Quantità di moto e impulso
Nel cortile di un magazzino un camion va in retromarcia a 10 km/h, circa l’andatura di un runner della domenica. Al poligono di tiro, invece, parte un proiettile a 800 m/s. Quale dei due è più difficile da fermare? Il proiettile vince in velocità, il camion in massa. La fisica ha per questa sfida una grandezza che unisce massa e velocità. Si chiama quantità di moto ed è il prodotto della massa per la velocità:
In parole povere, la quantità di moto dice quanto moto c’è in un corpo. L’unità di misura è il chilogrammo per metro al secondo, kg·m/s. Questa unità non ha ricevuto un nome tutto suo, come invece il newton.
Un corpo di massa doppia ha, alla stessa velocità, una quantità di moto doppia, e anche un corpo con la stessa massa e velocità doppia. Corrisponde all’esperienza. Una palla medica è più difficile da prendere di un pallone da calcio lanciato alla stessa velocità, e un pallone calciato al volo più di uno che qualcuno ti passa a mano.
Camion o proiettile?
Il camion ha una massa di 40 t = 40.000 kg. Convertiamo la velocità in metri al secondo, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, e sostituiamo:
Il proiettile ha una massa di 10 g = 0,01 kg:
La quantità di moto del lento camion è quasi quattordicimila volte maggiore di quella del veloce proiettile. Il proiettile vola sì circa trecento volte più veloce, ma il camion ha una massa quattro milioni di volte maggiore. Il proiettile lo ferma un sacco di sabbia, il camion il sacco lo sposta. Perché sia proprio la quantità di moto a decidere quanto è difficile fermare un corpo lo vedremo tra poco.
La velocità è un vettore, quindi lo è anche la quantità di moto:
La massa è un numero positivo, perciò la quantità di moto ha sempre la stessa direzione e lo stesso verso della velocità. Due camion uguali che si vengono incontro alla stessa velocità hanno quantità di moto di uguale modulo ma di verso opposto. Su una retta scegliamo un verso positivo e la quantità di moto diretta contro di esso riceve il segno meno, proprio come la velocità.
Come cambiare la quantità di moto
La quantità di moto di un corpo cambia solo se cambia la sua velocità, e per questo serve una forza. Partiamo dal secondo principio della dinamica F = m · a e al posto dell’accelerazione sostituiamo la variazione di velocità nel tempo,
La massa non cambia, quindi massa per variazione di velocità è la variazione della quantità di moto. All’inizio il corpo aveva velocità v0 e quantità di moto p0 = m · v0, alla fine velocità v e quantità di moto p = m · v:
Sostituendo nel secondo principio otteniamo il secondo principio della dinamica scritto con la quantità di moto:
La forza è la variazione della quantità di moto nell’unità di tempo, così come l’accelerazione è la variazione della velocità nell’unità di tempo. In forma vettoriale
L’impulso di una forza
Moltiplichiamo la formula per l’intervallo di tempo Δt:
Il prodotto della forza per il tempo durante il quale agisce si chiama impulso di una forza, I = F · Δt. L’unità è il newton per secondo ed è la stessa cosa dell’unità della quantità di moto:
L’impulso di una forza è uguale alla variazione della quantità di moto. Ne deriva una cosa importante: se un corpo deve perdere una certa quantità di moto, per esempio fermarsi, l’impulso è fissato. Una forza grande ce la fa in poco tempo, una forza piccola in molto tempo. Un tempo doppio vuol dire forza dimezzata, un tempo dieci volte maggiore un decimo della forza.
Ora sappiamo perché il sacco di sabbia ferma il proiettile e non il camion. Il proiettile nella sabbia si ferma in circa un millesimo di secondo, quindi il sacco lo frena con una forza media di
Non è poco, ma la sabbia lo regge. Se con la stessa forza dovesse fermare il camion, dovrebbe frenarlo per
Il proiettile si ferma in uno spazio di circa 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (velocità media per tempo). Il camion in quattordici secondi, a una velocità media di 1,39 m/s, percorrerebbe quasi 20 m. Il sacco dovrebbe essere lungo venti metri, e così il camion semplicemente lo sposta e va avanti.
L’impulso vale anche all’inverso, quando un corpo parte. Un calciatore calcia un pallone fermo di massa 0,45 kg e il pallone parte a 30 m/s. Il pallone ha acquistato una quantità di moto 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Il contatto del piede dura circa un centesimo di secondo, quindi il piede agisce sul pallone con una forza media di
Chi vuole calciare più forte deve agire sul pallone o con una forza maggiore, o più a lungo. Per questo il lanciatore del peso non lancia la sfera solo con il polso, ma la spinge lungo tutta la lunga traiettoria del braccio.
La forza in un urto non è costante, cresce rapidamente e poi cala. Dalla variazione della quantità di moto calcoliamo il suo valore medio, e ci basterà.
L’airbag
Immagina un’auto che va a 50 km/h e urta un muro. Il passeggero, di massa 70 kg, ha la cintura allacciata e davanti a lui si gonfia l’airbag. La cintura con l’airbag lo ferma in circa 0,1 s. Con quale forza agiscono su di lui?
