Tekstoppgaver om bevegelse

Klokka åtte om morgenen kjører en bil fra Praha på motorveien D1 med farten 90 km/h. Samtidig kjører en annen bil mot den fra Brno med farten 115 km/h. Motorveien mellom byene er 205 km. Når og hvor møtes bilene?

Oppgaver om bevegelse ser ulike ut hver gang, men nesten alle kan knekkes med det samme trikset. For hvert kjøretøy skriver vi hvor det er ved tiden t, og så leter vi etter øyeblikket da begge er på samme sted. Alt kjører med konstant fart, så formlene for rettlinjet bevegelse med konstant fart og den vanlige framgangsmåten for oppgaveløsning er nok.

To biler mot hverandre

Vi skriver opp hva vi vet og hva vi leter etter. Bilen fra Praha får indeks 1, bilen fra Brno indeks 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 90 km / h \\ v_{2} & = 115 km / h \\ s & = 205 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Alt er i kilometer og timer, enhetene blandes ikke, så vi trenger ikke regne om. Tiden blir i timer.

En skisse hjelper. Langs motorveien legger vi x-aksen. Origo legger vi i Praha, så Brno ligger på 205 km.

Skisse: x-aksen langs motorveien, den røde bilen fra Praha kjører med farten v_1 mot høyre, den blå bilen fra Brno med farten v_2 mot venstre

Den røde bilen kjører i aksens retning, så posisjonen er rett og slett strekningen den har kjørt:

$x_{1} = v_{1} \cdot t$

Den blå bilen starter på 205 km og kjører mot aksens retning. Posisjonen minker derfor med 115 km hver time:

$x_{2} = s - v_{2} \cdot t$

Minustegnet står her av samme grunn som grafen til Ola sank på hjemveien. En fysiker kunne godt si at den blå bilen har hastigheten −115 km/h. Vi lar farten være positiv, slik fartsmåleren viser den, og skriver retningen med fortegn i formelen.

Bilene møtes når de er på samme sted, altså når x₁ = x₂. Oppgaven løser vi generelt:

$\begin{array}{rcl} v_{1} \cdot t & = & s - v_{2} \cdot t / + v_{2} \cdot t \\ v_{1} \cdot t + v_{2} \cdot t & = & s \\ t \cdot (v_{1} + v_{2}) & = & s / : (v_{1} + v_{2}) \\ t & = & \frac{s}{v_{1} + v_{2}} \end{array}$

Den andre linjen gir mening også uten likninger. Uttrykket v₁ · t er strekningen til den røde bilen, v₂ · t strekningen til den blå, og sammen kjører de hele avstanden mellom byene. For hver time kommer de 90 km + 115 km = 205 km nærmere hverandre. Vi setter inn:

$\begin{aligned} t & = \frac{205 km}{90 km / h + 115 km / h} \\ = \frac{205 km}{205 km / h} = 1 h \end{aligned}$

Enhetene stemmer: kilometer delt på kilometer i timen er timer. Møtestedet får vi ved å sette tiden inn i posisjonen til en av bilene:

$x_{1} = 90 km / h \cdot 1 h = 90 km$

Til kontroll: den blå bilen er i det øyeblikket på 205 km − 115 km = 90 km, altså på samme sted. Overslaget stemmer også. Hvis begge bilene kjørte like fort, ville de møttes midtveis. Bilen fra Brno kjører fortere, så de møtes nærmere Praha. Svar: bilene møtes klokka ni, 90 km fra Praha. Sjåførene rekker nok ikke å vinke til hverandre, de suser mot hverandre med nettopp de 205 km i timen.

Skjæringspunkt mellom grafer

Den samme oppgaven klarer vi også uten likning. Posisjonene til begge bilene tegner vi i én graf, slik vi gjorde tidligere med bilen og lastebilen.

Posisjonsgraf for bilen fra Praha (rødt) og bilen fra Brno (blått). Det oransje skjæringspunktet viser når og hvor bilene møtes

Den røde linjen går ut fra origo og stiger med stigningstallet 90 km/h. Den blå begynner i høyden 205 km og synker, fordi bilen kjører mot aksens retning. Den synker brattere enn den røde stiger, fordi bilen fra Brno er raskere. Til Praha, der posisjonen er null, kommer den på knapt to timer.

Der linjene krysser hverandre, har begge bilene samme posisjon ved samme tid. Det er nettopp møtet. Fra det oransje skjæringspunktet går vi ned til tidsaksen og leser av 1 h, til venstre til den loddrette aksen og leser av 90 km.

