Liikemäärä ja impulssi

Varaston pihalla peruuttaa rekka nopeudella 10 km/h, suunnilleen kuntojuoksijan vauhtia. Ampumaradalla taas lähtee luoti nopeudella 800 m/s. Kumpi on vaikeampi pysäyttää? Luoti voittaa nopeudessa, rekka massassa. Fysiikassa tähän kamppailuun on suure, joka yhdistää massan ja nopeuden. Sitä sanotaan liikemääräksi, ja se on massan ja nopeuden tulo:

$$p=m\cdot v$$

Kansankielellä liikemäärä kertoo, kuinka paljon liikettä kappaleessa on. Yksikkö on kilogramma kertaa metri sekunnissa, kg·m/s. Omaa nimeä, kuten newtonilla, tämä yksikkö ei ole saanut.

Kappaleella, jonka massa on kaksi kertaa suurempi, on samalla nopeudella kaksi kertaa suurempi liikemäärä, ja kaksi kertaa nopeammalla kappaleella, jolla on sama massa, myös. Tämä vastaa kokemusta. Lääkepallon ottaa kiinni huonommin kuin yhtä nopeasti heitetyn jalkapallon, ja suoraan ilmasta potkaistun pallon huonommin kuin sellaisen, jonka joku vain ojentaa sinulle.

Rekka vai luoti?

Rekan massa on 40 t = 40 000 kg. Muutetaan nopeus metreiksi sekunnissa, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, ja sijoitetaan:

$$p=40000\mathrm{kg}\cdot 2,78\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Luodin massa on 10 g = 0,01 kg:

$$p=0,01\mathrm{kg}\cdot 800\mathrm{m}/\mathrm{s}=8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Hitaan rekan liikemäärä on lähes neljätoista tuhatta kertaa suurempi kuin nopean luodin. Luoti lentää kyllä noin kolmesataa kertaa nopeammin, mutta rekan massa on neljä miljoonaa kertaa suurempi. Luodin pysäyttää hiekkasäkki, rekka työntää sen syrjään. Miksi juuri liikemäärä ratkaisee, kuinka vaikea kappale on pysäyttää, nähdään kohta.

Nopeus on vektori, joten myös liikemäärä on vektori:

$$\overline{p}=m\cdot \overline{v}$$

Massa on positiivinen luku, joten liikemäärä osoittaa aina samaan suuntaan kuin nopeus. Kahdella samanlaisella rekalla, jotka ajavat yhtä nopeasti toisiaan kohti, on yhtä suuri mutta vastakkaissuuntainen liikemäärä. Suoralla valitaan positiivinen suunta, ja sitä vastaan osoittava liikemäärä saa miinusmerkin, aivan kuten nopeus.

Miten liikemäärää muutetaan

Kappaleen liikemäärä muuttuu vain, jos sen nopeus muuttuu, ja siihen tarvitaan voimaa. Lähdetään Newtonin toisesta laista F = m · a ja sijoitetaan kiihtyvyyden paikalle nopeuden muutos jaettuna ajalla, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Massa ei muutu, joten massa kertaa nopeuden muutos on liikemäärän muutos. Kappaleen nopeus oli alussa v₀ ja liikemäärä p₀ = m · v₀, lopussa nopeus v ja liikemäärä p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Sijoittamalla tämä dynamiikan peruslakiin saadaan Newtonin toinen laki liikemäärän avulla kirjoitettuna:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Voima on liikemäärän muutos aikayksikköä kohti, aivan kuten kiihtyvyys on nopeuden muutos aikayksikköä kohti. Vektoreilla $\overline{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overline{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, joten liikemäärä muuttuu resultantin suunnassa. Newton itse esitti lain liikemäärän avulla: liikkeen muutoksella hän tarkoitti liikemäärän muutosta.

Voiman impulssi

Kerrotaan kaava ajalla Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Voiman ja sen vaikutusajan tuloa sanotaan voiman impulssiksi, I = F · Δt. Yksikkö on newton kertaa sekunti, ja se on sama asia kuin liikemäärän yksikkö:

$$\mathrm{N}·\mathrm{s}={\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{s}=\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Voiman impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos. Siitä seuraa tärkeä asia: kun kappaleen on menetettävä tietty liikemäärä, vaikkapa pysähdyttävä, impulssi on annettu. Suuri voima selviää siitä lyhyessä ajassa, pieni voima pitkässä. Kaksi kertaa pitempi aika tarkoittaa puolta pienempää voimaa, kymmenen kertaa pitempi kymmenesosaa.

