Sanallisia liiketehtäviä

Kahdeksalta aamulla Prahasta lähtee moottoritietä D1 pitkin auto nopeudella 90 km/h. Sitä vastaan lähtee samalla hetkellä Brnosta toinen auto nopeudella 115 km/h. Kaupunkien välinen moottoritie on 205 km pitkä. Milloin ja missä autot kohtaavat?

Liiketehtävät näyttävät joka kerta erilaisilta, mutta lähes kaikki voi ratkaista samalla kikalla. Jokaiselle ajoneuvolle kirjoitetaan, missä se on ajanhetkellä t, ja sitten etsitään hetki, jolloin molemmat ovat samassa paikassa. Kaikki ajaa vakionopeudella, joten riittävät tasaisen suoraviivaisen liikkeen kaavat ja tehtävien tavallinen ratkaisumenettely.

Kaksi autoa toisiaan vastaan

Kirjoitetaan, mitä tiedetään ja mitä etsitään. Prahasta lähtevä auto saa indeksin 1, Brnosta lähtevä indeksin 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =90\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =115\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =205\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Kaikki on kilometreinä ja tunteina, yksiköt eivät sekoitu, joten ei tarvitse muuntaa. Aika tulee tunteina.

Havainnekuvasta on apua. Moottoritien suuntaisesti asetetaan akseli x. Origo laitetaan Prahaan, joten Brno on kohdassa 205 km.

Punainen auto ajaa akselin suuntaan, joten sen paikka on yksinkertaisesti sen kulkema matka:

$$x_1=v_1\cdot t$$

Sininen auto lähtee kohdasta 205 km ja ajaa akselin suuntaa vastaan. Sen paikka pienenee siksi joka tunti 115 km:

$$x_2=s-v_2\cdot t$$

Miinus on tässä samasta syystä, jonka vuoksi Onnin kuvaaja laski kotimatkalla. Fyysikko sanoisi mielellään, että sinisen auton nopeus on −115 km/h. Tässä nopeus jätetään positiiviseksi, sellaiseksi kuin nopeusmittari sen näyttää, ja suunta kirjoitetaan etumerkillä kaavaan.

Autot kohtaavat, kun ne ovat samassa paikassa, eli kun x₁ = x₂. Ratkaistaan tehtävä yleisesti:

$$\begin{array}{rcl}{v}_1\cdot t& =& s-v_2\cdot t/+v_2\cdot t\\ v_1\cdot t+v_2\cdot t& =& s\\ t\cdot (v_1+v_2)& =& s/:(v_1+v_2)\\ t& =& \frac{s}{v_1+v_2}\end{array}$$

Toinen rivi on järkevä ilman yhtälöitäkin. Lauseke v₁ · t on punaisen auton matka, v₂ · t sinisen, ja yhdessä ne kulkevat koko kaupunkien välisen etäisyyden. Joka tunti ne lähestyvät toisiaan 90 km + 115 km = 205 km. Sijoitetaan:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{205\mathrm{km}}{90\mathrm{km}/\mathrm{h}+115\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{205\mathrm{km}}{205\mathrm{km}/\mathrm{h}}=1\mathrm{h}\end{array}$$

Yksiköt täsmäävät: kilometrit jaettuna kilometreillä tunnissa ovat tunteja. Kohtaamispaikka saadaan sijoittamalla ajan minkä tahansa auton paikkaan:

$$x_1=90\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 1\mathrm{h}=90\mathrm{km}$$

Tarkistukseksi: sininen auto on sillä hetkellä kohdassa 205 km − 115 km = 90 km, eli samassa paikassa. Myös arvio täsmää. Jos molemmat autot ajaisivat yhtä nopeasti, ne kohtaisivat matkan puolivälissä. Brnosta lähtevä auto ajaa nopeammin, joten ne kohtaavat lähempänä Prahaa. Vastaus: autot kohtaavat yhdeksältä, 90 km päässä Prahasta. Kuljettajat tuskin ehtivät vilkuttaa toisilleen, sillä autot syöksyvät toisiaan kohti juuri sillä 205 km tunnissa.

Kuvaajien leikkauspiste

Saman tehtävän voi ratkaista myös ilman yhtälöä. Molempien autojen paikat piirretään samaan kuvaajaan, kuten aiemmin auton ja rekan.

Punainen suora lähtee origosta ja nousee jyrkkyydellä 90 km/h. Sininen alkaa korkeudelta 205 km ja laskee, koska auto ajaa akselin suuntaa vastaan. Se laskee jyrkemmin kuin punainen nousee, koska Brnosta lähtevä auto on nopeampi. Prahaan, jossa paikka on nolla, se saapuu alle kahdessa tunnissa.

Siellä, missä suorat leikkaavat, molemmilla autoilla on samalla ajanhetkellä sama paikka. Se on täsmälleen kohtaaminen. Oranssista leikkauspisteestä laskeudutaan aika-akselille ja luetaan 1 h, vasemmalle pystyakselille ja luetaan 90 km.

