Quantité de mouvement et impulsion d’une force

Dans la cour d’un entrepôt, un camion recule à 10 km/h, à peu près l’allure d’un joggeur. Dans un stand de tir, une balle part à 800 m/s. Lequel des deux est le plus difficile à arrêter ? La balle l’emporte en vitesse, le camion en masse. La physique a, pour ce duel, une grandeur qui réunit la masse et la vitesse. Elle s’appelle la quantité de mouvement et c’est le produit de la masse et de la vitesse :

$p = m \cdot v$

En termes simples, la quantité de mouvement dit combien de mouvement il y a dans un corps. Son unité est le kilogramme fois mètre par seconde, kg·m/s. Contrairement au newton, cette unité n’a pas reçu de nom propre.

Un corps deux fois plus massif a, à la même vitesse, une quantité de mouvement deux fois plus grande, et un corps deux fois plus rapide, de même masse, aussi. Cela correspond à l’expérience. Un medicine-ball est plus difficile à attraper qu’un ballon de football lancé à la même vitesse, et un ballon frappé de volée est plus difficile à arrêter que celui que quelqu’un te passe doucement.

Le camion ou la balle ?

Le camion a une masse de 40 t = 40 000 kg. Nous convertissons la vitesse en mètres par seconde, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, et nous remplaçons :

$p = 40 000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111 000 kg \cdot m / s$

La balle a une masse de 10 g = 0,01 kg :

$p = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

La quantité de mouvement du camion lent est presque quatorze mille fois plus grande que celle de la balle rapide. La balle va certes environ trois cents fois plus vite, mais le camion est quatre millions de fois plus massif. La balle est arrêtée par un sac de sable, le camion le repousse. Pourquoi c’est justement la quantité de mouvement qui décide de la difficulté d’arrêter un corps, nous le verrons dans un instant.

La vitesse est un vecteur, la quantité de mouvement aussi :

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$

La masse est un nombre positif, la quantité de mouvement est donc toujours dirigée comme la vitesse. Deux camions identiques qui roulent l’un vers l’autre à la même vitesse ont des quantités de mouvement de même valeur, mais de sens opposés. Sur une droite, nous choisissons un sens positif et une quantité de mouvement dirigée à l’opposé reçoit le signe moins, comme la vitesse.

Comment modifier la quantité de mouvement

La quantité de mouvement d’un corps ne change que si sa vitesse change, et il faut pour cela une force. Partons de la deuxième loi de Newton F = m · a et remplaçons l’accélération par la variation de vitesse par unité de temps, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

La masse ne change pas, donc la masse fois la variation de vitesse est la variation de la quantité de mouvement. Au début, le corps avait la vitesse v₀ et la quantité de mouvement p₀ = m · v₀, à la fin la vitesse v et la quantité de mouvement p = m · v :

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = p - p_{0} = Δ p \end{aligned}$

En remplaçant dans le principe fondamental de la dynamique, nous obtenons la deuxième loi de Newton écrite avec la quantité de mouvement :

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

La force est la variation de la quantité de mouvement par unité de temps, comme l’accélération est la variation de la vitesse par unité de temps. Avec des vecteurs, $\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$ , donc la quantité de mouvement varie dans la direction de la résultante. Newton lui-même a énoncé la loi avec la quantité de mouvement : par variation du mouvement, il entendait la variation de la quantité de mouvement.

Impulsion d’une force

Nous multiplions la formule par la durée Δt :

$F \cdot Δ t = Δ p$

Le produit de la force et de la durée de son action s’appelle l’impulsion d’une force, I = F · Δt. Son unité est le newton fois seconde, et c’est la même que celle de la quantité de mouvement :

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

L’impulsion d’une force est égale à la variation de la quantité de mouvement. Il en découle une chose importante : quand un corps doit perdre une certaine quantité de mouvement, par exemple s’arrêter, l’impulsion est fixée. Une grande force y arrive en peu de temps, une petite force en longtemps. Une durée deux fois plus longue signifie une force deux fois plus petite, dix fois plus longue une force dix fois plus petite.

