Bevegelsesmengde og impuls

På en lagerplass rygger en lastebil med farten 10 km/h, omtrent tempoet til en mosjonsløper. På en skytebane flyr en geværkule ut med farten 800 m/s. Hvilken av dem er vanskeligere å stoppe? Kula vinner på fart, lastebilen på masse. Fysikken har en størrelse for denne duellen som binder masse og fart sammen. Den kalles bevegelsesmengde, og er produktet av masse og fart:

$$p=m\cdot v$$

Med vanlige ord sier bevegelsesmengden hvor mye bevegelse det er i legemet. Enheten er kilogram ganger meter per sekund, kg·m/s. Et eget navn, slik newton har, har ikke denne enheten fått.

Et legeme med dobbelt så stor masse har ved samme fart dobbelt så stor bevegelsesmengde, og et legeme med dobbelt så stor fart og samme masse også. Det stemmer med erfaringen. En medisinball er vanskeligere å gripe enn en fotball kastet like fort, og en ball sparket på volley er vanskeligere å ta imot enn en som noen bare rekker deg.

Lastebil eller kule?

Lastebilen har massen 40 t = 40 000 kg. Farten regner vi om til meter per sekund, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, og setter inn:

$$p=40000\mathrm{kg}\cdot 2,78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kula har massen 10 g = 0,01 kg:

$$p=0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Bevegelsesmengden til den langsomme lastebilen er nesten fjorten tusen ganger så stor som den til den raske kula. Kula flyr riktignok omtrent tre hundre ganger raskere, men lastebilen har fire millioner ganger så stor masse. Kula stoppes av en sandsekk, lastebilen skyver den til side. Hvorfor nettopp bevegelsesmengden avgjør hvor vanskelig et legeme er å stoppe, ser vi om litt.

Hastighet er en vektor, og derfor er bevegelsesmengden det også:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Masse er et positivt tall, så bevegelsesmengden peker alltid som hastigheten. To like lastebiler som kjører like fort mot hverandre, har like stor bevegelsesmengde, men med motsatt retning. På en rett linje velger vi en positiv retning, og en bevegelsesmengde som peker mot den, får minustegn, akkurat som hastigheten.

Hvordan endre bevegelsesmengden

Bevegelsesmengden til et legeme endrer seg bare når farten endrer seg, og det krever en kraft. Vi tar utgangspunkt i Newtons andre lov F = m · a og setter inn endringen i fart per tid for akselerasjonen, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Massen endrer seg ikke, så masse ganger endring i fart er endringen i bevegelsesmengde. Legemet hadde i begynnelsen farten v₀ og bevegelsesmengden p₀ = m · v₀, på slutten farten v og bevegelsesmengden p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Når vi setter inn i kraftloven, får vi Newtons andre lov skrevet med bevegelsesmengde:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Kraft er endringen i bevegelsesmengde per tidsenhet, akkurat som akselerasjon er endringen i fart per tidsenhet. Med vektorer $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, så bevegelsesmengden endrer seg i retning av resultanten. Newton selv uttrykte loven med bevegelsesmengde: med endring av bevegelsen mente han endring av bevegelsesmengden.

Impuls

Formelen multipliserer vi med tiden Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Produktet av kraften og tiden den virker i, kalles impuls, I = F · Δt. Enheten er newton ganger sekund, og det er det samme som enheten for bevegelsesmengde:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Impulsen er lik endringen i bevegelsesmengde. Av det følger noe viktig: når et legeme skal miste en bestemt bevegelsesmengde, for eksempel stoppe, er impulsen gitt. En stor kraft klarer det på kort tid, en liten kraft på lang tid. Dobbelt så lang tid betyr halv kraft, ti ganger så lang tid en tidel.

Nå forstår vi hvorfor en sandsekk stopper kula, men ikke lastebilen. Kula stopper i sanden på omtrent et tusendels sekund, så sekken bremser den med gjennomsnittskraften

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}=8000\mathrm{N}.$$

Det er ikke lite, men sanden tåler det. Hvis den med like stor kraft skulle stoppe lastebilen, måtte den bremse den i

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Kula bremses på en strekning på omtrent 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (gjennomsnittsfart ganger tid). Lastebilen ville på fjorten sekunder med gjennomsnittsfarten 1,39 m/s kommet nesten 20 m. Sekken måtte vært tjue meter lang, og derfor skyver lastebilen den rett og slett til side og kjører videre.

Impulsen gjelder også omvendt, når et legeme kommer i gang. En fotballspiller sparker til en ball i ro med massen 0,45 kg, og ballen farer av gårde med farten 30 m/s. Ballen fikk bevegelsesmengden 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Berøringen med foten varer omtrent et hundredels sekund, så foten virker på ballen med gjennomsnittskraften

$$F=\frac{13,5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=1350\mathrm{N}.$$

Den som vil sparke hardere, må virke på ballen enten med større kraft eller lenger. Derfor kaster ikke en kulestøter kula bare med håndleddet, men skyver den langs hele den lange banen til armen.

Kraften ved et støt er ikke konstant, den stiger raskt og synker igjen. Av endringen i bevegelsesmengde regner vi ut gjennomsnittet, og det holder for oss.

