Textuppgifter om rörelse

Klockan åtta på morgonen kör en bil från Stockholm längs motorvägen E20 med farten 90 km/h. Mot den kör samtidigt en andra bil från Örebro med farten 115 km/h. Motorvägen mellan städerna är 205 km lång. När och var möts bilarna?

Uppgifter om rörelse ser olika ut varje gång, men nästan alla går att knäcka med samma knep. För varje fordon skriver vi upp var det befinner sig vid tiden t, och sedan söker vi det ögonblick då båda är på samma plats. Allt rör sig med konstant fart, så det räcker med formlerna för likformig rätlinjig rörelse och det vanliga arbetssättet för att lösa uppgifter.

Två bilar mot varandra

Vi skriver upp vad vi vet och vad vi söker. Bilen från Stockholm får index 1, bilen från Örebro index 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Allt är angivet i kilometer och timmar, enheterna blandas inte, så vi behöver inte räkna om något. Tiden kommer ut i timmar.

En skiss hjälper. Längs motorvägen lägger vi x-axeln. Origo placerar vi i Stockholm, så Örebro ligger vid 205 km.

Skiss: x-axeln längs motorvägen, den röda bilen från Stockholm kör åt höger med farten v_1, den blå bilen från Örebro åt vänster med farten v_2

Den röda bilen kör i axelns riktning, så dess läge är helt enkelt den sträcka den har kört:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Den blå bilen startar vid 205 km och kör mot axelns riktning. Dess läge minskar därför med 115 km varje timme:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Minustecknet står här av samma skäl som Hugos graf sjönk på hemvägen. En fysiker skulle utan vidare säga att den blå bilen har hastigheten −115 km/h. Vi låter farten vara positiv, så som hastighetsmätaren visar den, och skriver riktningen som tecken i formeln.

Bilarna möts när de är på samma plats, alltså när x₁ = x₂. Vi löser uppgiften med bokstäver:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Den andra raden är begriplig även utan ekvationer. Termen v₁ · t är den röda bilens sträcka, v₂ · t den blå bilens, och tillsammans kör de hela avståndet mellan städerna. Varje timme kommer de varandra närmare med 90 km + 115 km = 205 km. Vi sätter in värdena:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Enheterna stämmer: kilometer delat med kilometer per timme blir timmar. Mötesplatsen får vi genom att sätta in tiden i läget för någon av bilarna:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

För kontroll: den blå bilen är i det ögonblicket vid 205 km − 115 km = 90 km, alltså på samma plats. Även uppskattningen stämmer. Om båda bilarna körde lika fort skulle de mötas mitt på sträckan. Bilen från Örebro kör fortare, så de möts närmare Stockholm. Svar: Bilarna möts klockan nio, 90 km från Stockholm. Förarna hinner nog inte vinka åt varandra, de rusar ju mot varandra med just de 205 km i timmen.

Skärningspunkten mellan graferna

Samma uppgift klarar vi även utan ekvation. Vi ritar bådas lägen i en gemensam graf, som tidigare med bilen och lastbilen.

Graf över läget för bilen från Stockholm (rött) och bilen från Örebro (blått). Den orange skärningspunkten visar när och var bilarna möts

Den röda linjen utgår från origo och stiger med lutningen 90 km/h. Den blå börjar på höjden 205 km och sjunker, eftersom bilen kör mot axelns riktning. Den sjunker brantare än den röda stiger, eftersom bilen från Örebro är snabbare. Till Stockholm, där läget är noll, kommer den på knappt två timmar.

Där linjerna skär varandra har båda bilarna samma läge vid samma tid. Det är precis mötet. Från den orange skärningspunkten går vi ner till tidsaxeln och läser av 1 h, åt vänster till den lodräta axeln och läser av 90 km.

Att lösa ekvationen x₁ = x₂ är detsamma som att leta efter skärningspunkten mellan två linjer, fast vi räknar i stället för att rita. Grafen visar vad som händer i uppgiften och ger en snabb uppskattning. Ekvationen ger ett exakt tal, också när skärningspunkten hamnar mellan två streck på skalan.

Köra ikapp

Från Södertälje cyklar en cyklist med konstant fart 18 km/h. En timme efter honom ger sig en bil iväg längs samma väg med farten 54 km/h. När och var kör bilen ikapp cyklisten?

Vi bestämmer från vilket ögonblick vi mäter tiden. Mest praktiskt är att starta stoppuret när bilen kör iväg. Cyklisten har då redan cyklat i en timme, och det ger ett försprång på 18 km. Det är hans startsträcka s₀ i formeln s = s₀ + v · t. Cyklisten rör sig bara framåt och startade i axelns origo, och därför sammanfaller hans startsträcka med hans startläge. Vi lägger axeln längs vägen med origo i Södertälje. Cyklisten får index 1, bilen index 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Båda rör sig i axelns riktning, så deras lägen är

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Bilen kör ikapp cyklisten när de är på samma plats, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Den här gången står skillnaden mellan farterna i nämnaren. Bilen tar varje timme in 54 km − 18 km = 36 km av försprånget, på samma sätt som bilens försprång framför lastbilen tidigare växte med skillnaden mellan deras farter. Vi räknar:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Bilen kör ikapp cyklisten efter en halvtimme, alltså efter 30 min. Mötesplatsen läser vi av ur bilens läge:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Cyklisten är i samma ögonblick vid 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, det stämmer. Svar: Bilen kör ikapp cyklisten en halvtimme efter att den startade, 27 km från Södertälje.