Nous savons maintenant pourquoi le sac de sable arrête la balle et pas le camion. La balle s’arrête dans le sable en environ un millième de seconde, le sac la freine donc avec une force moyenne de

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8 000 N .$

Ce n’est pas peu, mais le sable le supporte. S’il devait arrêter le camion avec la même force, il devrait le freiner pendant

$Δ t = \frac{p}{F} = \frac{111 000 kg \cdot m / s}{8 000 N} \approx 14 s .$

La balle est freinée sur une distance d’environ 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (vitesse moyenne fois durée). En quatorze secondes, à la vitesse moyenne de 1,39 m/s, le camion parcourrait presque 20 m. Le sac devrait mesurer vingt mètres, et le camion le repousse donc tout simplement et continue sa route.

La relation vaut aussi dans l’autre sens, quand un corps démarre. Un footballeur frappe un ballon immobile de masse 0,45 kg et le ballon part à 30 m/s. Le ballon a acquis une quantité de mouvement de 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Le contact du pied dure environ un centième de seconde, le pied agit donc sur le ballon avec une force moyenne de

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1 350 N .$

Pour frapper plus fort, il faut agir sur le ballon soit avec une force plus grande, soit plus longtemps. C’est pourquoi le lanceur de poids ne lance pas l’engin avec le seul poignet, mais le pousse sur toute la longue trajectoire de son bras.

La force lors d’un choc n’est pas constante, elle augmente vite et redescend. À partir de la variation de la quantité de mouvement, nous calculons sa valeur moyenne, et cela nous suffira.

L’airbag

Imagine une voiture qui roule à 50 km/h et heurte un mur. Le passager de masse 70 kg est attaché et un airbag se gonfle devant lui. La ceinture avec l’airbag l’arrête en environ 0,1 s. Avec quelle force agissent-ils sur lui ?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Le sens positif sera le sens de la marche. Le passager perd toute la quantité de mouvement qu’il avait :

$p_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

La variation de la quantité de mouvement est Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Le moins indique seulement que la force est dirigée contre le sens de la marche. La valeur de la force :

$F = \frac{| Δ p |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9 730 N$

Quand on divise un kilogramme fois mètre par seconde par une seconde, on obtient kg·m/s², donc un newton. Une force d’environ 9 700 N s’exerce sur le passager. Son poids est 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, la ceinture et l’airbag le freinent donc avec une force environ quatorze fois plus grande. C’est beaucoup, mais on y survit.

S’il n’avait ni ceinture ni airbag, il heurterait le volant et le tableau de bord et s’arrêterait en environ 0,01 s. Il perd la même quantité de mouvement, mais en un dixième du temps :

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97 300 N$

C’est environ 97 000 N, dix fois plus et à peu près cent quarante fois plus que le poids. L’airbag ne diminue pas la quantité de mouvement que le passager perd, elle est fixée par sa masse et sa vitesse. Il la lui retire seulement plus longtemps, et donc avec une force plus petite. La zone de déformation de la voiture fait la même chose : elle s’écrase progressivement lors du choc et allonge la durée de l’arrêt.

Une réception en douceur

La gymnaste Sarah, de masse 40 kg, saute de la poutre et touche le sol à 4 m/s. Juste avant la réception, sa quantité de mouvement est

$p = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

Sur un sol dur, même avec les genoux fléchis, elle s’arrête en environ 0,05 s, sur un tapis qui s’enfonce sous elle en environ 0,25 s. La résultante qui la freine :

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3 200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

Sur le tapis, la force est cinq fois plus petite, parce que la réception dure cinq fois plus longtemps. Sarah perd toute sa quantité de mouvement dans les deux cas. Le tapis ne change pas la quantité de mouvement qui disparaît, il l’enlève simplement plus lentement.

