Contextopgaven over beweging

Om acht uur 's ochtends vertrekt uit Praag over de snelweg D1 een auto met een snelheid van 90 km/h. Op hetzelfde moment rijdt hem uit Brno een tweede auto tegemoet met een snelheid van 115 km/h. De snelweg tussen de steden is 205 km lang. Wanneer en waar ontmoeten de auto's elkaar?

Opgaven over beweging zien er telkens anders uit, maar bijna allemaal zijn ze met dezelfde truc te kraken. Voor elk voertuig schrijven we op waar het is op tijdstip t, en dan zoeken we het moment waarop beide op dezelfde plek zijn. Alles rijdt met een constante snelheid, dus we hebben genoeg aan de formules voor eenparige rechtlijnige beweging en de gebruikelijke aanpak van opgaven.

Twee auto's naar elkaar toe

We schrijven op wat we weten en wat we zoeken. De auto uit Praag krijgt index 1, de auto uit Brno index 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =90\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =115\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =205\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Alles is in kilometer en uren, de eenheden worden niet gemengd, dus we hoeven niet om te rekenen. De tijd komt in uren uit.

Een schets helpt. Langs de snelweg leggen we de x-as. De oorsprong leggen we in Praag, dus Brno ligt op 205 km.

De rode auto rijdt in de richting van de as, dus zijn plaats is gewoon de afgelegde weg:

$$x_1=v_1\cdot t$$

De blauwe auto begint op 205 km en rijdt tegen de richting van de as in. Zijn plaats wordt daarom elk uur 115 km kleiner:

$$x_2=s-v_2\cdot t$$

Het minteken staat hier om dezelfde reden als waarom de grafiek van Sem op de terugweg naar huis daalde. Een natuurkundige zou gerust zeggen dat de blauwe auto een snelheid van −115 km/h heeft. Wij laten de snelheid positief, zoals de snelheidsmeter haar laat zien, en de richting schrijven we met een teken in de formule.

De auto's ontmoeten elkaar als ze op dezelfde plek zijn, dus als x₁ = x₂. We lossen de opgave algemeen op:

$$\begin{array}{rcl}{v}_1\cdot t& =& s-v_2\cdot t/+v_2\cdot t\\ v_1\cdot t+v_2\cdot t& =& s\\ t\cdot (v_1+v_2)& =& s/:(v_1+v_2)\\ t& =& \frac{s}{v_1+v_2}\end{array}$$

De tweede regel is ook zonder vergelijkingen logisch. De uitdrukking v₁ · t is de afgelegde weg van de rode auto, v₂ · t die van de blauwe, en samen leggen ze de hele afstand tussen de steden af. Elk uur komen ze 90 km + 115 km = 205 km dichter bij elkaar. We vullen in:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{205\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}+115\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{205\mathrm{km}}{205\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1\mathrm{h}\end{array}$$

De eenheden kloppen: kilometer gedeeld door kilometer per uur is uren. De plaats van de ontmoeting krijgen we als we de tijd invullen in de plaats van een van beide auto's:

$$x_1=90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1\mathrm{h}=90\mathrm{km}$$

Ter controle: de blauwe auto is op dat moment op 205 km − 115 km = 90 km, dus op dezelfde plek. Ook de schatting klopt. Als beide auto's even snel zouden rijden, zouden ze elkaar halverwege ontmoeten. De auto uit Brno rijdt sneller, dus ze ontmoeten elkaar dichter bij Praag. Antwoord: de auto's ontmoeten elkaar om negen uur, 90 km van Praag. Zwaaien naar elkaar halen de bestuurders waarschijnlijk niet, ze razen immers met precies die 205 km per uur op elkaar af.

Het snijpunt van grafieken

Dezelfde opgave kunnen we ook zonder vergelijking aan. We tekenen de plaatsen van beide auto's in één grafiek, net als eerder de auto en de vrachtwagen.

De rode lijn begint in de oorsprong en stijgt met een steilheid van 90 km/h. De blauwe begint op hoogte 205 km en daalt, omdat de auto tegen de richting van de as in rijdt. Hij daalt steiler dan de rode stijgt, omdat de auto uit Brno sneller is. Praag, waar de plaats nul is, bereikt hij in iets minder dan twee uur.

Waar de lijnen elkaar snijden, hebben beide auto's op hetzelfde tijdstip dezelfde plaats. Dat is precies de ontmoeting. Vanuit het oranje snijpunt gaan we omlaag naar de tijdas en lezen 1 h af, naar links naar de verticale as en lezen 90 km af.

