Impuls und Kraftstoß
Über das Gelände eines Lagers setzt ein Lkw mit 10 km/h zurück, ungefähr im Tempo eines Freizeitläufers. Auf dem Schießstand fliegt dagegen eine Kugel mit 800 m/s los. Was lässt sich schlechter aufhalten? Die Kugel führt bei der Geschwindigkeit, der Lkw bei der Masse. Die Physik hat für dieses Duell eine Größe, die Masse und Geschwindigkeit verbindet. Sie heißt Impuls und ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit:
Anschaulich gesagt gibt der Impuls an, wie viel Bewegung in einem Körper steckt. Die Einheit ist Kilogramm mal Meter pro Sekunde, kg·m/s. Einen eigenen Namen wie das Newton hat diese Einheit nicht bekommen.
Ein Körper mit doppelter Masse hat bei gleicher Geschwindigkeit den doppelten Impuls, ein doppelt so schneller Körper mit gleicher Masse ebenso. Das entspricht der Erfahrung. Einen Medizinball fängt man schlechter als einen Fußball, der gleich schnell geworfen wurde, und einen volley geschossenen Ball schlechter als einen, den dir jemand einfach zuwirft.
Lkw oder Kugel?
Der Lkw hat eine Masse von 40 t = 40.000 kg. Die Geschwindigkeit rechnen wir in Meter pro Sekunde um, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, und setzen ein:
Die Kugel hat eine Masse von 10 g = 0,01 kg:
Der Impuls des langsamen Lkw ist fast vierzehntausendmal so groß wie der Impuls der schnellen Kugel. Die Kugel fliegt zwar ungefähr dreihundertmal so schnell, aber der Lkw hat eine vier Millionen Mal so große Masse. Die Kugel hält ein Sandsack auf, der Lkw schiebt ihn beiseite. Warum gerade der Impuls entscheidet, wie schwer sich ein Körper anhalten lässt, sehen wir gleich.
Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, also ist es auch der Impuls:
Die Masse ist eine positive Zahl, der Impuls zeigt also immer in dieselbe Richtung wie die Geschwindigkeit. Zwei gleiche Lkw, die gleich schnell aufeinander zufahren, haben gleich große Impulse, aber mit entgegengesetzter Richtung. Auf einer Geraden legen wir eine positive Richtung fest, und ein Impuls, der gegen sie zeigt, bekommt ein Minuszeichen, genau wie die Geschwindigkeit.
Wie man den Impuls ändert
Der Impuls eines Körpers ändert sich nur, wenn sich seine Geschwindigkeit ändert, und dazu braucht man eine Kraft. Wir gehen vom zweiten newtonschen Gesetz F = m · a aus und setzen für die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung pro Zeit ein,
Die Masse ändert sich nicht, Masse mal Geschwindigkeitsänderung ist also die Impulsänderung. Der Körper hatte am Anfang die Geschwindigkeit v0 und den Impuls p0 = m · v0, am Ende die Geschwindigkeit v und den Impuls p = m · v:
Setzen wir das in die Grundgleichung der Mechanik ein, erhalten wir das zweite newtonsche Gesetz in Impulsform:
Die Kraft ist die Impulsänderung pro Zeiteinheit, ähnlich wie die Beschleunigung die Geschwindigkeitsänderung pro Zeiteinheit ist. In Vektorschreibweise gilt
Kraftstoß
Wir multiplizieren die Formel mit der Zeitspanne Δt:
Das Produkt aus der Kraft und der Dauer ihrer Wirkung heißt Kraftstoß, I = F · Δt. Die Einheit ist Newton mal Sekunde, und das ist dasselbe wie die Einheit des Impulses:
Der Kraftstoß ist gleich der Impulsänderung. Daraus folgt etwas Wichtiges: Soll ein Körper einen bestimmten Impuls verlieren, zum Beispiel zum Stehen kommen, ist der Kraftstoß vorgegeben. Eine große Kraft schafft das in kurzer Zeit, eine kleine Kraft in langer. Doppelt so lange Zeit bedeutet halb so große Kraft, zehnmal so lange ein Zehntel.