Också här ritar vi en graf över läget. På tidsaxeln står den här gången minuter från det att bilen startade, så att inga decimaltal dyker upp i figuren.

Graf över läget för cyklisten (blått) och bilen (rött), tid i minuter från det att bilen startade. Den orange skärningspunkten visar när och var bilen kör ikapp cyklisten

Cyklistens blå linje börjar inte i origo utan på höjden 18 km, precis som grafen för bilen som passerade kilometerstolpen. Bilens röda linje utgår från noll och är brantare. Det lodräta avståndet mellan linjerna är cyklistens försprång. Det krymper varje minut tills det i skärningspunkten vid 30 min och 27 km försvinner helt. Efter skärningspunkten ligger den röda linjen över den blå: bilen har kört om cyklisten och avlägsnar sig.

Se upp med vad vi svarar på. Halvtimmen mäter vi från det att bilen startade. Cyklisten har då redan trampat i en och en halv timme. Hade vi startat stoppuret med honom hade det blivit en och en halv timme. Båda stämmer, bara tiden mäts från olika ögonblick, och därför måste vi ange vilket i svaret.

Ur formeln kan vi läsa av en sak till. Om bilen bara hade kört 18 km/h hade nämnaren varit noll. Man kan inte dela med noll, och bilen hade inte kommit ikapp cyklisten ens i Norrköping.

Tåg i en tunnel

Ett 200 m långt tåg passerar med konstant fart 72 km/h genom en tunnel som är 1 km lång. Hur lång tid tar det för tåget att köra igenom hela tunneln, alltså från det att loket kör in till det att den sista vagnen kommer ut?

Det är frestande att dela tunnelns längd med farten. Men tåget får vi inte betrakta som en punktformig kropp, eftersom det är just dess längd som avgör resultatet, och utan en skiss förbiser vi det lätt.

Grått streckat tåget när dess front kör in i tunneln, heldraget tåget när dess bakände kommer ut ur tunneln. Fronten är orange i båda lägena, sträckan s som den kör är röd

Det räcker att följa en enda punkt på tåget, lokets front (orange). I början är den vid tunnelns inkörsport. När den sista vagnen kommer ut är fronten en hel tåglängd bortom utgången. Den har alltså kört tunnelns längd (blått) och dessutom tågets längd (grönt):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Längderna är i meter, så vi räknar om farten till meter per sekund:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Tiden är sträckan delad med farten:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Meter delat med meter per sekund blir sekunder, så tåget kör igenom tunneln på en minut. Den som bara tog tunnelns längd fick 50 s. Då kommer loket just ut, och hela tåget bakom det är fortfarande i tunneln. Uppskattningen stämmer: en kilometer kör tåget på femtio sekunder och tvåhundra meter till på ytterligare tio.

Räkna själv ut hur länge hela tåget är inne i tunneln. Det börjar i det ögonblick då den sista vagnen kör in i tunneln, och fronten alltså är 200 m innanför inkörsporten. Det slutar när fronten når utgången. Fronten kör 1000 m − 200 m = 800 m, och det tar 40 s. Tågets längd dras den här gången ifrån.

Med strömmen och mot strömmen

På Göta älv går en utflyktsbåt. Relativt vattnet kör den med farten 15 km/h och älven strömmar med farten 3 km/h. Hur lång tid tar det för båten att nå en hamn 36 km medströms, och hur lång tid tar återresan?

Båtens fart mäter vi relativt vattnet. Om båtföraren stängde av motorn skulle vattnet föra båten med sig med farten 3 km/h. Som alltid beror det på vad vi mäter rörelsen i förhållande till. Relativt stranden kör båten medströms 15 km varje timme med egen kraft, och vattnet för den ytterligare 3 km framåt. Båten får index 1, strömmen index 2. Tiden medströms betecknar vi $t_{+}$ , eftersom farterna adderas, och tiden motströms $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Medströms adderas farterna och resan tar

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Motströms drar vattnet tillbaka båten 3 km varje timme och farterna subtraheras:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometer delat med kilometer per timme ger timmar. Båten når hamnen på två timmar och tillbaka på tre.

Om strömmen nådde upp till båtens fart relativt vattnet skulle nämnaren i den andra formeln vara noll, precis som för bilen som skulle köra efter cyklisten med bara 18 km/h. Båten skulle motströms stå still relativt stranden, och båtföraren kunde låta motorn gå hela dagen utan att komma en meter närmare utgångshamnen.

Nu en fälla. Vilken medelfart hade båten på hela turen fram och tillbaka? Den som svarar 15 km/h, eftersom strömmen hjälpte och stjälpte lika mycket, gick i samma fälla som i uppgiften dit 60, tillbaka 40. Båten körde 72 km på 5 h:

$v_{m} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Motströms var båten längre tid, tre timmar i stället för två, och medelvärdet drogs därför mot den lägre farten. På stillastående vatten skulle samma 72 km ta 4,8 h, alltså 4 h och 48 min. En ström som hjälper och stjälper lika mycket förlänger alltid en tur fram och tillbaka.

I alla uppgifter i den här artikeln körde bilar, tåg och båtar med konstant fart. En riktig bil måste först komma i gång och sedan bromsa före målet. Hur man beskriver en rörelse där farten ändras visar vi i nästa artikel, Acceleration.

« Föregående: Så löser du uppgifter i kinematik och dynamik

Nästa: Acceleration »