Pęd i popęd siły

Po placu magazynu cofa ciężarówka z prędkością 10 km/h, mniej więcej w tempie biegacza amatora. Na strzelnicy z kolei wylatuje pocisk z prędkością 800 m/s. Które z nich trudniej zatrzymać? Pocisk wygrywa prędkością, ciężarówka masą. Fizyka ma na ten pojedynek wielkość, która łączy masę i prędkość w jedno. Nazywa się ją pędem i jest to iloczyn masy i prędkości:

$p = m \cdot v$

Mówiąc potocznie, pęd mówi, ile ruchu jest w ciele. Jednostką jest kilogram razy metr na sekundę, kg·m/s. Własnej nazwy, takiej jak niuton, ta jednostka nie dostała.

Ciało o dwa razy większej masie ma przy tej samej prędkości dwa razy większy pęd, ciało dwa razy szybsze o tej samej masie też. Zgadza się to z doświadczeniem. Piłkę lekarską łapie się trudniej niż piłkę nożną rzuconą równie szybko, a piłkę kopniętą z woleja z kolei trudniej niż taką, którą ktoś ci tylko poda.

Ciężarówka czy pocisk?

Ciężarówka ma masę 40 t = 40 000 kg. Prędkość zamieniamy na metry na sekundę, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, i podstawiamy:

$p = 40 000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111 000 kg \cdot m / s$

Pocisk ma masę 10 g = 0,01 kg:

$p = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

Pęd powolnej ciężarówki jest prawie czternaście tysięcy razy większy niż pęd szybkiego pocisku. Pocisk leci wprawdzie mniej więcej trzysta razy szybciej, ale ciężarówka ma cztery miliony razy większą masę. Pocisk zatrzyma worek z piaskiem, ciężarówka go odsunie. Dlaczego to właśnie pęd decyduje o tym, jak trudno ciało zatrzymać, zobaczymy za chwilę.

Prędkość jest wektorem, więc wektorem jest też pęd:

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$

Masa jest liczbą dodatnią, więc pęd ma zawsze ten sam kierunek i zwrot co prędkość. Dwie jednakowe ciężarówki, które jadą równie szybko naprzeciw siebie, mają pęd o tej samej wartości, ale o przeciwnym zwrocie. Na prostej wybieramy dodatni zwrot, a pęd skierowany przeciwnie dostaje znak minus, tak samo jak prędkość.

Jak zmienić pęd

Pęd ciała zmienia się tylko wtedy, gdy zmienia się jego prędkość, a do tego potrzebna jest siła. Wyjdziemy z drugiej zasady dynamiki F = m · a i za przyspieszenie podstawimy zmianę prędkości w czasie, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

Masa się nie zmienia, więc masa razy zmiana prędkości to zmiana pędu. Ciało miało na początku prędkość v₀ i pęd p₀ = m · v₀, na końcu prędkość v i pęd p = m · v:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = p - p_{0} = Δ p \end{aligned}$

Po podstawieniu do drugiej zasady dynamiki otrzymujemy drugą zasadę dynamiki zapisaną za pomocą pędu (w podręcznikach nazywaną też jej uogólnioną postacią):

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

Siła to zmiana pędu w jednostce czasu, podobnie jak przyspieszenie to zmiana prędkości w jednostce czasu. Wektorowo $\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$ , więc pęd zmienia się w kierunku i zwrocie siły wypadkowej. Sam Newton sformułował tę zasadę za pomocą pędu: przez zmianę ruchu rozumiał zmianę pędu.

Popęd siły

Mnożymy wzór przez czas Δt:

$F \cdot Δ t = Δ p$

Iloczyn siły i czasu jej działania nazywa się popędem siły, I = F · Δt. Jednostką jest niuton razy sekunda i jest to to samo co jednostka pędu:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

Popęd siły jest równy zmianie pędu. Wynika z tego ważna rzecz: gdy ciało ma stracić określony pęd, na przykład się zatrzymać, popęd jest z góry dany. Duża siła poradzi sobie z tym w krótkim czasie, mała w długim. Dwa razy dłuższy czas oznacza dwa razy mniejszą siłę, dziesięć razy dłuższy dziesięć razy mniejszą.