De vergelijking x₁ = x₂ oplossen is hetzelfde als het snijpunt van twee lijnen zoeken, alleen rekenen we in plaats van tekenen. De grafiek laat zien wat er in de opgave gebeurt en geeft een snelle schatting. De vergelijking geeft een exact getal, ook als het snijpunt tussen de streepjes valt.

Inhalen

Uit Utrecht vertrekt een fietser met een constante snelheid van 18 km/h. Een uur na hem gaat over dezelfde weg een auto op pad met een snelheid van 54 km/h. Wanneer en waar haalt hij de fietser in?

Laten we bepalen vanaf wanneer we de tijd meten. Het handigst is de stopwatch te starten op het moment dat de auto vertrekt. De fietser heeft dan al een uur gereden, dat is een voorsprong van 18 km. Dat is zijn beginafstand s₀ uit de formule s = s₀ + v · t. De fietser rijdt alleen vooruit en is vanuit de oorsprong van de as vertrokken, en zijn beginafstand valt daarom samen met de beginplaats. De as leggen we langs de weg met de oorsprong in Utrecht. De fietser krijgt index 1, de auto index 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s_0& =18\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Beiden rijden in de richting van de as, dus hun plaatsen zijn

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =s_0+v_1\cdot t,\\ x_2& =v_2\cdot t.\end{array}$$

De auto haalt de fietser in als ze op dezelfde plek zijn, x₂ = x₁:

$$\begin{array}{rcl}{v}_2\cdot t& =& s_0+v_1\cdot t/-v_1\cdot t\\ t\cdot (v_2-v_1)& =& s_0/:(v_2-v_1)\\ t& =& \frac{s_0}{v_2-v_1}\end{array}$$

Deze keer staat in de noemer het verschil van de snelheden. De auto knabbelt elk uur 54 km − 18 km = 36 km van de voorsprong af, net zoals eerder de voorsprong van de auto op de vrachtwagen toenam met het verschil van hun snelheden. We rekenen uit:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{18\mathrm{km}}{54\mathrm{km}/\mathrm{h}-18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{18\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,5\mathrm{h}\end{array}$$

De auto haalt de fietser in na een half uur, dus na 30 min. De plaats van de ontmoeting lezen we af uit de plaats van de auto:

$$x_2=54\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,5\mathrm{h}=27\mathrm{km}$$

De fietser is op hetzelfde moment op 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, dat klopt. Antwoord: de auto haalt de fietser een half uur na zijn eigen vertrek in, 27 km van Utrecht.

Ook hier tekenen we een plaatsgrafiek. Op de tijdas staan deze keer minuten sinds het vertrek van de auto, zodat er in de afbeelding geen decimale getallen voorkomen.

De blauwe lijn van de fietser begint niet in de oorsprong, maar op hoogte 18 km, net als de grafiek van de auto die langs de kilometerpaal reed. De rode lijn van de auto begint in nul en is steiler. De verticale afstand tussen de lijnen is de voorsprong van de fietser. Elke minuut wordt die kleiner, tot hij in het snijpunt bij 30 min en 27 km helemaal verdwijnt. Voorbij het snijpunt ligt de rode lijn boven de blauwe: de auto is de fietser gepasseerd en verwijdert zich al.

Pas op waarop we antwoord geven. Het half uur meten we vanaf het vertrek van de auto. De fietser trapt op dat moment al anderhalf uur. Als we de stopwatch met hem hadden gestart, was er anderhalf uur uitgekomen. Beide klopt, elke tijd wordt alleen vanaf een ander moment gemeten, en dat moeten we daarom in het antwoord vermelden.

Uit de formule lezen we nog iets af. Als de auto maar 18 km/h zou rijden, zou er nul in de noemer staan. Delen door nul kan niet en de auto zou de fietser zelfs in Groningen niet inhalen.

Een trein in een tunnel

Een trein van 200 m lang rijdt met een constante snelheid van 72 km/h door een tunnel van 1 km. Hoe lang duurt het voor hij helemaal door de tunnel is, dus vanaf het moment dat de locomotief de tunnel inrijdt tot het moment dat de laatste wagon eruit rijdt?

Het is verleidelijk de lengte van de tunnel door de snelheid te delen. Maar de trein mogen we hier niet als puntmassa beschouwen, omdat juist zijn lengte het resultaat bepaalt, en zonder schets zien we dat gemakkelijk over het hoofd.

