Rörelsemängd och impuls

Över en lagergård backar en lastbil med hastigheten 10 km/h, ungefär i en motionslöpares tempo. På en skjutbana lämnar en kula pipan med hastigheten 800 m/s. Vilken av dem är svårare att stoppa? Kulan vinner på hastighet, lastbilen på massa. Fysiken har för den här duellen en storhet som förenar massa och hastighet. Den kallas rörelsemängd och är produkten av massa och hastighet:

$p = m \cdot v$

Enkelt uttryckt säger rörelsemängden hur mycket rörelse det finns i en kropp. Enheten är kilogram gånger meter per sekund, kg·m/s. Något eget namn, som newton har, har den här enheten inte fått.

En kropp med dubbelt så stor massa har vid samma hastighet dubbelt så stor rörelsemängd, och en kropp med dubbelt så hög hastighet och samma massa likaså. Det stämmer med erfarenheten. En medicinboll är svårare att fånga än en fotboll som kastas lika snabbt, och en boll som sparkas på volley är svårare att fånga än en som någon bara räcker dig.

Lastbil eller kula?

Lastbilen har massan 40 t = 40 000 kg. Hastigheten räknar vi om till meter per sekund, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, och sätter in:

$p = 40 000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111 000 kg \cdot m / s$

Kulan har massan 10 g = 0,01 kg:

$p = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

Den långsamma lastbilens rörelsemängd är nästan fjorton tusen gånger större än den snabba kulans. Kulan har visserligen ungefär trehundra gånger högre hastighet, men lastbilen har fyra miljoner gånger större massa. Kulan stoppas av en sandsäck, lastbilen skjuter undan den. Varför det är just rörelsemängden som avgör hur svårt det är att stoppa en kropp får vi se strax.

Hastigheten är en vektor, och därför är rörelsemängden det också:

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$

Massan är ett positivt tal, så rörelsemängden är alltid riktad åt samma håll som hastigheten. Två likadana lastbilar som kör lika fort mot varandra har lika stor rörelsemängd, men i motsatta riktningar. På en rät linje väljer vi en positiv riktning, och en rörelsemängd som pekar åt andra hållet får minustecken, precis som hastigheten.

Hur man ändrar rörelsemängden

En kropps rörelsemängd ändras bara när dess hastighet ändras, och till det krävs en kraft. Vi utgår från Newtons andra lag F = m · a och sätter in hastighetsändring per tid för accelerationen, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

Massan ändras inte, så massa gånger hastighetsändring är rörelsemängdens ändring. Kroppen hade i början hastigheten v₀ och rörelsemängden p₀ = m · v₀, i slutet hastigheten v och rörelsemängden p = m · v:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = p - p_{0} = Δ p \end{aligned}$

När vi sätter in detta i kraftlagen får vi Newtons andra lag skriven med rörelsemängd:

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

Kraften är rörelsemängdens ändring per tidsenhet, på samma sätt som accelerationen är hastighetens ändring per tidsenhet. Med vektorer är $\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$ , så rörelsemängden ändras i den resulterande kraftens riktning. Newton själv formulerade lagen med rörelsemängd: med ändring av rörelsen menade han ändring av rörelsemängden.

Impuls

Vi multiplicerar formeln med tiden Δt:

$F \cdot Δ t = Δ p$

Produkten av kraften och den tid den verkar kallas impuls, I = F · Δt. Enheten är newton gånger sekund och det är samma sak som enheten för rörelsemängd:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

Impulsen är lika med rörelsemängdens ändring. Av det följer något viktigt: när en kropp ska förlora en viss rörelsemängd, till exempel stanna, är impulsen given. En stor kraft klarar det på kort tid, en liten kraft på lång tid. Dubbelt så lång tid betyder halva kraften, tio gånger längre tid en tiondel.

Nu förstår vi varför sandsäcken stoppar kulan men lastbilen inte. Kulan stannar i sanden på ungefär en tusendels sekund, så säcken bromsar den med medelkraften

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8000 N .$

Det är inte lite, men sanden håller. Om sanden skulle stoppa lastbilen med lika stor kraft skulle den behöva bromsa den i

$Δ t = \frac{p}{F} = \frac{111 000 kg \cdot m / s}{8000 N} \approx 14 s .$

Kulan bromsas på en sträcka på ungefär 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (medelhastighet gånger tid). Lastbilen skulle på fjorton sekunder med medelhastigheten 1,39 m/s köra nästan 20 m. Säcken skulle behöva vara tjugo meter lång, och därför skjuter lastbilen helt enkelt undan den och kör vidare.

Impulsen gäller också åt andra hållet, när en kropp sätts i rörelse. En fotbollsspelare sparkar till en stillaliggande boll med massan 0,45 kg och bollen far iväg med hastigheten 30 m/s. Bollen fick rörelsemängden 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Foten är i kontakt med bollen i ungefär en hundradels sekund, så foten verkar på bollen med medelkraften

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1350 N .$

Den som vill sparka hårdare måste antingen verka på bollen med större kraft eller verka längre. Därför stöter en kulstötare inte iväg kulan bara med handleden, utan trycker den framåt längs hela armens långa rörelse.

Kraften vid en stöt är inte konstant, den ökar snabbt och sjunker sedan igen. Av rörelsemängdens ändring räknar vi ut dess medelvärde, och det räcker för oss.