Teraz już wiemy, dlaczego worek z piaskiem zatrzyma pocisk, a ciężarówki nie. Pocisk zatrzymuje się w piasku w mniej więcej jedną tysięczną sekundy, więc worek hamuje go średnią siłą

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8000 N .$

To niemało, ale piasek to wytrzyma. Gdyby siłą o tej samej wartości miał zatrzymać ciężarówkę, musiałby ją hamować przez

$Δ t = \frac{p}{F} = \frac{111 000 kg \cdot m / s}{8000 N} \approx 14 s .$

Pocisk wyhamuje na drodze około 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (prędkość średnia razy czas). Ciężarówka w ciągu czternastu sekund przejechałaby ze średnią prędkością 1,39 m/s prawie 20 m. Worek musiałby mieć dwadzieścia metrów, więc ciężarówka po prostu go odsunie i pojedzie dalej.

Popęd działa też w drugą stronę, gdy ciało się rozpędza. Piłkarz kopie leżącą piłkę o masie 0,45 kg, a piłka odlatuje z prędkością 30 m/s. Piłka zyskała pęd 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Kontakt z nogą trwa mniej więcej jedną setną sekundy, więc noga działa na piłkę średnią siłą

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1350 N .$

Kto chce kopnąć mocniej, musi działać na piłkę albo większą siłą, albo dłużej. Dlatego kulomiot nie rzuca kulą samym nadgarstkiem, tylko pcha ją na całej długiej drodze ręki.

Siła przy uderzeniu nie jest stała, szybko rośnie i znowu maleje. Ze zmiany pędu obliczymy jej wartość średnią i to nam wystarczy.

Poduszka powietrzna

Wyobraź sobie samochód, który jedzie z prędkością 50 km/h i uderza w ścianę. Pasażer o masie 70 kg jest zapięty pasem, a przed nim napełnia się poduszka powietrzna. Pas z poduszką zatrzymują go mniej więcej w 0,1 s. Z jaką siłą na niego działają?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Za dodatni przyjmiemy zwrot zgodny z kierunkiem jazdy. Pasażer traci cały pęd, który miał:

$p_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

Zmiana pędu wynosi Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Minus mówi tylko, że siła jest skierowana przeciwnie do kierunku jazdy. Wartość siły:

$F = \frac{| Δ p |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9730 N$

Gdy kilogram razy metr na sekundę podzielimy przez sekundę, wychodzi kg·m/s², czyli niuton. Na pasażera działa około 9700 N. Jego siła ciężkości to 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, więc pas i poduszka hamują go siłą mniej więcej czternaście razy większą. Dużo, ale da się to przeżyć.

Gdyby nie miał ani pasa, ani poduszki, uderzyłby w kierownicę i deskę rozdzielczą i zatrzymałby się w mniej więcej 0,01 s. Traci ten sam pęd, tylko w dziesięć razy krótszym czasie:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97 300 N$

To około 97 000 N, dziesięć razy więcej i mniej więcej sto czterdzieści razy więcej niż siła ciężkości. Poduszka nie zmniejsza pędu, który pasażer traci, ten wynika z jego masy i prędkości. Odbiera go tylko dłużej, a więc mniejszą siłą. To samo robi strefa zgniotu samochodu, która przy zderzeniu stopniowo się gniecie i wydłuża czas zatrzymania.

Miękkie lądowanie

Gimnastyczka Basia o masie 40 kg zeskakuje z równoważni i ląduje z prędkością 4 m/s. Tuż przed lądowaniem ma pęd

$p = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

Na twardej podłodze zatrzymuje się nawet z ugiętymi kolanami w mniej więcej 0,05 s, na materacu, który się pod nią ugina, w mniej więcej 0,25 s. Siła wypadkowa, która ją hamuje:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

Na materacu siła jest pięć razy mniejsza, bo lądowanie trwa pięć razy dłużej. Cały pęd Basia traci w obu przypadkach. Materac nie zmienia tego, ile pędu zniknie, tylko odbiera go wolniej.