Jetzt wissen wir, warum der Sandsack die Kugel anhält und den Lkw nicht. Die Kugel kommt im Sand in etwa einer Tausendstelsekunde zum Stehen, der Sack bremst sie also mit der durchschnittlichen Kraft
Wenig ist das nicht, aber der Sand hält es aus. Sollte er mit derselben Kraft den Lkw anhalten, müsste er ihn so lange bremsen:
Die Kugel wird auf einem Weg von etwa 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m abgebremst (durchschnittliche Geschwindigkeit mal Zeit). Der Lkw würde in vierzehn Sekunden mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit 1,39 m/s fast 20 m zurücklegen. Der Sack müsste zwanzig Meter lang sein, und so schiebt der Lkw ihn einfach beiseite und fährt weiter.
Der Kraftstoß gilt auch umgekehrt, wenn ein Körper in Bewegung gesetzt wird. Ein Fußballer tritt einen ruhenden Ball mit einer Masse von 0,45 kg, und der Ball fliegt mit 30 m/s davon. Der Ball hat den Impuls 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s gewonnen. Der Kontakt mit dem Fuß dauert etwa eine Hundertstelsekunde, der Fuß wirkt auf den Ball also mit der durchschnittlichen Kraft
Wer stärker schießen will, muss auf den Ball entweder mit einer größeren Kraft oder länger wirken. Deshalb stößt ein Kugelstoßer die Kugel nicht nur mit dem Handgelenk, sondern schiebt sie auf dem ganzen langen Weg des Arms.
Die Kraft beim Aufprall ist nicht konstant, sie steigt schnell an und fällt wieder ab. Aus der Impulsänderung berechnen wir ihren Durchschnitt, und der genügt uns.
Airbag
Stell dir ein Auto vor, das mit 50 km/h gegen eine Wand fährt. Der Fahrgast mit einer Masse von 70 kg ist angeschnallt, und vor ihm bläst sich der Airbag auf. Gurt und Airbag halten ihn in etwa 0,1 s an. Mit welcher Kraft wirken sie auf ihn?
Die positive Richtung sei die Fahrtrichtung. Der Fahrgast verliert den ganzen Impuls, den er hatte:
Die Impulsänderung ist Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Das Minus sagt nur, dass die Kraft gegen die Fahrtrichtung zeigt. Der Betrag der Kraft:
Teilen wir Kilogramm mal Meter pro Sekunde durch die Sekunde, erhalten wir kg·m/s2, also Newton. Auf den Fahrgast wirken etwa 9.700 N. Seine Gewichtskraft beträgt 70 kg · 9,81 m/s2 ≈ 690 N, Gurt und Airbag bremsen ihn also mit einer etwa vierzehnmal so großen Kraft. Das ist viel, aber man überlebt es.
Hätte er weder Gurt noch Airbag, prallte er gegen Lenkrad und Armaturenbrett und käme in etwa 0,01 s zum Stehen. Er verliert denselben Impuls, nur in einem Zehntel der Zeit:
Das sind etwa 97.000 N, zehnmal so viel und rund hundertvierzigmal so viel wie die Gewichtskraft. Der Airbag verkleinert nicht den Impuls, den der Fahrgast verliert, der ist durch seine Masse und Geschwindigkeit gegeben. Er nimmt ihn nur länger weg und deshalb mit einer kleineren Kraft. Dasselbe tut die Knautschzone des Autos, die sich beim Aufprall nach und nach zusammendrückt und die Anhaltezeit verlängert.
Weiche Landung
Die Turnerin Mia mit einer Masse von 40 kg springt vom Schwebebalken und landet mit 4 m/s. Kurz vor der Landung hat sie den Impuls
Auf hartem Boden kommt sie auch mit gebeugten Knien in etwa 0,05 s zum Stehen, auf einer Matte, die unter ihr nachgibt, in etwa 0,25 s. Die resultierende Kraft, die sie abbremst:
Auf der Matte ist die Kraft fünfmal kleiner, weil die Landung fünfmal länger dauert. Den ganzen Impuls verliert Mia in beiden Fällen. Die Matte ändert nicht, wie viel Impuls verschwindet, sie nimmt ihn nur langsamer weg.
