Opgaver om bevægelse

Klokken otte om morgenen kører en bil fra Aalborg ad motorvejen E45 med farten 90 km/h. Imod den kører samtidig en anden bil fra Vejle med farten 115 km/h. Motorvejen mellem byerne er 205 km lang. Hvornår og hvor mødes bilerne?

Opgaver om bevægelse ser hver gang forskellige ud, men næsten alle kan knækkes med det samme trick. For hvert køretøj skriver vi op, hvor det er til tiden t, og så leder vi efter det øjeblik, hvor begge er på samme sted. Alt kører med konstant fart, så formlerne for jævn retlinet bevægelse og den sædvanlige fremgangsmåde ved opgaver er nok.

To biler mod hinanden

Vi skriver op, hvad vi ved, og hvad vi leder efter. Bilen fra Aalborg får indeks 1, bilen fra Vejle indeks 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Alt er i kilometer og timer, enhederne blandes ikke, så vi behøver ikke at omregne. Tiden kommer ud i timer.

En skitse hjælper. Langs motorvejen lægger vi aksen x. Origo placerer vi i Aalborg, så Vejle ligger ved 205 km.

Skitse: aksen x langs motorvejen, den røde bil fra Aalborg kører med farten v_1 mod højre, den blå bil fra Vejle med farten v_2 mod venstre

Den røde bil kører i aksens retning, så dens position er simpelthen den strækning, den har kørt:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Den blå bil starter ved 205 km og kører mod aksens retning. Dens position bliver derfor mindre med 115 km hver time:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Minusset står her af samme grund, som Emils graf faldt på vej hjem. En fysiker ville uden videre sige, at den blå bil har hastigheden −115 km/h. Vi lader farten være positiv, sådan som speedometeret viser den, og skriver retningen med fortegn i formlen.

Bilerne mødes, når de er på samme sted, altså når x₁ = x₂. Opgaven løser vi generelt:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Den anden linje giver mening selv uden ligninger. Udtrykket v₁ · t er den røde bils strækning, v₂ · t den blå bils, og tilsammen kører de hele afstanden mellem byerne. For hver time nærmer de sig hinanden med 90 km + 115 km = 205 km. Vi sætter ind:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Enhederne passer: kilometer divideret med kilometer i timen er timer. Mødestedet får vi ved at sætte tiden ind i en af bilernes position:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Som kontrol: Den blå bil er i det øjeblik ved 205 km − 115 km = 90 km, altså på samme sted. Overslaget passer også. Hvis begge biler kørte lige hurtigt, ville de mødes midtvejs. Bilen fra Vejle kører hurtigere, så de mødes tættere på Aalborg. Svar: Bilerne mødes klokken ni, 90 km fra Aalborg. Førerne når nok ikke at vinke til hinanden, de suser jo mod hinanden med netop de 205 km i timen.

Skæringspunkt mellem grafer

Den samme opgave klarer vi også uden en ligning. Begge bilers positioner tegner vi i én graf, ligesom før bilen og lastbilen.

Graf over positionen af bilen fra Aalborg (rødt) og bilen fra Vejle (blåt). Det orange skæringspunkt viser, hvornår og hvor bilerne mødes

Den røde linje udgår fra origo og stiger med hældningen 90 km/h. Den blå begynder i højden 205 km og falder, fordi bilen kører mod aksens retning. Den falder stejlere, end den røde stiger, fordi bilen fra Vejle er hurtigere. Til Aalborg, hvor positionen er nul, kommer den på knap to timer.

Hvor linjerne skærer hinanden, har begge biler samme position på samme tidspunkt. Det er præcis mødet. Fra det orange skæringspunkt går vi ned på tidsaksen og aflæser 1 h, til venstre til den lodrette akse og aflæser 90 km.

At løse ligningen x₁ = x₂ er det samme som at lede efter skæringspunktet mellem to linjer, vi regner bare i stedet for at tegne. Grafen viser, hvad der sker i opgaven, og giver et hurtigt overslag. Ligningen giver et præcist tal, selv når skæringspunktet falder mellem delestregerne.

Indhentning

Fra Roskilde kører en cyklist med den konstante fart 18 km/h. En time efter ham kører en bil ad den samme vej med farten 54 km/h. Hvornår og hvor indhenter den cyklisten?

Vi beslutter, hvorfra vi vil måle tiden. Det er mest bekvemt at starte stopuret i det øjeblik, bilen kører af sted. Cyklisten har på det tidspunkt en times kørsel bag sig, det er et forspring på 18 km. Det er hans begyndelsesstrækning s₀ fra formlen s = s₀ + v · t. Cyklisten kører kun fremad og startede i aksens origo, så hans begyndelsesstrækning falder sammen med begyndelsespositionen. Aksen lægger vi langs vejen med origo i Roskilde. Cyklisten får indeks 1, bilen indeks 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Begge kører i aksens retning, så deres positioner er

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Bilen indhenter cyklisten, når de er på samme sted, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Denne gang står forskellen på farterne i nævneren. Bilen skærer for hver time 54 km − 18 km = 36 km af forspringet, ligesom bilens forspring før lastbilen voksede med forskellen på deres farter. Vi beregner:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Bilen indhenter cyklisten på en halv time, altså på 30 min. Mødestedet aflæser vi af bilens position:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Cyklisten er i samme øjeblik ved 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, det passer. Svar: Bilen indhenter cyklisten en halv time efter, at den kørte af sted, 27 km fra Roskilde.

Også her tegner vi en graf over positionen. På tidsaksen er der denne gang minutter fra bilens afgang, så der ikke optræder decimaltal på figuren.