Å løse likningen x₁ = x₂ er det samme som å lete etter skjæringspunktet mellom to rette linjer, bare at vi regner i stedet for å tegne. Grafen viser hva som skjer i oppgaven og gir et raskt overslag. Likningen gir et nøyaktig tall også når skjæringspunktet faller mellom delestrekene.

Å ta igjen

Fra Drammen sykler en syklist med konstant fart 18 km/h. En time etter ham drar en bil av gårde langs den samme veien med farten 54 km/h. Når og hvor tar den igjen syklisten?

Vi bestemmer oss for hvor vi skal måle tiden fra. Mest praktisk er å sette i gang stoppeklokka i det øyeblikket bilen kjører av gårde. Syklisten har da allerede en times sykling bak seg, det er et forsprang på 18 km. Det er hans startstrekning s₀ fra formelen s = s₀ + v · t. Syklisten sykler bare framover og startet fra origo på aksen, og startstrekningen hans faller derfor sammen med startposisjonen. Aksen legger vi langs veien med origo i Drammen. Syklisten får indeks 1, bilen indeks 2:

$\begin{aligned} v_{1} & = 18 km / h \\ v_{2} & = 54 km / h \\ s_{0} & = 18 km \\ t & = ? \\ x & = ? \end{aligned}$

Begge kjører i aksens retning, så posisjonene deres er

$\begin{aligned} x_{1} & = s_{0} + v_{1} \cdot t, \\ x_{2} & = v_{2} \cdot t . \end{aligned}$

Bilen tar igjen syklisten når de er på samme sted, x₂ = x₁:

$\begin{array}{rcl} v_{2} \cdot t & = & s_{0} + v_{1} \cdot t / - v_{1} \cdot t \\ t \cdot (v_{2} - v_{1}) & = & s_{0} / : (v_{2} - v_{1}) \\ t & = & \frac{s_{0}}{v_{2} - v_{1}} \end{array}$

Denne gangen står det en differanse mellom fartene i nevneren. Bilen tar hver time igjen 54 km − 18 km = 36 km av forspranget, slik forspranget til bilen foran lastebilen tidligere økte med differansen mellom fartene deres. Vi regner ut:

$\begin{aligned} t & = \frac{18 km}{54 km / h - 18 km / h} \\ = \frac{18 km}{36 km / h} = 0, 5 h \end{aligned}$

Bilen tar igjen syklisten på en halv time, altså på 30 min. Møtestedet leser vi av posisjonen til bilen:

$x_{2} = 54 km / h \cdot 0, 5 h = 27 km$

Syklisten er i samme øyeblikk på 18 km + 18 km/h · 0,5 h = 27 km, det stemmer. Svar: bilen tar igjen syklisten en halv time etter at den kjørte av gårde, 27 km fra Drammen.

Også her tegner vi en posisjonsgraf. På tidsaksen er det denne gangen minutter fra bilen kjørte av gårde, slik at det ikke dukker opp desimaltall i bildet.

Posisjonsgraf for syklisten (blått) og bilen (rødt), tid i minutter fra bilen kjørte av gårde. Det oransje skjæringspunktet viser når og hvor bilen tar igjen syklisten

Den blå linjen til syklisten begynner ikke i origo, men i høyden 18 km, akkurat som grafen til bilen som passerte kilometerstolpen. Den røde linjen til bilen går ut fra null og er brattere. Den loddrette avstanden mellom linjene er forspranget til syklisten. Hvert minutt blir det mindre, til det i skjæringspunktet ved 30 min og 27 km forsvinner helt. Etter skjæringspunktet ligger den røde linjen over den blå: bilen har kjørt forbi syklisten og fjerner seg.

Pass på hva vi svarer på. Den halve timen måler vi fra bilen kjørte av gårde. Syklisten har i det øyeblikket syklet i halvannen time. Hvis vi hadde satt i gang stoppeklokka sammen med ham, ville svaret blitt halvannen time. Begge deler stemmer, hver tid måles bare fra et annet øyeblikk, og det må vi derfor oppgi i svaret.

Av formelen kan vi lese ut en ting til. Hvis bilen bare kjørte 18 km/h, ville det stått null i nevneren. Å dele på null går ikke, og bilen ville ikke tatt igjen syklisten, ikke engang i Trondheim.

Tog i tunnel

Et tog på 200 m kjører med konstant fart 72 km/h gjennom en tunnel som er 1 km lang. Hvor lang tid tar det for toget å kjøre gjennom hele tunnelen, altså fra lokomotivet kjører inn til siste vogn kjører ut?

Det frister å dele lengden av tunnelen på farten. Men toget kan vi her ikke regne som et massepunkt, fordi det nettopp er lengden som avgjør resultatet, og uten skisse overser vi det lett.