Nyt tiedetään, miksi hiekkasäkki pysäyttää luodin mutta ei rekkaa. Luoti pysähtyy hiekkaan noin tuhannesosasekunnissa, joten säkki jarruttaa sitä keskimääräisellä voimalla

$$F=\frac{8\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{\mathrm{0,001}\mathrm{s}}=8000\mathrm{N}.$$

Se ei ole vähän, mutta hiekka kestää sen. Jos sen pitäisi pysäyttää rekka yhtä suurella voimalla, sen täytyisi jarruttaa sitä

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111000\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{8000\mathrm{N}}\approx 14\mathrm{s}.$$

Luoti pysähtyy noin 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m:n matkalla (keskinopeus kertaa aika). Rekka kulkisi neljässätoista sekunnissa keskinopeudella 1,39 m/s lähes 20 m. Säkin pitäisi olla kaksikymmentä metriä pitkä, ja siksi rekka vain työntää sen syrjään ja ajaa eteenpäin.

Impulssi pätee myös toisin päin, kun kappale lähtee liikkeelle. Jalkapalloilija potkaisee paikallaan olevaa palloa, jonka massa on 0,45 kg, ja pallo lähtee nopeudella 30 m/s. Pallo sai liikemäärän 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Jalan kosketus kestää noin sadasosasekunnin, joten jalka vaikuttaa palloon keskimäärin voimalla

$$F=\frac{13,5\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=1350\mathrm{N}.$$

Joka haluaa potkaista kovempaa, sen täytyy vaikuttaa palloon joko suuremmalla voimalla tai pitempään. Siksi kuulantyöntäjä ei heitä kuulaa vain ranteella vaan työntää sitä koko käden pitkällä matkalla.

Törmäyksessä voima ei ole vakio, se nousee nopeasti ja laskee taas. Liikemäärän muutoksesta lasketaan sen keskiarvo, ja se riittää.

Turvatyyny

Kuvittele auto, joka ajaa nopeudella 50 km/h ja törmää seinään. Matkustajan massa on 70 kg, hän on kiinnitetty turvavyöllä ja hänen edessään täyttyy turvatyyny. Vyö ja turvatyyny pysäyttävät hänet suunnilleen ajassa 0,1 s. Kuinka suurella voimalla ne vaikuttavat häneen?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{kg}\\ v_0& =50\mathrm{km}/\mathrm{h}\approx 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ v& =0\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{s}\\ F& =?(\mathrm{N})\end{array}$$

Positiivinen suunta on ajosuunta. Matkustaja menettää koko liikemääränsä:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{kg}\cdot 13,9\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Liikemäärän muutos on Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Miinus kertoo vain, että voima osoittaa ajosuuntaa vastaan. Voiman suuruus:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,1\mathrm{s}}=9730\mathrm{N}$$

Kun kilogramma kertaa metri sekunnissa jaetaan sekunnilla, saadaan kg·m/s² eli newton. Matkustajaan vaikuttaa noin 9 700 N. Hänen painonsa on 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, joten vyö ja turvatyyny jarruttavat häntä noin neljätoista kertaa suuremmalla voimalla. Se on paljon, mutta sen kestää.

Jos hänellä ei olisi vyötä eikä turvatyynyä, hän osuisi rattiin ja kojelautaan ja pysähtyisi noin 0,01 s:ssa. Liikemäärää hän menettää saman verran, mutta kymmenesosassa ajasta:

$$F=\frac{973\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,01\mathrm{s}}=97300\mathrm{N}$$

Se on noin 97 000 N, kymmenen kertaa enemmän ja noin sata neljäkymmentä kertaa painon suuruinen. Turvatyyny ei pienennä liikemäärää, jonka matkustaja menettää, se määräytyy hänen massastaan ja nopeudestaan. Se vain ottaa sen pois pitempään ja siksi pienemmällä voimalla. Saman tekee auton muodonmuutosvyöhyke, joka painuu törmäyksessä vähitellen kasaan ja pidentää pysähtymisaikaa.

Pehmeä alastulo

Voimistelija Sofia, jonka massa on 40 kg, hyppää alas puomilta ja osuu maahan nopeudella 4 m/s. Juuri ennen alastuloa hänen liikemääränsä on

$$p=40\mathrm{kg}\cdot 4\mathrm{m}/\mathrm{s}=160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}.$$

Kovalla lattialla hän pysähtyy polvet koukussakin noin ajassa 0,05 s, alle painuvalla pehmeällä alustalla noin ajassa 0,25 s. Häntä jarruttava resultantti on:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,05\mathrm{s}}=3200\mathrm{N}\\ F& =\frac{160\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}}{0,25\mathrm{s}}=640\mathrm{N}\end{array}$$

Pehmeällä alustalla voima on viisi kertaa pienempi, koska alastulo kestää viisi kertaa kauemmin. Koko liikemäärän Sofia menettää kummassakin tapauksessa. Pehmeä alusta ei muuta sitä, kuinka paljon liikemäärää katoaa, se vain ottaa sen hitaammin.

