Ορμή και ώθηση

Στην αυλή μιας αποθήκης κινείται όπισθεν ένα φορτηγό με ταχύτητα 10 km/h, περίπου με τον ρυθμό ενός ερασιτέχνη δρομέα. Σε ένα σκοπευτήριο πάλι εκτοξεύεται μια σφαίρα με ταχύτητα 800 m/s. Ποιο από τα δύο σταματά πιο δύσκολα; Η σφαίρα προηγείται στην ταχύτητα, το φορτηγό στη μάζα. Η φυσική έχει για αυτή τη μονομαχία ένα μέγεθος που συνδέει τη μάζα και την ταχύτητα. Λέγεται ορμή και είναι το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα:

$p = m \cdot υ$

Με απλά λόγια, η ορμή λέει πόση κίνηση υπάρχει στο σώμα. Μονάδα είναι το κιλό επί μέτρο ανά δευτερόλεπτο, kg·m/s. Αυτή η μονάδα δεν πήρε δικό της όνομα, όπως το νιούτον.

Ένα σώμα με διπλάσια μάζα έχει στην ίδια ταχύτητα διπλάσια ορμή, και ένα σώμα με διπλάσια ταχύτητα και την ίδια μάζα επίσης. Αυτό συμφωνεί με την εμπειρία. Μια μπάλα ενδυνάμωσης την πιάνεις πιο δύσκολα από μια μπάλα ποδοσφαίρου που ρίχτηκε εξίσου γρήγορα, και μια μπάλα που κλοτσήθηκε με βολέ πιο δύσκολα από μια που απλώς σου δίνουν στο χέρι.

Φορτηγό ή σφαίρα;

Το φορτηγό έχει μάζα 40 t = 40.000 kg. Μετατρέπουμε την ταχύτητα σε μέτρα ανά δευτερόλεπτο, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, και αντικαθιστούμε:

$p = 40.000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111.000 kg \cdot m / s$

Η σφαίρα έχει μάζα 10 g = 0,01 kg:

$p = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

Η ορμή του αργού φορτηγού είναι σχεδόν δεκατέσσερις χιλιάδες φορές μεγαλύτερη από την ορμή της γρήγορης σφαίρας. Η σφαίρα πετά μεν περίπου τριακόσιες φορές ταχύτερα, αλλά το φορτηγό έχει τέσσερα εκατομμύρια φορές μεγαλύτερη μάζα. Τη σφαίρα θα τη σταματήσει ένας σάκος με άμμο, το φορτηγό θα τον παραμερίσει. Γιατί ακριβώς η ορμή καθορίζει πόσο δύσκολο είναι να σταματήσει ένα σώμα, θα το δούμε σε λίγο.

Η ταχύτητα είναι διάνυσμα, άρα διάνυσμα είναι και η ορμή:

$\vec{p} = m \cdot \vec{υ}$

Η μάζα είναι θετικός αριθμός, οπότε η ορμή έχει πάντα την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα. Δύο ίδια φορτηγά που κινούνται με την ίδια ταχύτητα το ένα προς το άλλο έχουν ορμή ίδιου μέτρου, αλλά αντίθετης κατεύθυνσης. Πάνω σε ευθεία επιλέγουμε θετική φορά και η ορμή που έχει φορά αντίθετη προς αυτήν παίρνει πρόσημο μείον, όπως και η ταχύτητα.

Πώς αλλάζει η ορμή

Η ορμή ενός σώματος αλλάζει μόνο όταν αλλάξει η ταχύτητά του, και για να συμβεί αυτό χρειάζεται δύναμη. Ξεκινάμε από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα F = m · α και στη θέση της επιτάχυνσης βάζουμε τη μεταβολή της ταχύτητας ανά χρόνο, $α = \frac{Δ υ}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ υ}{Δ t}$

Η μάζα δεν αλλάζει, άρα η μάζα επί τη μεταβολή της ταχύτητας είναι η μεταβολή της ορμής. Το σώμα είχε στην αρχή ταχύτητα υ₀ και ορμή p₀ = m · υ₀, στο τέλος ταχύτητα υ και ορμή p = m · υ:

$\begin{aligned} m \cdot Δ υ & = m \cdot (υ - υ_{0}) = m \cdot υ - m \cdot υ_{0} \\ = p - p_{0} = Δ p \end{aligned}$

Αντικαθιστώντας στον θεμελιώδη νόμο παίρνουμε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα γραμμένο μέσω της ορμής:

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

Η δύναμη είναι η μεταβολή της ορμής στη μονάδα του χρόνου, όπως η επιτάχυνση είναι η μεταβολή της ταχύτητας στη μονάδα του χρόνου. Με διανύσματα $\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$ , άρα η ορμή αλλάζει στην κατεύθυνση της συνισταμένης δύναμης. Ο ίδιος ο Νεύτωνας διατύπωσε τον νόμο μέσω της ορμής: με την αλλαγή της κίνησης εννοούσε τη μεταβολή της ορμής.