Grått stiplet toget når fronten kjører inn i tunnelen, heltrukket toget når slutten kjører ut. Fronten er oransje i begge posisjoner, rødt strekningen s den kjører

Det holder å følge ett eneste punkt på toget, fronten av lokomotivet (oransje). I begynnelsen er det ved innkjøringen til tunnelen. Når den siste vognen kjører ut av tunnelen, er fronten bak utkjøringen med hele togets lengde. Den har altså kjørt lengden av tunnelen (blått) og i tillegg lengden av toget (grønt):

$s = 1000 m + 200 m = 1200 m$

Lengdene er i meter, så farten regner vi om til meter per sekund:

$v = 72 km / h = \frac{72}{3, 6} m / s = 20 m / s$

Tiden er strekningen delt på farten:

$t = \frac{s}{v} = \frac{1200 m}{20 m / s} = 60 s$

Meter delt på meter per sekund er sekunder, så toget kjører gjennom tunnelen på ett minutt. Den som bare tok lengden av tunnelen, fikk 50 s. Men i det øyeblikket er lokomotivet akkurat på vei ut, og hele toget bak det er fortsatt i tunnelen. Overslaget stemmer: en kilometer kjører toget på femti sekunder, og to hundre meter ekstra på ti sekunder til.

Regn selv ut hvor lenge hele toget er inne i tunnelen. Det begynner i det øyeblikket den siste vognen kjører inn i tunnelen og fronten altså er 200 m forbi innkjøringen. Det slutter når fronten kommer fram til utkjøringen. Fronten kjører 1000 m − 200 m = 800 m, og det tar 40 s. Lengden av toget trekkes denne gangen fra.

Med og mot strømmen

På Glomma går en turbåt. I forhold til vannet kjører den med farten 15 km/h, og elva renner med farten 3 km/h. Hvor lang tid bruker den til en havn 36 km nedover med strømmen, og hvor lang tid tilbake?

Farten til båten måler vi i forhold til vannet. Hvis båtføreren slo av motoren, ville vannet ført båten med seg med farten 3 km/h. Som alltid kommer det an på hva vi måler bevegelsen i forhold til. I forhold til land kjører båten med strømmen 15 km hver time for egen maskin, og vannet flytter den 3 km til. Båten får indeks 1, strømmen indeks 2. Tiden med strømmen skriver vi $t_{+}$ , fordi fartene legges sammen, tiden mot strømmen $t_{-}$ :

$\begin{aligned} v_{1} & = 15 km / h \\ v_{2} & = 3 km / h \\ s & = 36 km \\ t_{+} & = ? \\ t_{-} & = ? \end{aligned}$

Med strømmen legges fartene sammen, og turen tar

$\begin{aligned} t_{+} & = \frac{s}{v_{1} + v_{2}} = \frac{36 km}{18 km / h} \\ = 2 h . \end{aligned}$

Mot strømmen trekker vannet båten tilbake 3 km hver time, og fartene trekkes fra hverandre:

$\begin{aligned} t_{-} & = \frac{s}{v_{1} - v_{2}} = \frac{36 km}{12 km / h} \\ = 3 h \end{aligned}$

Kilometer delt på kilometer i timen gir timer. Båten kommer fram til havnen på to timer og tilbake på tre.

Hvis strømmen nådde farten til båten i forhold til vannet, ville det stått null i nevneren i den andre formelen, som i oppgaven med bilen som bare kjørte 18 km/h etter syklisten. Båten ville stått stille i forhold til land mot strømmen, og båtføreren kunne latt motoren gå hele dagen uten at utgangshavnen kom en eneste meter nærmere.

Og nå en felle. Hvilken gjennomsnittsfart hadde båten på hele turen fram og tilbake? Den som sier 15 km/h, fordi strømmen en gang hjalp og en gang hindret like mye, går i den samme fella som i oppgaven fram 60, tilbake 40. Båten kjørte 72 km på 5 h:

$\bar{v} = \frac{72 km}{5 h} = 14, 4 km / h$

Mot strømmen kjørte den lenger, tre timer i stedet for to, og gjennomsnittet lente seg derfor mot den langsomme farten. På stille vann ville den samme 72 km tatt 4,8 h, altså 4 h og 48 min. En strøm som hjelper og hindrer like mye, forlenger alltid en tur fram og tilbake.

I alle oppgavene i denne artikkelen kjørte biler, tog og båter med konstant fart. En virkelig bil må imidlertid først komme i gang og bremse igjen før målet. Hvordan vi beskriver en bevegelse der farten endrer seg, viser vi i neste artikkel, Akselerasjon.

« Forrige: Slik løser du oppgaver i kinematikk og dynamikk

Neste: Akselerasjon »