Punainen suorakulmio on alastulo lattialle, sininen pehmeälle alustalle. Suorakulmion korkeus on keskimääräinen voima ja leveys alastulon kesto, joten suorakulmion ala on voima kertaa aika eli impulssi. Punainen suorakulmio on viisi kertaa korkeampi ja viisi kertaa kapeampi kuin sininen, ja molempien ala on 160 N·s, koska molemmat alastulot veivät Sofialta saman liikemäärän. Todellinen voima alastulossa kohoaa nopeasti ja laskee taas. Impulssi on silloin sen käyrän alle jäävän alueen ala ja keskimääräinen voima on samanalaisen suorakulmion korkeus.

Lattian ja pehmeän alustan täytyy lisäksi työntää Sofiaa noin 390 N eli hänen painonsa verran enemmän, koska Maa vetää häntä alaspäin myös alastulon aikana. Resultantti on alustan ylöspäin työntävän voiman ja painon erotus.

Samaa periaatetta käyttävät pituushypyn hiekka, seiväshypyn patja tai polvien koukistaminen, kun hyppäät muurilta alas.

Miksi kädet vetäytyvät kiinniottaessa

Kun otat kiinni kovaa heitettyä palloa, kädet peruuttavat pallon mukana itsestään kohti vartaloa. Näin palloa jarrutetaan pitemmän ajan ja pienemmällä voimalla, eivätkä kämmenet satu. Joka pitää kätensä jäykkinä, pysäyttää pallon hyvin lyhyessä ajassa suurella voimalla, ja pallo usein kimpoaa pois. Parhaiten tämän tietää jokainen, joka on joskus yrittänyt ottaa kiinni raakaa kananmunaa.

Oranssit merkit näyttävät, missä pallo oli yhtä pitkin ajoin. Ylhäällä pallo pysähtyy jäykkään punaiseen käteen lähes silmänräpäyksessä. Alhaalla sininen käsi peruuttaa pallon mukana ja pallo hidastuu vähitellen, merkit lähenevät toisiaan. Harmaa ääriviiva näyttää, mistä käsi lähti. Pysähtyminen alhaalla kestää paljon kauemmin, ja siksi käsi jarruttaa palloa paljon pienemmällä voimalla.

Käsipallon massa on 0,4 kg, se lentää nopeudella 15 m/s ja sen liikemäärä on 6 kg·m/s. Jäykät kädet pysäyttävät sen noin ajassa 0,01 s voimalla 600 N, rennot ajassa 0,1 s voimalla vain 60 N.

Kimpoaminen on pahempi kuin pysähtyminen

Heität muovailuvahapallon, jonka massa on 0,06 kg, nopeudella 20 m/s seinää kohti. Positiivinen suunta valitaan seinää kohti. Pallo tarttuu seinään, joten sen liikemäärä muuttuu arvosta 1,2 kg·m/s nollaksi:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Otetaan nyt tennispallo, jolla on sama massa ja nopeus. Ihannetapauksessa se kimpoaa ja lentää takaisin yhtä suurella nopeudella 20 m/s, siis positiivista suuntaa vastaan, ja sen liikemäärä on −1,2 kg·m/s:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s})-1,2\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ & =-2,4\mathrm{kg}·\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

Liikemäärän muutos on kaksinkertainen. Seinän täytyy ensin pysäyttää tennispallo ja sitten vielä lähettää se takaisin. Yhtä pitkällä kosketuksella seinä työntää tennispalloa kaksi kertaa suuremmalla voimalla kuin muovailuvahaa. Olisi virhe sanoa, ettei liikemäärä muuttunut, koska tennispallo lentää yhä yhtä nopeasti. Nopeuden suuruus on sama mutta suunta vastakkainen, ja liikemäärä on vektori. Siksi myös jäykistä käsistä kimpoava pallo sattuu enemmän kuin pallo, joka jäisi kämmeniin.

Mihin tennispallon kimmotessa menettämä liikemäärä kuitenkin katosi? Entä jos pallo ei törmääkään seinään vaan toiseen kappaleeseen, joka voi lähteä liikkeelle?

Miten tämä lasketaan, miksi kivääri potkaisee ampujaa olkapäähän laukaistaessa ja kuinka nopeasti yhteen kytketyt vaunut kulkevat, näyttää seuraava artikkeli, Liikemäärän säilymislaki.