Siła wypadkowa F w czasie t przy lądowaniu na twardej podłodze i na materacu

Czerwony prostokąt to lądowanie na podłodze, niebieski na materacu. Wysokość prostokąta to średnia siła, szerokość czas lądowania, więc pole prostokąta to siła razy czas, czyli popęd. Czerwony prostokąt jest pięć razy wyższy i pięć razy węższy niż niebieski, a oba mają to samo pole 160 N·s, bo oba lądowania odebrały Basi ten sam pęd. Prawdziwa siła przy lądowaniu gwałtownie skacze w górę i znowu maleje. Popęd jest wtedy polem obszaru pod jej wykresem, a średnia siła to wysokość prostokąta o tym samym polu.

Podłoga i materac muszą przy tym pchać jeszcze mocniej, o siłę ciężkości Basi, czyli o około 390 N, bo Ziemia ciągnie ją w dół także w trakcie lądowania. Siła wypadkowa to różnica siły, z jaką podłoże pcha w górę, i siły ciężkości.

Tę samą zasadę wykorzystuje piasek przy skoku w dal, materac przy skoku o tyczce albo ugięcie kolan, gdy zeskakujesz z murku.

Dlaczego przy łapaniu cofamy ręce

Przy łapaniu mocno rzuconej piłki ręce same cofają się z nią do ciała. Piłka jest wtedy hamowana dłużej i mniejszą siłą, a dłonie nie bolą. Kto nastawi sztywne ręce, zatrzyma piłkę w mgnieniu oka, dużą siłą, i piłka często mu się odbije. Najlepiej wie to każdy, kto kiedyś łapał surowe jajko.

Piłka złapana sztywną ręką (u góry) i luźną ręką, która cofa się razem z nią (u dołu)

Pomarańczowe znaczniki pokazują, gdzie była piłka w równych odstępach czasu. U góry piłka zatrzymuje się na sztywnej czerwonej ręce prawie natychmiast. U dołu niebieska ręka cofa się razem z nią, a piłka zwalnia stopniowo, znaczniki zbliżają się do siebie. Szary kontur pokazuje, skąd ręka zaczynała. Zatrzymanie u dołu trwa znacznie dłużej i dlatego ręka hamuje piłkę znacznie mniejszą siłą.

Piłka do piłki ręcznej o masie 0,4 kg leci z prędkością 15 m/s i ma pęd 6 kg·m/s. Sztywne ręce zatrzymają ją w mniej więcej 0,01 s siłą 600 N, luźne w 0,1 s siłą tylko 60 N.

Odbicie jest gorsze niż zatrzymanie

Rzucasz w ścianę kulką z plasteliny o masie 0,06 kg z prędkością 20 m/s. Dodatni zwrot wybierzemy w stronę ściany. Kulka się przykleja, więc jej pęd zmienia się z 1,2 kg·m/s na zero:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Teraz weźmy piłkę tenisową o tej samej masie i prędkości. W idealnym przypadku odbija się i leci z powrotem z tą samą prędkością 20 m/s, czyli przeciwnie do dodatniego zwrotu, a jej pęd wynosi −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Zmiana pędu wychodzi dwa razy większa. Ściana musi piłkę tenisową najpierw zatrzymać, a potem jeszcze odesłać z powrotem. Przy tak samo długim kontakcie ściana pcha więc piłkę tenisową dwa razy większą siłą niż plastelinę. Błędem byłoby powiedzieć, że pęd się nie zmienił, skoro piłka leci cały czas tak samo szybko. Prędkość ma tę samą wartość, ale przeciwny zwrot, a pęd jest wektorem. Dlatego też piłka, która odbije ci się od sztywnych rąk, boli bardziej, niż gdyby została ci w dłoniach.

Gdzie jednak podział się pęd, który piłka tenisowa straciła przy odbiciu? I co, jeśli zamiast w ścianę uderzy w inne ciało, które może ruszyć?

Jak się to oblicza, dlaczego karabin przy strzale kopie strzelca w ramię i jak szybko jadą połączone wagony, pokazuje następny artykuł, Zasada zachowania pędu.

« Poprzedni: Siła ciężkości i siła nacisku

Dalszy: Zasada zachowania pędu »