Graf over positionen af cyklisten (blåt) og bilen (rødt), tiden i minutter fra bilens afgang. Det orange skæringspunkt viser, hvornår og hvor bilen indhenter cyklisten

Cyklistens blå linje begynder ikke i origo, men i højden 18 km, ligesom grafen for bilen, der passerede kilometerpælen. Bilens røde linje udgår fra nul og er stejlere. Den lodrette afstand mellem linjerne er cyklistens forspring. Det bliver mindre hvert minut, til det i skæringspunktet ved 30 min og 27 km forsvinder helt. Efter skæringspunktet ligger den røde linje over den blå: Bilen har overhalet cyklisten og fjerner sig allerede.

Pas på, hvad vi svarer på. Den halve time måler vi fra bilens afgang. Cyklisten har i det øjeblik cyklet i halvanden time. Hvis vi havde startet stopuret med ham, ville der være kommet halvanden time ud. Begge dele er rigtigt, hver tid måles bare fra et andet tidspunkt, og det skal vi derfor oplyse i svaret.

Af formlen aflæser vi endnu en ting. Hvis bilen kun kørte 18 km/h, ville der stå nul i nævneren. Man kan ikke dividere med nul, og bilen ville aldrig indhente cyklisten, ikke engang i Næstved.

Tog i tunnel

Et tog, der er 200 m langt, kører med den konstante fart 72 km/h gennem en tunnel, der er 1 km lang. Hvor lang tid er det om at komme helt gennem tunnelen, altså fra lokomotivet kører ind, til sidste vogn kører ud?

Det frister at dividere tunnelens længde med farten. Men toget må vi her ikke betragte som et massepunkt, for resultatet afhænger netop af dets længde, og uden en skitse overser man det let.

Gråt og stiplet toget, når dets forende kører ind i tunnelen, fuldt optrukket toget, når dets bagende kører ud af tunnelen. Forenden er i begge positioner orange, rødt er strækningen s, som den kører

Det er nok at følge ét punkt på toget, lokomotivets forende (orange). I begyndelsen er den ved tunnelens indkørsel. Når den sidste vogn kører ud af tunnelen, er forenden en hel toglængde forbi udkørslen. Den har altså kørt tunnelens længde (blåt) og dertil togets længde (grønt):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Længderne er i meter, farten omregner vi derfor til meter pr. sekund:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Tiden er strækningen divideret med farten:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Meter divideret med meter pr. sekund er sekunder, så toget kører gennem tunnelen på et minut. Den, der kun tog tunnelens længde, fik 50 s. I det øjeblik er lokomotivet imidlertid først ved at køre ud, og hele toget er stadig inde i tunnelen bag det. Overslaget passer: En kilometer kører toget på halvtreds sekunder og de to hundrede meter ekstra på yderligere ti.

Regn selv ud, hvor længe hele toget er inde i tunnelen. Det begynder i det øjeblik, hvor sidste vogn kører ind i tunnelen, og forenden altså er 200 m inde i tunnelen. Det slutter, når forenden når frem til udkørslen. Forenden kører 1000 m − 200 m = 800 m, og det tager den 40 s. Togets længde trækkes denne gang fra.

Med strømmen og mod strømmen

På Gudenåen sejler en udflugtsbåd. I forhold til vandet sejler den med farten 15 km/h, og åen strømmer med farten 3 km/h. Hvor lang tid er den om at sejle til en havn 36 km med strømmen, og hvor lang tid er den om at komme tilbage?

Bådens fart måler vi i forhold til vandet. Hvis skipperen slukkede motoren, ville vandet føre båden med sig med farten 3 km/h. Som altid afhænger det af, hvad vi måler bevægelsen i forhold til. I forhold til bredden tilbagelægger båden med strømmen på en time 15 km for egen kraft, og vandet flytter den yderligere 3 km. Båden får indeks 1, strømmen indeks 2. Tiden med strømmen kalder vi $t_{+}$ , fordi farterne lægges sammen, tiden mod strømmen $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Med strømmen lægges farterne sammen, og turen varer

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Mod strømmen trækker vandet båden hver time 3 km tilbage, og farterne trækkes fra hinanden:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometer divideret med kilometer i timen giver timer. Båden når frem til havnen på to timer og tilbage på tre.

Hvis strømmen nåede bådens fart i forhold til vandet, ville der stå nul i nævneren i den anden formel, ligesom ved bilen, der kun kørte 18 km/h efter cyklisten. Mod strømmen ville båden stå stille i forhold til bredden, og skipperen kunne lade motoren køre hele dagen, uden at udgangshavnen kom en meter nærmere.

Og nu en fælde. Hvilken gennemsnitsfart sejlede båden med på hele turen derhen og tilbage? Den, der siger 15 km/h, fordi strømmen hjalp lige så meget, som den hindrede, er gået i fælden på samme måde som i opgaven derhen 60, tilbage 40. Båden sejlede 72 km på 5 h:

$\bar{v} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Mod strømmen sejlede den længere, tre timer i stedet for to, og gennemsnittet hælder derfor mod den langsommere fart. På stillestående vand ville den have sejlet de samme 72 km på 4,8 h, altså på 4 h og 48 min. En strøm, der hjælper og hindrer lige meget, forlænger altid turen derhen og tilbage.

I alle opgaverne i denne artikel kørte bilerne, togene og bådene med konstant fart. En virkelig bil må dog først komme i gang og igen bremse ned før målet. Hvordan man beskriver en bevægelse, hvor farten ændrer sig, viser vi i den næste artikel, Acceleration.

« Forrige: Sådan løser du opgaver i kinematik og dynamik

Næste: Acceleration »