θα κινούνταν πίσω από τον ποδηλάτη με μόλις 18 km/h. Το πλοίο αντίθετα προς το ρεύμα θα έμενε ακίνητο ως προς την όχθη και ο καπετάνιος θα μπορούσε να αφήσει τη μηχανή να δουλεύει όλη μέρα, το λιμάνι αναχώρησης δεν θα πλησίαζε ούτε κατά ένα μέτρο.

Και τώρα μια παγίδα. Με ποια μέση ταχύτητα έπλευσε το πλοίο σε ολόκληρη τη διαδρομή μετ' επιστροφής; Όποιος πει 15 km/h, επειδή το ρεύμα μία φορά βοήθησε και μία εμπόδισε το ίδιο, έπεσε στην ίδια παγίδα όπως στην άσκηση πηγαιμός 60, γυρισμός 40. Το πλοίο διήνυσε 72 km σε 5 h:

$υ_{μ} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Αντίθετα προς το ρεύμα έπλεε περισσότερο, τρεις ώρες αντί για δύο, και γι' αυτό ο μέσος όρος έγειρε προς τη μικρότερη ταχύτητα. Σε ήρεμο νερό τα ίδια 72 km θα τα διήνυε σε 4,8 h, δηλαδή σε 4 h και 48 min. Ένα ρεύμα που βοηθά και εμποδίζει εξίσου κάνει πάντα το ταξίδι μετ' επιστροφής να διαρκεί περισσότερο.

Σε όλα τα προβλήματα αυτού του άρθρου τα αυτοκίνητα, τα τρένα και τα πλοία κινούνταν με σταθερή ταχύτητα. Ένα πραγματικό αυτοκίνητο όμως πρέπει πρώτα να ξεκινήσει από στάση και πριν από τον προορισμό να φρενάρει. Πώς περιγράφουμε μια κίνηση στην οποία η ταχύτητα αλλάζει, θα το δούμε στο επόμενο άρθρο, Επιτάχυνση.

« Προηγούμενο: Πώς λύνουμε ασκήσεις κινηματικής και δυναμικής

Επόμενο: Επιτάχυνση »