Ώθηση της δύναμης

Πολλαπλασιάζουμε τον τύπο με τη χρονική διάρκεια Δt:

$F \cdot Δ t = Δ p$

Το γινόμενο της δύναμης επί τον χρόνο που ασκείται το λέμε ώθηση της δύναμης, J = F · Δt. Μονάδα είναι το νιούτον επί δευτερόλεπτο και είναι το ίδιο με τη μονάδα της ορμής:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

Η ώθηση της δύναμης ισούται με τη μεταβολή της ορμής. Από αυτό προκύπτει κάτι σημαντικό: όταν ένα σώμα πρέπει να χάσει ορισμένη ορμή, για παράδειγμα να σταματήσει, η ώθηση είναι δεδομένη. Μια μεγάλη δύναμη το καταφέρνει σε μικρό χρόνο, μια μικρή δύναμη σε μεγάλο. Διπλάσιος χρόνος σημαίνει μισή δύναμη, δεκαπλάσιος ένα δέκατο.

Τώρα καταλαβαίνουμε γιατί ο σάκος με άμμο σταματά τη σφαίρα και το φορτηγό όχι. Η σφαίρα σταματά μέσα στην άμμο σε περίπου ένα χιλιοστό του δευτερολέπτου, άρα ο σάκος τη φρενάρει με μέση δύναμη

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8.000 N .$

Δεν είναι λίγο, η άμμος όμως το αντέχει. Αν έπρεπε να σταματήσει με εξίσου μεγάλη δύναμη το φορτηγό, θα έπρεπε να το φρενάρει για

$Δ t = \frac{p}{F} = \frac{111.000 kg \cdot m / s}{8.000 N} \approx 14 s .$

Η σφαίρα φρενάρει σε διάστημα περίπου 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (μέση ταχύτητα επί χρόνο). Το φορτηγό σε δεκατέσσερα δευτερόλεπτα με μέση ταχύτητα 1,39 m/s θα διένυε σχεδόν 20 m. Ο σάκος θα έπρεπε να έχει μήκος είκοσι μέτρα, και έτσι το φορτηγό απλώς τον παραμερίζει και συνεχίζει.

Η ώθηση ισχύει και αντίστροφα, όταν ένα σώμα ξεκινά. Ένας ποδοσφαιριστής κλοτσά μια ακίνητη μπάλα μάζας 0,45 kg και η μπάλα φεύγει με ταχύτητα 30 m/s. Η μπάλα απέκτησε ορμή 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Η επαφή του ποδιού διαρκεί περίπου ένα εκατοστό του δευτερολέπτου, άρα το πόδι ασκεί στην μπάλα μέση δύναμη

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1.350 N .$

Όποιος θέλει να κλοτσήσει δυνατότερα, πρέπει να ασκήσει στην μπάλα ή μεγαλύτερη δύναμη ή για περισσότερο χρόνο. Γι' αυτό ο σφαιροβόλος δεν πετά τη σφαίρα μόνο με τον καρπό, αλλά τη σπρώχνει σε όλη τη μεγάλη διαδρομή του χεριού.

Η δύναμη σε μια κρούση δεν είναι σταθερή, αυξάνεται γρήγορα και ξανά μειώνεται. Από τη μεταβολή της ορμής υπολογίζουμε τη μέση τιμή της και αυτή μας φτάνει.