Krockkudde

Tänk dig en bil som kör med hastigheten 50 km/h och krockar med en vägg. Passageraren med massan 70 kg är fastspänd och framför honom blåses en krockkudde upp. Bältet och krockkudden stoppar honom på ungefär 0,1 s. Med vilken kraft verkar de på honom?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Vi väljer färdriktningen som positiv riktning. Passageraren förlorar hela den rörelsemängd han hade:

$p_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

Rörelsemängdens ändring är Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Minustecknet säger bara att kraften är riktad mot färdriktningen. Kraftens storlek:

$F = \frac{| Δ p |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9730 N$

När vi delar kilogram gånger meter per sekund med sekund får vi kg·m/s², alltså newton. På passageraren verkar ungefär 9700 N. Tyngdkraften på honom är 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, så bältet och krockkudden bromsar honom med en kraft som är ungefär fjorton gånger större. Det är mycket, men det går att överleva.

Om han varken hade bälte eller krockkudde skulle han slå i ratten och instrumentbrädan och stanna på ungefär 0,01 s. Han förlorar lika mycket rörelsemängd, men på en tiondel av tiden:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97 300 N$

Det är ungefär 97 000 N, tio gånger mer och ungefär hundrafyrtio gånger mer än tyngdkraften. Krockkudden minskar inte rörelsemängden som passageraren förlorar, den är given av hans massa och hastighet. Den tar bara bort den under längre tid, och därför med mindre kraft. Samma sak gör bilens deformationszon, som pressas ihop successivt vid kollisionen och förlänger stopptiden.

Mjuk landning

Gymnasten Saga med massan 40 kg hoppar ner från bommen och landar med hastigheten 4 m/s. Strax före landningen har hon rörelsemängden

$p = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

På ett hårt golv stannar hon, även med böjda knän, på ungefär 0,05 s, på en tjockmatta som ger efter under henne på ungefär 0,25 s. Den resulterande kraften som bromsar henne:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

På mattan är kraften fem gånger mindre, eftersom landningen tar fem gånger längre tid. Hela rörelsemängden förlorar Saga i båda fallen. Mattan ändrar inte hur mycket rörelsemängd som försvinner, den tar bara bort den långsammare.

Resulterande kraft F som funktion av tiden t vid landning på hårt golv och på en matta

Den röda rektangeln är landningen på golvet, den blå på mattan. Rektangelns höjd är medelkraften, bredden är landningstiden, så rektangelns area är kraft gånger tid, alltså impulsen. Den röda rektangeln är fem gånger högre och fem gånger smalare än den blå och båda har samma area 160 N·s, eftersom båda landningarna tog lika mycket rörelsemängd från Saga. Den verkliga kraften vid landningen stiger snabbt och sjunker sedan igen. Impulsen är då arean under dess kurva och medelkraften är höjden på en rektangel med samma area.

Golvet och mattan måste dessutom trycka uppåt med ytterligare omkring 390 N, lika mycket som tyngdkraften på Saga, eftersom jorden drar henne nedåt även under landningen. Den resulterande kraften är skillnaden mellan kraften som underlaget trycker uppåt med och tyngdkraften.

Samma princip utnyttjar sanden i längdhoppsgropen, madrassen vid stavhopp eller att du böjer knäna när du hoppar ner från en mur.

Varför händerna ger efter när man fångar

När man fångar en hårt kastad boll följer händerna av sig själva med bollen bakåt mot kroppen. Bollen bromsas då längre tid och med mindre kraft, och handflatorna gör inte ont. Den som håller händerna stela stoppar bollen på en kort stund med stor kraft, och bollen studsar ofta iväg. Det vet bäst den som någon gång har försökt fånga ett rått ägg.

En boll som fångas med stel hand (överst) och med en slapp hand som följer med bakåt (nederst)

De orangea markeringarna visar var bollen befann sig med lika långa tidsintervall. Överst stannar bollen mot den stela röda handen nästan ögonblickligen. Nederst följer den blå handen med bakåt och bollen bromsas gradvis, markeringarna kommer närmare varandra. Den grå konturen visar var handen började. Stoppet nederst tar mycket längre tid, och därför bromsar handen bollen med mycket mindre kraft.

En handbollsboll med massan 0,4 kg flyger med hastigheten 15 m/s och har rörelsemängden 6 kg·m/s. Stela händer stoppar den på ungefär 0,01 s med kraften 600 N, slappa på 0,1 s med kraften bara 60 N.

En studs är värre än ett stopp

Du kastar en kula av modellera med massan 0,06 kg mot en vägg med hastigheten 20 m/s. Vi väljer riktningen mot väggen som positiv. Kulan fastnar, så dess rörelsemängd ändras från 1,2 kg·m/s till noll:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Ta nu en tennisboll med samma massa och hastighet. I idealfallet studsar den och flyger tillbaka med samma hastighet 20 m/s, alltså mot den positiva riktningen, och dess rörelsemängd är −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Rörelsemängdens ändring blir dubbelt så stor. Väggen måste först stoppa tennisbollen och sedan skicka iväg den tillbaka. Vid lika lång kontakt trycker väggen därför på tennisbollen med dubbelt så stor kraft som på modelleran. Det vore fel att säga att rörelsemängden inte ändrades, bara för att tennisbollen fortfarande flyger lika snabbt. Hastigheten har samma storlek men motsatt riktning, och rörelsemängden är en vektor. Därför gör också en boll som studsar ifrån stela händer mer ont än om den hade blivit kvar i handflatorna.

Vart tog då den rörelsemängd vägen som tennisbollen förlorade vid studsen? Och vad händer om den i stället för väggen träffar en annan kropp som kan sätta sig i rörelse?

Hur man räknar med det, varför ett gevär sparkar skytten i axeln vid skottet och hur snabbt kopplade vagnar rullar visar nästa artikel, Lagen om rörelsemängdens bevarande.

« Föregående: Tyngdkraft och skenbar tyngd

Nästa: Lagen om rörelsemängdens bevarande »