Yhtälön x₁ = x₂ ratkaiseminen on sama asia kuin kahden suoran leikkauspisteen etsiminen, vain piirtämisen sijaan lasketaan. Kuvaaja näyttää, mitä tehtävässä tapahtuu, ja antaa nopean arvion. Yhtälö antaa tarkan luvun silloinkin, kun leikkauspiste osuu asteikon välille.

Kiinniotto

Lahdesta lähtee pyöräilijä vakionopeudella 18 km/h. Tunti hänen jälkeensä samaa tietä lähtee auto nopeudella 54 km/h. Milloin ja missä auto saavuttaa pyöräilijän?

Päätetään, mistä aika mitataan. Mukavinta on käynnistää sekuntikello hetkellä, jolloin auto lähtee. Pyöräilijällä on silloin takanaan tunnin ajo, eli etumatka 18 km. Se on hänen alkumatkansa s₀ kaavasta s = s₀ + v · t. Pyöräilijä ajaa vain eteenpäin ja lähti akselin origosta, joten hänen alkumatkansa on sama kuin alkupaikka. Akseli asetetaan tien suuntaisesti ja origo Lahteen. Pyöräilijä saa indeksin 1, auto indeksin 2:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =18\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =54\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s_0& =18\mathrm{km}\\ t& =?\\ x& =?\end{array}$$

Molemmat ajavat akselin suuntaan, joten niiden paikat ovat

$$\begin{array}{rl}{x}_1& =s_0+v_1\cdot t,\\ x_2& =v_2\cdot t.\end{array}$$

Auto saavuttaa pyöräilijän, kun ne ovat samassa paikassa, x₂ = x₁:

$$\begin{array}{rcl}{v}_2\cdot t& =& s_0+v_1\cdot t/-v_1\cdot t\\ t\cdot (v_2-v_1)& =& s_0/:(v_2-v_1)\\ t& =& \frac{s_0}{v_2-v_1}\end{array}$$

Tällä kertaa nimittäjässä on nopeuksien erotus. Auto kuroo joka tunti etumatkaa kiinni 54 km − 18 km = 36 km, aivan kuten auton etumatka rekkaan nähden kasvoi aiemmin niiden nopeuksien erotuksen verran. Lasketaan:

$$\begin{array}{rl}t& =\frac{18\mathrm{km}}{54\mathrm{km}/\mathrm{h}-18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =\frac{18\mathrm{km}}{36\mathrm{km}/\mathrm{h}}=0,5\mathrm{h}\end{array}$$

Auto saavuttaa pyöräilijän puolessa tunnissa, eli ajassa 30 min. Kohtaamispaikka saadaan auton paikasta:

$$x_2=54\mathrm{km}/\mathrm{h}\cdot 0,5\mathrm{h}=27\mathrm{km}$$

Pyöräilijä on samalla hetkellä kohdassa 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, täsmää. Vastaus: auto saavuttaa pyöräilijän puoli tuntia auton lähdön jälkeen, 27 km päässä Lahdesta.

Tähänkin piirretään paikan kuvaaja. Aika-akselilla ovat tällä kertaa minuutit auton lähdöstä, jotta kuvaan ei tule desimaalilukuja.

Pyöräilijän sininen suora ei ala origosta vaan korkeudelta 18 km, kuten kilometripylvään ohittavan auton kuvaaja. Auton punainen suora lähtee nollasta ja on jyrkempi. Suorien pystysuuntainen etäisyys on pyöräilijän etumatka. Se pienenee joka minuutti, kunnes leikkauspisteessä kohdassa 30 min ja 27 km se katoaa kokonaan. Leikkauspisteen jälkeen punainen suora on sinisen yläpuolella: auto on ohittanut pyöräilijän ja etääntyy jo.

Huomaa, mihin vastataan. Puoli tuntia mitataan auton lähdöstä. Pyöräilijä on silloin polkenut jo puolitoista tuntia. Jos sekuntikello olisi käynnistetty hänen lähtiessään, tulokseksi olisi tullut puolitoista tuntia. Molemmat pitävät paikkansa, kumpikin aika vain mitataan eri hetkestä, ja siksi se täytyy vastauksessa mainita.

Kaavasta voi lukea vielä yhden asian. Jos auto ajaisi vain 18 km/h, nimittäjässä olisi nolla. Nollalla ei voi jakaa, eikä auto saavuttaisi pyöräilijää edes Jyväskylässä.

Juna tunnelissa

200 m pitkä juna ajaa vakionopeudella 72 km/h tunnelin läpi, jonka pituus on 1 km. Kuinka kauan junalta kuluu ajaa tunnelin läpi kokonaan, eli veturin tunneliin ajamisesta viimeisen vaunun ulos ajamiseen?

Houkuttaa jakaa tunnelin pituus nopeudella. Junaa ei kuitenkaan saa tässä pitää massapisteenä, koska tuloksen ratkaisee juuri sen pituus, ja ilman havainnekuvaa sen ohittaa helposti.