Αερόσακος

Φαντάσου ένα αυτοκίνητο που κινείται με 50 km/h και χτυπά σε τοίχο. Ο επιβάτης μάζας 70 kg φοράει ζώνη και μπροστά του φουσκώνει ο αερόσακος. Η ζώνη με τον αερόσακο τον σταματούν σε περίπου 0,1 s. Πόση δύναμη του ασκούν;

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ υ_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ υ & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

Θετική φορά θεωρούμε τη φορά της κίνησης. Ο επιβάτης χάνει ολόκληρη την ορμή που είχε:

$p_{0} = m \cdot υ_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

Η μεταβολή της ορμής είναι Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Το μείον λέει μόνο ότι η δύναμη έχει φορά αντίθετη προς την κίνηση. Το μέτρο της δύναμης:

$F = \frac{| Δ p |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9.730 N$

Όταν διαιρέσουμε κιλό επί μέτρο ανά δευτερόλεπτο με δευτερόλεπτο, βγαίνει kg·m/s², δηλαδή νιούτον. Στον επιβάτη ασκείται δύναμη περίπου 9.700 N. Το βάρος του είναι 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, άρα η ζώνη και ο αερόσακος τον φρενάρουν με δύναμη περίπου δεκατέσσερις φορές μεγαλύτερη. Πολύ, αλλά επιζεί κανείς.

Αν δεν είχε ούτε ζώνη ούτε αερόσακο, θα χτυπούσε στο τιμόνι και στο ταμπλό και θα σταματούσε σε περίπου 0,01 s. Χάνει την ίδια ορμή, μόνο σε ένα δέκατο του χρόνου:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97.300 N$

Αυτό είναι περίπου 97.000 N, δέκα φορές περισσότερο και περίπου εκατόν σαράντα φορές περισσότερο από το βάρος. Ο αερόσακος δεν μειώνει την ορμή που χάνει ο επιβάτης, αυτή καθορίζεται από τη μάζα και την ταχύτητά του. Απλώς την αφαιρεί για περισσότερο χρόνο, και γι' αυτό με μικρότερη δύναμη. Το ίδιο κάνει και η ζώνη παραμόρφωσης του αυτοκινήτου, που στην πρόσκρουση συνθλίβεται σταδιακά και παρατείνει τον χρόνο του σταματήματος.

Μαλακή προσγείωση

Η Βαρβάρα, μια γυμνάστρια μάζας 40 kg, πηδά από τη δοκό ισορροπίας και προσγειώνεται με ταχύτητα 4 m/s. Αμέσως πριν από την προσγείωση έχει ορμή

$p = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

Στο σκληρό δάπεδο σταματά, ακόμη και με λυγισμένα γόνατα, σε περίπου 0,05 s, σε ένα στρώμα που υποχωρεί κάτω από αυτήν σε περίπου 0,25 s. Η συνισταμένη δύναμη που τη φρενάρει:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3.200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

Στο στρώμα η δύναμη είναι πέντε φορές μικρότερη, επειδή η προσγείωση διαρκεί πέντε φορές περισσότερο. Ολόκληρη την ορμή η Βαρβάρα τη χάνει και στις δύο περιπτώσεις. Το στρώμα δεν αλλάζει πόση ορμή εξαφανίζεται, απλώς την παίρνει πιο αργά.

Η συνισταμένη δύναμη F σε συνάρτηση με τον χρόνο t στην προσγείωση σε σκληρό δάπεδο και σε στρώμα

Το κόκκινο ορθογώνιο είναι η προσγείωση στο δάπεδο, το μπλε στο στρώμα. Το ύψος του ορθογωνίου είναι η μέση δύναμη, το πλάτος η διάρκεια της προσγείωσης, άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι η δύναμη επί τον χρόνο, δηλαδή η ώθηση. Το κόκκινο ορθογώνιο είναι πέντε φορές ψηλότερο και πέντε φορές στενότερο από το μπλε και τα δύο έχουν το ίδιο εμβαδόν 160 N·s, επειδή και οι δύο προσγειώσεις πήραν από τη Βαρβάρα την ίδια ορμή. Η πραγματική δύναμη στην προσγείωση ανεβαίνει γρήγορα και ξανά πέφτει. Η ώθηση είναι τότε το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη της και η μέση δύναμη είναι το ύψος του ορθογωνίου με το ίδιο εμβαδόν.

Το δάπεδο και το στρώμα πρέπει πάντως να σπρώχνουν ακόμη περισσότερο, κατά το βάρος της Βαρβάρας, περίπου 390 N, επειδή η Γη την τραβά προς τα κάτω και κατά την προσγείωση. Η συνισταμένη δύναμη είναι η διαφορά της δύναμης με την οποία το στήριγμα σπρώχνει προς τα πάνω και του βάρους.

