Impuls og kraftstød

På en lagergård bakker en lastbil med farten 10 km/h, cirka som en motionsløber. På en skydebane forlader en kugle derimod løbet med farten 800 m/s. Hvilken af dem er sværest at stoppe? Kuglen vinder på fart, lastbilen på masse. Fysikken har en størrelse, der knytter masse og fart sammen i denne duel. Den kaldes impuls og er produktet af masse og hastighed:

$$p=m\cdot v$$

Populært sagt fortæller impulsen, hvor meget bevægelse der er i et legeme. Enheden er kilogram gange meter pr. sekund, kg·m/s. Den har ikke fået et eget navn, sådan som newton har.

Et legeme med dobbelt så stor masse har ved samme hastighed dobbelt så stor impuls, og et legeme med dobbelt så stor hastighed og samme masse har det også. Det passer med erfaringen. En medicinbold er sværere at gribe end en fodbold, der kastes lige så hurtigt, og en bold, der sparkes volley, er sværere at gribe end en, som en anden bare rækker dig.

Lastbil eller kugle?

Lastbilen har massen 40 t = 40.000 kg. Farten omregner vi til meter pr. sekund, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, og indsætter:

$$p=40.000\mathrm{kg}\cdot 2,78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kuglen har massen 10 g = 0,01 kg:

$$p=0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Impulsen af den langsomme lastbil er næsten fjorten tusind gange større end impulsen af den hurtige kugle. Kuglen flyver godt nok cirka tre hundrede gange hurtigere, men lastbilen har fire millioner gange større masse. Kuglen standses af en sandsæk, lastbilen skubber den væk. Hvorfor det netop er impulsen, der afgør, hvor svært det er at standse et legeme, ser vi om lidt.

Hastighed er en vektor, og det samme er impulsen:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Massen er et positivt tal, så impulsen peger altid i samme retning som hastigheden. To ens lastbiler, der kører lige hurtigt mod hinanden, har lige store impulser, men med modsat retning. På en ret linje vælger vi en positiv retning, og en impuls, der peger imod den, får minus, ligesom hastigheden.

Sådan ændrer du impulsen

Et legemes impuls ændrer sig kun, når dets hastighed ændrer sig, og det kræver en kraft. Vi tager udgangspunkt i Newtons 2. lov F = m · a og indsætter for accelerationen hastighedsændringen pr. tid, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Massen ændrer sig ikke, så masse gange hastighedsændring er ændringen i impuls. Legemet havde i starten hastigheden v₀ og impulsen p₀ = m · v₀, til sidst hastigheden v og impulsen p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Ved at indsætte i kraftloven får vi Newtons 2. lov udtrykt ved impuls:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Kraften er ændringen i impuls pr. tidsenhed, ligesom accelerationen er ændringen i hastighed pr. tidsenhed. Med vektorer er $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, så impulsen ændrer sig i retning af den resulterende kraft. Newton selv udtrykte loven ved impuls: ved bevægelsesændring mente han ændring af impuls.

Kraftstød

Vi ganger formlen med tiden Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Produktet af en kraft og den tid, den virker, kalder vi kraftstød, I = F · Δt. Enheden er newton gange sekund, og det er det samme som enheden for impuls:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Kraftstødet er lig med ændringen i impuls. Det har en vigtig konsekvens: Når et legeme skal miste en bestemt impuls, for eksempel standse, er kraftstødet givet. En stor kraft klarer det på kort tid, en lille kraft på lang tid. To gange så lang tid betyder halv kraft, ti gange så lang tid en tiendedel.

Nu forstår vi, hvorfor sandsækken standser kuglen, men ikke lastbilen. Kuglen standser i sandet på cirka en tusindedel sekund, så sækken bremser den med den gennemsnitlige kraft

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}=8000\mathrm{N}.$$

Det er ikke lidt, men sandet holder til det. Hvis den lige så store kraft skulle standse lastbilen, måtte den bremse den i

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111.000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Kuglen bremses på en strækning på cirka 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (gennemsnitsfart gange tid). Lastbilen ville på fjorten sekunder med gennemsnitsfarten 1,39 m/s nå næsten 20 m. Sækken skulle være tyve meter lang, og derfor skubber lastbilen den simpelthen væk og kører videre.

Kraftstødet gælder også omvendt, når et legeme sættes i gang. En fodboldspiller sparker til en bold i ro med massen 0,45 kg, og bolden forlader foden med farten 30 m/s. Bolden fik impulsen 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Foden rører bolden i cirka en hundrededel sekund, så foden virker på bolden med den gennemsnitlige kraft

$$F=\frac{13,5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=1350\mathrm{N}.$$

Vil man sparke hårdere, må man virke på bolden enten med en større kraft eller i længere tid. Derfor kaster en kuglestøder ikke kuglen kun med håndleddet, men skubber den hele vejen langs armens lange bane.

Kraften ved et stød er ikke konstant, den vokser hurtigt og aftager igen. Ud fra impulsændringen regner vi gennemsnittet ud, og det er nok for os.