Il verso positivo sarà quello di marcia. Il passeggero perde tutta la quantità di moto che aveva:
La variazione della quantità di moto è Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Il meno dice soltanto che la forza è diretta contro il verso di marcia. Il modulo della forza:
Quando dividiamo chilogrammo per metro al secondo per secondo, viene kg·m/s2, cioè newton. Sul passeggero agisce una forza di circa 9700 N. La sua forza peso è 70 kg · 9,81 m/s2 ≈ 690 N, quindi cintura e airbag lo frenano con una forza circa quattordici volte maggiore. È molto, ma si sopravvive.
Se non avesse né la cintura né l’airbag, sbatterebbe contro il volante e il cruscotto e si fermerebbe in circa 0,01 s. Perde la stessa quantità di moto, solo in un decimo del tempo:
Sono circa 97.000 N, dieci volte tanto e circa centoquaranta volte la forza peso. L’airbag non riduce la quantità di moto che il passeggero perde, quella è data dalla sua massa e dalla sua velocità. La sottrae solo più a lungo, e quindi con una forza minore. Lo stesso fa la zona di deformazione dell’auto, che nell’urto si accartoccia progressivamente e allunga il tempo di arresto.
Un atterraggio morbido
La ginnasta Sara, di massa 40 kg, salta giù dalla trave e atterra a 4 m/s. Subito prima di toccare terra ha una quantità di moto
Su un pavimento duro, anche con le ginocchia piegate, si ferma in circa 0,05 s, su un materassino che sotto di lei si incurva in circa 0,25 s. La forza risultante che la frena:
Sul materassino la forza è cinque volte minore, perché l’atterraggio dura cinque volte di più. Tutta la quantità di moto Sara la perde in entrambi i casi. Il materassino non cambia la quantità di moto che sparisce, la toglie solo più lentamente.
Il rettangolo rosso è l’atterraggio sul pavimento, quello blu sul materassino. L’altezza del rettangolo è la forza media, la larghezza la durata dell’atterraggio, quindi l’area del rettangolo è forza per tempo, cioè l’impulso. Il rettangolo rosso è cinque volte più alto e cinque volte più stretto di quello blu e hanno la stessa area di 160 N·s, perché entrambi gli atterraggi hanno tolto a Sara la stessa quantità di moto. La forza reale nell’atterraggio schizza in alto e poi cala di nuovo. L’impulso è allora l’area sotto la sua curva e la forza media è l’altezza del rettangolo con la stessa area.
Il pavimento e il materassino devono intanto spingere ancora di più, di circa 390 N, cioè della forza peso di Sara, perché la Terra la tira verso il basso anche durante l’atterraggio. La forza risultante è la differenza tra la forza con cui l’appoggio spinge verso l’alto e la forza peso.
Sfruttano lo stesso principio la sabbia nel salto in lungo, il materasso nel salto con l’asta e le ginocchia piegate quando salti giù da un muretto.
Perché quando afferri qualcosa le mani cedono
Quando afferri una palla lanciata con forza, le mani arretrano da sole verso il corpo. In questo modo la palla viene frenata più a lungo e con una forza minore, e i palmi non fanno male. Chi tiene le mani rigide ferma la palla in un attimo, con una forza grande, e la palla spesso rimbalza via. Lo sa meglio di tutti chi ha mai provato ad afferrare un uovo crudo.
I segni arancioni registrano dove si trovava la palla a intervalli di tempo uguali. In alto la palla si ferma quasi di colpo contro la mano rossa rigida. In basso la mano blu arretra con essa e la palla rallenta gradualmente, i segni si avvicinano. Il contorno grigio mostra da dove è partita la mano. In basso l’arresto dura molto di più, perciò la mano frena la palla con una forza molto minore.
Un pallone da pallamano di massa 0,4 kg vola a 15 m/s e ha una quantità di moto 6 kg·m/s. Le mani rigide lo fermano in circa 0,01 s con una forza di 600 N, quelle che cedono in 0,1 s con una forza di soli 60 N.
Rimbalzare è peggio che fermarsi
Lanci contro un muro una palla di plastilina di massa 0,06 kg a 20 m/s. Scegliamo il verso positivo verso il muro. La palla si attacca, quindi la sua quantità di moto passa da 1,2 kg·m/s a zero:
Prendiamo ora una pallina da tennis con la stessa massa e la stessa velocità. Nel caso ideale rimbalza e torna indietro con la stessa velocità di 20 m/s, cioè contro il verso positivo, e la sua quantità di moto è −1,2 kg·m/s:
La variazione della quantità di moto viene doppia. Il muro deve prima fermare la pallina da tennis e poi rimandarla indietro. Con un contatto della stessa durata il muro spinge dunque sulla pallina con una forza doppia rispetto a quella sulla plastilina. Sarebbe un errore dire che la quantità di moto non è cambiata, dato che la pallina va sempre alla stessa velocità. La velocità ha lo stesso modulo ma verso opposto, e la quantità di moto è un vettore. Per questo anche una palla che ti rimbalza via dalle mani rigide fa più male che se ti restasse nei palmi.
Ma dove è finita la quantità di moto che la pallina da tennis ha perso nel rimbalzo? E se invece del muro urtasse un altro corpo, che può mettersi in moto?
Come si calcola, perché il fucile nello sparo dà un calcio alla spalla del tiratore e a che velocità vanno dei vagoni agganciati lo mostra il prossimo articolo, la conservazione della quantità di moto.