Την ίδια αρχή αξιοποιούν η άμμος στο άλμα εις μήκος, το στρώμα στο άλμα επί κοντώ ή το λύγισμα των γονάτων όταν πηδάς από ένα χαμηλό τοιχάκι.

Γιατί τραβάμε τα χέρια πίσω όταν πιάνουμε μπάλα

Όταν πιάνεις μια μπάλα που ρίχτηκε δυνατά, τα χέρια υποχωρούν μόνα τους μαζί της προς το σώμα. Έτσι η μπάλα φρενάρει για περισσότερο χρόνο και με μικρότερη δύναμη και οι παλάμες δεν πονούν. Όποιος κρατά τα χέρια σφιχτά, σταματά την μπάλα σε μια στιγμή, με μεγάλη δύναμη, και η μπάλα συχνά αναπηδά από τα χέρια του. Το ξέρει καλύτερα όποιος έχει πιάσει ποτέ ωμό αβγό.

Μπάλα που πιάνεται με σφιχτό χέρι (πάνω) και με χαλαρό χέρι που υποχωρεί μαζί της (κάτω)

Τα πορτοκαλί σημάδια καταγράφουν πού βρισκόταν η μπάλα σε ίσα χρονικά διαστήματα. Πάνω η μπάλα σταματά σχεδόν ακαριαία πάνω στο σφιχτό κόκκινο χέρι. Κάτω το μπλε χέρι υποχωρεί μαζί της και η μπάλα επιβραδύνεται σταδιακά, τα σημάδια πλησιάζουν μεταξύ τους. Το γκρίζο περίγραμμα δείχνει από πού ξεκίνησε το χέρι. Το σταμάτημα κάτω διαρκεί πολύ περισσότερο και γι' αυτό το χέρι φρενάρει την μπάλα με πολύ μικρότερη δύναμη.

Μια μπάλα του χάντμπολ μάζας 0,4 kg πετά με ταχύτητα 15 m/s και έχει ορμή 6 kg·m/s. Σφιχτά χέρια τη σταματούν σε περίπου 0,01 s με δύναμη 600 N, χαλαρά σε 0,1 s με δύναμη μόνο 60 N.

Η αναπήδηση είναι χειρότερη από το σταμάτημα

Πετάς σε έναν τοίχο μια μπάλα από πλαστελίνη μάζας 0,06 kg με ταχύτητα 20 m/s. Θετική φορά διαλέγουμε προς τον τοίχο. Η μπάλα κολλά, άρα η ορμή της αλλάζει από 1,2 kg·m/s σε μηδέν:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Πάρε τώρα ένα μπαλάκι του τένις με την ίδια μάζα και ταχύτητα. Στην ιδανική περίπτωση αναπηδά και πετά προς τα πίσω με την ίδια ταχύτητα 20 m/s, δηλαδή αντίθετα προς τη θετική φορά, και η ορμή του είναι −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Η μεταβολή της ορμής βγαίνει διπλάσια. Ο τοίχος πρέπει πρώτα να σταματήσει το μπαλάκι και μετά να το στείλει πίσω. Για την ίδια διάρκεια επαφής ο τοίχος σπρώχνει λοιπόν το μπαλάκι με διπλάσια δύναμη απ' ό,τι την πλαστελίνη. Λάθος θα ήταν να πούμε ότι η ορμή δεν άλλαξε, αφού το μπαλάκι πετά ακόμη εξίσου γρήγορα. Η ταχύτητα έχει το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη κατεύθυνση, και η ορμή είναι διάνυσμα. Γι' αυτό και η μπάλα που αναπηδά από τα σφιχτά σου χέρια πονά περισσότερο απ' ό,τι αν σου έμενε στις παλάμες.

Πού πήγε όμως η ορμή που έχασε το μπαλάκι στην αναπήδηση; Και τι γίνεται αν αντί για τον τοίχο χτυπήσει σε κάποιο άλλο σώμα, που μπορεί να ξεκινήσει;

Πώς υπολογίζεται αυτό, γιατί το όπλο κλωτσά τον σκοπευτή στον ώμο όταν πυροβολεί και πόσο γρήγορα κινούνται συνδεδεμένα βαγόνια, το δείχνει το επόμενο άρθρο, Αρχή διατήρησης της ορμής.

« Προηγούμενο: Βάρος και φαινόμενο βάρος

Επόμενο: Αρχή διατήρησης της ορμής »