Kollisjonspute

Se for deg en bil som kjører 50 km/h og treffer en vegg. Passasjeren med massen 70 kg har på seg belte, og foran ham blåses en kollisjonspute opp. Beltet og puten stopper ham på omtrent 0,1 s. Hvor stor kraft virker på ham?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Positiv retning er kjøreretningen. Passasjeren mister hele bevegelsesmengden han hadde:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Endringen i bevegelsesmengde er Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Minustegnet sier bare at kraften peker mot kjøreretningen. Størrelsen av kraften:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,1\mathrm{s}}=9730\mathrm{N}$$

Når vi deler kilogram ganger meter per sekund på sekund, får vi kg·m/s², altså newton. Det virker omtrent 9700 N på passasjeren. Tyngdekraften hans er 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, så beltet og kollisjonsputen bremser ham med omtrent fjorten ganger så stor kraft. Det er mye, men det overlever man.

Hvis han verken hadde belte eller kollisjonspute, ville han truffet rattet og dashbordet og stoppet på omtrent 0,01 s. Han mister den samme bevegelsesmengden, bare på en tidel av tiden:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=97300\mathrm{N}$$

Det er omtrent 97 000 N, ti ganger mer og omtrent hundre og førti ganger mer enn tyngdekraften. Kollisjonsputen reduserer ikke bevegelsesmengden passasjeren mister, den er gitt av massen og farten hans. Den tar den bare bort over lengre tid, og derfor med mindre kraft. Det samme gjør deformasjonssonen i bilen, som trykkes gradvis sammen ved kollisjonen og forlenger stopptiden.

Myk landing

Turnjenta Emma med massen 40 kg hopper ned fra bommen og lander med farten 4 m/s. Rett før landingen har hun bevegelsesmengden

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

På et hardt gulv stopper hun, også med bøyde knær, på omtrent 0,05 s, på en landingsmatte som gir etter under henne, på omtrent 0,25 s. Den resulterende kraften som bremser henne:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,05\mathrm{s}}=3200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

På matta er kraften fem ganger mindre, fordi landingen varer fem ganger lenger. Hele bevegelsesmengden mister Emma i begge tilfellene. Matta endrer ikke hvor mye bevegelsesmengde som forsvinner, den tar den bare langsommere.

Det røde rektangelet er landingen på gulvet, det blå på matta. Høyden av rektangelet er gjennomsnittskraften, bredden tiden landingen varer, så arealet av rektangelet er kraft ganger tid, altså impuls. Det røde rektangelet er fem ganger så høyt og fem ganger så smalt som det blå, og begge har samme areal 160 N·s, fordi begge landingene tok like mye bevegelsesmengde fra Emma. Den virkelige kraften ved landingen stiger raskt og synker igjen. Impulsen er da arealet under kurven, og gjennomsnittskraften er høyden av rektangelet med samme areal.

Gulvet og matta må dessuten trykke enda hardere, med et tillegg lik tyngdekraften på Emma, omtrent 390 N, fordi Jorda drar henne nedover også under landingen. Den resulterende kraften er differansen mellom kraften underlaget trykker oppover med og tyngdekraften.

Det samme prinsippet utnytter sanden i lengdehopp, matta i stavsprang eller det å bøye knærne når du hopper ned fra en mur.

Hvorfor hendene trekkes tilbake når vi fanger

Når du fanger en ball som er kastet hardt, går hendene av seg selv tilbake mot kroppen sammen med den. Ballen bremses da over lengre tid og med mindre kraft, og håndflatene gjør ikke vondt. Den som holder hendene stive, stopper ballen på et kort øyeblikk, med stor kraft, og ballen spretter ofte unna. Det vet alle best som noen gang har prøvd å gripe et rått egg.

De oransje merkene viser hvor ballen var etter like lange tidsrom. Øverst stopper ballen mot den stive røde hånden nesten umiddelbart. Nederst trekker den blå hånden seg tilbake sammen med den, og ballen bremses gradvis, merkene kommer nærmere hverandre. Den grå omrisslinjen viser hvor hånden begynte. Stoppingen nederst tar mye lenger tid, og derfor bremser hånden ballen med mye mindre kraft.

En håndball med massen 0,4 kg flyr med farten 15 m/s og har bevegelsesmengden 6 kg·m/s. Stive hender stopper den på omtrent 0,01 s med kraften 600 N, slappe på 0,1 s med kraften bare 60 N.

Sprett er verre enn stopp

Du kaster en plastilinkule på 0,06 kg mot en vegg med farten 20 m/s. Positiv retning velger vi mot veggen. Kula blir hengende fast, så bevegelsesmengden endrer seg fra 1,2 kg·m/s til null:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Nå tar vi en tennisball med samme masse og fart. I det ideelle tilfellet spretter den og flyr tilbake med den samme farten 20 m/s, altså mot den positive retningen, og bevegelsesmengden er −1,2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2,4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Endringen i bevegelsesmengde blir dobbelt så stor. Veggen må først stoppe tennisballen og så sende den tilbake. Ved like lang kontakt trykker veggen derfor på tennisballen med dobbelt så stor kraft som på plastilinen. Det ville være feil å si at bevegelsesmengden ikke endret seg, når tennisballen fortsatt flyr like fort. Farten har samme størrelse, men motsatt retning, og bevegelsesmengde er en vektor. Derfor gjør også en ball som spretter av stive hender, mer vondt enn om den ble liggende i håndflatene.

Hvor ble det imidlertid av bevegelsesmengden tennisballen mistet ved sprettet? Og hva om den i stedet for veggen treffer et annet legeme som kan komme i gang?

Hvordan man regner med det, hvorfor et gevær slår skytteren i skulderen ved skuddet, og hvor fort sammenkoblede vogner kjører, viser neste artikkel, Bevaring av bevegelsesmengde.