Airbag

Forestil dig en bil, der kører med farten 50 km/h og rammer en mur. En passager med massen 70 kg sidder fastspændt, og foran ham udløses en airbag. Selen og airbaggen standser ham på cirka 0,1 s. Med hvilken kraft virker de på ham?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Den positive retning er kørselsretningen. Passageren mister hele den impuls, han havde:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Ændringen i impuls er Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Minusset siger blot, at kraften peger mod kørselsretningen. Kraftens størrelse:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,1\mathrm{s}}=9730\mathrm{N}$$

Når vi deler kilogram gange meter pr. sekund med sekund, får vi kg·m/s², altså newton. På passageren virker cirka 9700 N. Hans tyngdekraft er 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, så selen og airbaggen bremser ham med en kraft, der er cirka fjorten gange større. Det er meget, men det overlever man.

Havde han hverken sele eller airbag, ville han ramme rattet og instrumentbrættet og blive standset på cirka 0,01 s. Han mister den samme impuls, bare på en tiendedel af tiden:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=97.300\mathrm{N}$$

Det er cirka 97.000 N, ti gange mere og cirka hundrede og fyrre gange mere end tyngdekraften. Airbaggen mindsker ikke den impuls, som passageren mister, den er givet ved hans masse og fart. Den tager den bare væk over længere tid og dermed med en mindre kraft. Det samme gør bilens deformationszone, som ved et sammenstød gradvist krøller sammen og forlænger standsningstiden.

Blød landing

Gymnasten Maja med massen 40 kg springer ned fra bommen og lander med farten 4 m/s. Lige før landingen har hun impulsen

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

På et hårdt gulv standser hun, også med bøjede knæ, på cirka 0,05 s, på en gymnastikmåtte, der giver sig under hende, på cirka 0,25 s. Den resulterende kraft, der bremser hende:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,05\mathrm{s}}=3200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

På måtten er kraften fem gange mindre, fordi landingen varer fem gange længere. Hele impulsen mister Maja i begge tilfælde. Måtten ændrer ikke, hvor meget impuls der forsvinder, den tager den bare langsommere.

Det røde rektangel er landingen på gulvet, det blå på måtten. Rektanglets højde er den gennemsnitlige kraft, bredden er landingens varighed, så rektanglets areal er kraft gange tid, altså kraftstødet. Det røde rektangel er fem gange højere og fem gange smallere end det blå, og begge har det samme areal 160 N·s, fordi begge landinger tog den samme impuls fra Maja. Den virkelige kraft ved landingen springer hurtigt op og falder igen. Kraftstødet er så arealet under dens kurve, og den gennemsnitlige kraft er højden af det rektangel, der har samme areal.

Gulvet og måtten skal i øvrigt trykke med Majas tyngdekraft, cirka 390 N, mere, fordi Jorden trækker hende nedad også under landingen. Den resulterende kraft er forskellen mellem den kraft, hvormed underlaget skubber opad, og tyngdekraften.

Det samme princip udnytter sandet i længdespring, måtten i stavsprang eller bøjede knæ, når du springer ned fra en mur.

Hvorfor hænderne trækker sig tilbage, når du griber

Når du griber en hårdt kastet bold, bevæger hænderne sig af sig selv tilbage mod kroppen sammen med bolden. Bolden bremses dermed længere og med en mindre kraft, og håndfladerne gør ikke ondt. Den, der holder hænderne stive, standser bolden på et kort øjeblik med en stor kraft, og bolden preller ofte af. Det ved den bedst, der nogensinde har grebet et råt æg.

De orange mærker viser, hvor bolden var efter lige lange tidsrum. Øverst standser bolden næsten øjeblikkeligt mod den stive røde hånd. Nederst bevæger den blå hånd sig tilbage sammen med bolden, og bolden bremses gradvist, mærkerne kommer tættere på hinanden. Den grå kontur viser, hvor hånden begyndte. Standsningen nederst varer meget længere, og derfor bremser hånden bolden med en meget mindre kraft.

En håndbold med massen 0,4 kg flyver med farten 15 m/s og har impulsen 6 kg·m/s. Stive hænder standser den på cirka 0,01 s med kraften 600 N, afslappede på 0,1 s med kraften kun 60 N.

At prelle af er værre end at blive standset

Du kaster en klump modellervoks med massen 0,06 kg mod en væg med farten 20 m/s. Den positive retning vælger vi mod væggen. Klumpen klæber fast, så dens impuls ændres fra 1,2 kg·m/s til nul:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Lad os nu tage en tennisbold med samme masse og fart. I det ideelle tilfælde preller den af og flyver tilbage med den samme fart 20 m/s, altså mod den positive retning, og dens impuls er −1,2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2,4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Ændringen i impuls bliver dobbelt så stor. Væggen skal først standse tennisbolden og derefter sende den tilbage. Ved samme kontakttid trykker væggen derfor dobbelt så hårdt på tennisbolden som på modellervoksen. Det ville være en fejl at sige, at impulsen ikke ændrede sig, fordi tennisbolden flyver lige så hurtigt som før. Hastigheden har samme størrelse, men modsat retning, og impuls er en vektor. Derfor gør det også mere ondt, når en bold preller af dine stive hænder, end hvis den blev i håndfladerne.

Men hvor blev den impuls af, som tennisbolden mistede ved afprellet? Og hvad hvis den i stedet for en væg rammer et andet legeme, som kan komme i bevægelse?

Hvordan man regner på det, hvorfor et gevær sparker skytten i skulderen, når det affyres, og hvor hurtigt sammenkoblede vogne kører, viser den næste artikel, Impulsbevarelse.