Riittää seurata junan yhtä pistettä, veturin etuosaa (oranssilla). Alussa se on tunnelin sisäänajon kohdalla. Kun viimeinen vaunu ajaa tunnelista ulos, etuosa on ulosajon takana koko junan pituuden verran. Se on siis kulkenut tunnelin pituuden (sinisellä) ja sen lisäksi junan pituuden (vihreällä):

$$s=1000\mathrm{m}+200\mathrm{m}=1200\mathrm{m}$$

Pituudet ovat metreinä, joten nopeus muunnetaan metreiksi sekunnissa:

$$v=72\mathrm{km}/\mathrm{h}=\frac{72}{3,6}\mathrm{m}/\mathrm{s}=20\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Aika on matka jaettuna nopeudella:

$$t=\frac{s}{v}=\frac{1200\mathrm{m}}{20\mathrm{m}/\mathrm{s}}=60\mathrm{s}$$

Metrit jaettuna metreillä sekunnissa ovat sekunteja, joten juna ajaa tunnelin läpi minuutissa. Joka otti vain tunnelin pituuden, sai 50 s. Silloin veturi kuitenkin vasta ajaa ulos ja koko juna on sen takana vielä tunnelissa. Arvio täsmää: kilometrin juna kulkee viidessäkymmenessä sekunnissa ja kaksisataa metriä lisää kymmenessä sekunnissa.

Laske vielä, kuinka kauan juna on kokonaan tunnelissa. Se alkaa hetkellä, jolloin viimeinen vaunu ajaa tunneliin ja etuosa on siis 200 m sisäänajon takana. Se päättyy, kun etuosa saapuu ulosajolle. Etuosa kulkee 1 000 m − 200 m = 800 m, mihin menee 40 s. Junan pituus vähennetään tällä kertaa.

Myötävirtaan ja vastavirtaan

Joella kulkee retkiristeilijä. Veden suhteen se ajaa nopeudella 15 km/h ja joki virtaa nopeudella 3 km/h. Kuinka kauan kestää, ennen kuin se saapuu satamaan 36 km myötävirtaan, ja kuinka kauan paluu kestää?

Laivan nopeus mitataan veden suhteen. Jos perämies sammuttaisi moottorin, vesi kuljettaisi laivaa nopeudella 3 km/h. Kuten aina, merkitystä on sillä, minkä suhteen liikettä mitataan. Rannan suhteen laiva kulkee myötävirtaan tunnissa 15 km omalla voimallaan ja vesi siirtää sitä siihen päälle vielä 3 km. Laiva saa indeksin 1, virta indeksin 2. Aikaa myötävirtaan merkitään $t_{+}$, koska nopeudet lasketaan yhteen, aikaa vastavirtaan $t_{-}$:

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =15\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ v_2& =3\mathrm{km}/\mathrm{h}\\ s& =36\mathrm{km}\\ t_{+}& =?\\ t_{-}& =?\end{array}$$

Myötävirtaan nopeudet lasketaan yhteen ja matka kestää

$$\begin{array}{rl}{t}_{+}& =\frac{s}{v_1+v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{18\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =2\mathrm{h}.\end{array}$$

Vastavirtaan vesi vetää laivaa joka tunti 3 km takaisin ja nopeudet vähennetään:

$$\begin{array}{rl}{t}_{-}& =\frac{s}{v_1-v_2}=\frac{36\mathrm{km}}{12\mathrm{km}/\mathrm{h}}\\ & =3\mathrm{h}\end{array}$$

Kilometrit jaettuna kilometreillä tunnissa antavat tunteja. Laiva saapuu satamaan kahdessa tunnissa ja takaisin kolmessa.

Jos virta saavuttaisi laivan nopeuden veden suhteen, toisen kaavan nimittäjässä olisi nolla, kuten autolla, joka ajaisi pyöräilijän perässä vain 18 km/h. Laiva seisoisi vastavirtaan rannan suhteen paikallaan, ja perämies voisi antaa moottorin käydä koko päivän, lähtösatama ei lähestyisi metriäkään.

Ja nyt ansa. Millä keskinopeudella laiva kulki koko matkan edestakaisin? Joka sanoo 15 km/h, koska virta auttoi kerran ja haittasi kerran yhtä paljon, lankesi samaan ansaan kuin menomatkalla 60, takaisin 40 -tehtävässä. Laiva kulki 72 km ajassa 5 h:

$$v_k=\frac{72\mathrm{km}}{5\mathrm{h}}=14,4\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Vastavirtaan se kulki pidempään, kolme tuntia kahden sijaan, ja keskiarvo kallistui siksi hitaamman nopeuden puolelle. Seisovassa vedessä se kulkisi samat 72 km ajassa 4,8 h, eli ajassa 4 h ja 48 min. Virta, joka auttaa ja haittaa yhtä paljon, pidentää edestakaista retkeä aina.

Kaikissa tämän artikkelin tehtävissä autot, junat ja laivat kulkivat vakionopeudella. Oikean auton täytyy kuitenkin ensin lähteä liikkeelle ja ennen perille tuloa jarruttaa. Miten kuvataan liike, jossa nopeus muuttuu, näytetään seuraavassa artikkelissa, Kiihtyvyys.