Résultante F en fonction du temps t lors de la réception sur un sol dur et sur un tapis

Le rectangle rouge est la réception sur le sol, le bleu sur le tapis. La hauteur du rectangle est la force moyenne, la largeur la durée de la réception, donc l’aire du rectangle est la force fois la durée, c’est-à-dire l’impulsion. Le rectangle rouge est cinq fois plus haut et cinq fois plus étroit que le bleu et les deux ont la même aire 160 N·s, parce que les deux réceptions ont enlevé à Sarah la même quantité de mouvement. La force réelle lors de la réception monte vite et redescend. L’impulsion est alors l’aire sous sa courbe et la force moyenne est la hauteur du rectangle de même aire.

Le sol et le tapis doivent d’ailleurs pousser plus fort encore, de la valeur du poids de Sarah, environ 390 N, parce que la Terre l’attire vers le bas aussi pendant la réception. La résultante est la différence entre la force avec laquelle le support pousse vers le haut et le poids.

Le sable du saut en longueur, le matelas du saut à la perche ou la flexion des genoux quand tu sautes d’un muret reposent sur le même principe.

Pourquoi les mains reculent quand on attrape

Quand on attrape un ballon lancé fort, les mains reculent d’elles-mêmes vers le corps avec lui. Le ballon est ainsi freiné plus longtemps et avec une force plus petite, et les paumes ne font pas mal. Celui qui tend des mains raides arrête le ballon en un clin d’œil, avec une grande force, et le ballon rebondit souvent sur ses mains. Celui qui a déjà essayé d’attraper un œuf cru le sait mieux que quiconque.

Ballon attrapé par une main raide (en haut) et par une main relâchée qui recule avec lui (en bas)

Les repères orange enregistrent où se trouvait le ballon après des durées égales. En haut, le ballon s’arrête presque instantanément contre la main rouge raide. En bas, la main bleue recule avec lui et le ballon ralentit progressivement, les repères se rapprochent. Le contour gris montre d’où la main est partie. L’arrêt en bas dure beaucoup plus longtemps, et la main freine donc le ballon avec une force beaucoup plus petite.

Un ballon de handball de masse 0,4 kg vole à 15 m/s et a une quantité de mouvement de 6 kg·m/s. Des mains raides l’arrêtent en environ 0,01 s avec une force de 600 N, des mains relâchées en 0,1 s avec une force de seulement 60 N.

Un rebond est pire qu’un arrêt

Tu lances contre un mur une boule de pâte à modeler de masse 0,06 kg à 20 m/s. Nous choisissons le sens positif vers le mur. La boule colle, sa quantité de mouvement passe donc de 1,2 kg·m/s à zéro :

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Prenons maintenant une balle de tennis de même masse et de même vitesse. Dans le cas idéal, elle rebondit et repart à la même vitesse de 20 m/s, donc contre le sens positif, et sa quantité de mouvement est −1,2 kg·m/s :

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

La variation de la quantité de mouvement est le double. Le mur doit d’abord arrêter la balle de tennis, puis encore la renvoyer. Pour un contact de même durée, le mur pousse donc la balle de tennis avec une force deux fois plus grande que la pâte à modeler. Ce serait une erreur de dire que la quantité de mouvement n’a pas changé parce que la balle de tennis repart aussi vite. La vitesse a la même valeur, mais le sens opposé, et la quantité de mouvement est un vecteur. C’est aussi pourquoi un ballon qui te rebondit sur des mains raides fait plus mal que s’il te restait dans les paumes.

Mais où est passée la quantité de mouvement que la balle de tennis a perdue en rebondissant ? Et si, au lieu du mur, elle heurtait un autre corps qui peut se mettre en mouvement ?

Comment on calcule cela, pourquoi un fusil donne un coup dans l’épaule du tireur au moment du tir et à quelle vitesse roulent des wagons accrochés ensemble, l’article suivant le montre : Conservation de la quantité de mouvement.

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