We hoeven maar één punt van de trein te volgen, de voorkant van de locomotief (oranje). Aan het begin is die bij de ingang van de tunnel. Als de laatste wagon de tunnel uitrijdt, is de voorkant de hele lengte van de trein voorbij de uitgang. Hij heeft dus de lengte van de tunnel (blauw) afgelegd en daarbovenop de lengte van de trein (groen):

$$s=1000\mathrm{m}+200\mathrm{m}=1200\mathrm{m}$$

De lengtes zijn in meter, de snelheid rekenen we daarom om naar meter per seconde:

$$v=72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

De tijd is de afgelegde weg gedeeld door de snelheid:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1200\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$$

Meter gedeeld door meter per seconde is seconden, dus de trein is in een minuut door de tunnel. Wie alleen de lengte van de tunnel nam, kreeg 50 s. Op dat moment rijdt de locomotief er pas uit en de hele trein achter hem zit nog in de tunnel. De schatting klopt: een kilometer legt de trein af in vijftig seconden en tweehonderd meter extra in nog eens tien.

Reken zelf nog uit hoe lang de trein helemaal in de tunnel is. Dat begint op het moment dat de laatste wagon de tunnel inrijdt en de voorkant dus 200 m voorbij de ingang is. Het eindigt als de voorkant bij de uitgang aankomt. De voorkant legt 1000 m − 200 m = 800 m af, en dat kost 40 s. De lengte van de trein wordt deze keer afgetrokken.

Met de stroom mee en tegen de stroom in

Op de Rijn vaart een rondvaartboot. Ten opzichte van het water vaart hij met een snelheid van 15 km/h en de rivier stroomt met een snelheid van 3 km/h. Hoe lang doet hij erover om met de stroom mee naar een haven op 36 km te varen en hoe lang om terug te komen?

De snelheid van het schip meten we ten opzichte van het water. Als de schipper de motor zou uitzetten, zou het water het schip met 3 km/h meevoeren. Zoals altijd hangt het ervan af ten opzichte van wat we de beweging meten. Ten opzichte van de oever legt het schip met de stroom mee per uur 15 km af op eigen kracht en het water voert het daarbovenop nog eens 3 km mee. Het schip krijgt index 1, de stroom index 2. De tijd met de stroom mee noteren we als $t_{+}$, omdat de snelheden worden opgeteld, de tijd tegen de stroom in als $t_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =3\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =36\mathrm{km}\\ t_{+}& =?\\ t_{-}& =?\end{array}$$

Met de stroom mee worden de snelheden opgeteld en de reis duurt

$$\begin{array}{rl}{t}_{+}& =\frac{s}{v_1+v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =2\mathrm{h}.\end{array}$$

Tegen de stroom in trekt het water het schip elk uur 3 km terug en worden de snelheden afgetrokken:

$$\begin{array}{rl}{t}_{-}& =\frac{s}{v_1-v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =3\mathrm{h}\end{array}$$

Kilometer gedeeld door kilometer per uur geeft uren. Het schip vaart in twee uur naar de haven en in drie uur terug.

Als de stroom de snelheid van het schip ten opzichte van het water zou bereiken, zou in de noemer van de tweede formule nul staan, net als bij de auto die achter de fietser maar 18 km/h zou rijden. Het schip zou tegen de stroom in ten opzichte van de oever stilstaan en de schipper zou de motor de hele dag kunnen laten draaien, de haven van vertrek zou geen meter dichterbij komen.

En nu een strikvraag. Wat was de gemiddelde snelheid van het schip over de hele reis heen en terug? Wie 15 km/h zegt, omdat de stroom de ene keer evenveel hielp als hij de andere keer hinderde, is erin getrapt zoals bij de opgave heen 60, terug 40. Het schip legde 72 km af in 5 h:

$$v_{\mathrm{gem}}=\frac{72\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=14,4\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Tegen de stroom in voer het langer, drie uur in plaats van twee, en het gemiddelde neigde daarom naar de lagere snelheid. Op stilstaand water zou het dezelfde 72 km in 4,8 h afleggen, dus in 4 h en 48 min. Een stroom die evenveel helpt als hindert, verlengt een uitstapje heen en terug altijd.

In alle opgaven in dit artikel reden de auto's, treinen en schepen met een constante snelheid. Maar een echte auto moet eerst optrekken en voor de bestemming weer afremmen. Hoe je een beweging beschrijft waarbij de snelheid verandert, laten we zien in het volgende artikel, Versnelling.