Das rote Rechteck ist die Landung auf dem Boden, das blaue die Landung auf der Matte. Die Höhe des Rechtecks ist die durchschnittliche Kraft, die Breite die Dauer der Landung, der Flächeninhalt des Rechtecks ist also Kraft mal Zeit, das heißt der Kraftstoß. Das rote Rechteck ist fünfmal so hoch und fünfmal so schmal wie das blaue, und beide haben denselben Flächeninhalt 160 N·s, weil beide Landungen Mia denselben Impuls nahmen. Die wirkliche Kraft bei der Landung springt schnell hoch und fällt wieder ab. Der Kraftstoß ist dann der Flächeninhalt unter ihrer Kurve, und die durchschnittliche Kraft ist die Höhe des Rechtecks mit demselben Flächeninhalt.
Boden und Matte müssen dabei um Mias Gewichtskraft, etwa 390 N, stärker drücken, weil die Erde sie auch während der Landung nach unten zieht. Die resultierende Kraft ist die Differenz aus der Kraft, mit der die Unterlage nach oben drückt, und der Gewichtskraft.
Dasselbe Prinzip nutzen der Sand beim Weitsprung, die Matte beim Stabhochsprung oder das Beugen der Knie, wenn du von einer Mauer springst.
Warum die Hände beim Fangen nachgeben
Fängst du einen kräftig geworfenen Ball, weichen die Hände mit ihm von selbst zum Körper zurück. Der Ball wird so länger und mit kleinerer Kraft gebremst, und die Handflächen tun nicht weh. Wer die Hände steif hält, hält den Ball in kürzester Zeit mit großer Kraft an, und der Ball springt ihm oft weg. Am besten weiß das jeder, der schon einmal ein rohes Ei gefangen hat.
Die orangen Markierungen zeigen, wo der Ball nach jeweils gleich langen Zeitspannen war. Oben hält die steife rote Hand den Ball fast augenblicklich an. Unten weicht die blaue Hand mit ihm zurück, und der Ball wird nach und nach langsamer, die Markierungen rücken zusammen. Die graue Kontur zeigt, wo die Hand angefangen hat. Das Anhalten dauert unten viel länger, deshalb bremst die Hand den Ball mit einer viel kleineren Kraft.
Ein Handball mit einer Masse von 0,4 kg fliegt mit 15 m/s und hat den Impuls 6 kg·m/s. Steife Hände halten ihn in etwa 0,01 s mit der Kraft 600 N an, nachgebende in 0,1 s mit der Kraft von nur 60 N.
Abprallen ist schlimmer als Anhalten
Du wirfst eine Knetkugel mit einer Masse von 0,06 kg mit 20 m/s gegen eine Wand. Die positive Richtung wählen wir zur Wand hin. Die Kugel klebt fest, ihr Impuls ändert sich also von 1,2 kg·m/s auf null:
Nehmen wir jetzt einen Tennisball mit derselben Masse und Geschwindigkeit. Im Idealfall prallt er ab und fliegt mit derselben Geschwindigkeit 20 m/s zurück, also gegen die positive Richtung, und sein Impuls ist −1,2 kg·m/s:
Die Impulsänderung ist doppelt so groß. Die Wand muss den Tennisball erst anhalten und dann noch zurückschicken. Bei gleich langem Kontakt drückt die Wand deshalb mit einer doppelt so großen Kraft auf den Tennisball wie auf die Knetkugel. Es wäre falsch zu sagen, der Impuls habe sich nicht geändert, weil der Tennisball weiter gleich schnell fliegt. Die Geschwindigkeit hat denselben Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung, und der Impuls ist ein Vektor. Deshalb tut auch ein Ball, der dir von steifen Händen wegspringt, mehr weh, als wenn er in den Händen geblieben wäre.
Wohin ist aber der Impuls verschwunden, den der Tennisball beim Abprallen verloren hat? Und was ist, wenn er statt gegen eine Wand gegen einen anderen Körper prallt, der sich in Bewegung setzen kann?
Wie man damit rechnet, warum ein Gewehr beim Schuss den Schützen gegen die Schulter stößt und wie schnell zusammengekoppelte Waggons fahren, zeigt der nächste Artikel, Impulserhaltungssatz.
