Імпульс тіла та імпульс сили

Двором складу заднім ходом їде вантажівка зі швидкістю 10 км/год, приблизно у темпі бігуна-аматора. А в тирі вилітає куля зі швидкістю 800 м/с. Що важче зупинити? Куля перемагає швидкістю, вантажівка масою. Для такого змагання фізика має величину, яка поєднує масу та швидкість. Її називають імпульсом тіла, і це добуток маси на швидкість:

$$p=m\cdot v$$

Простими словами, імпульс показує, скільки руху в тілі. Одиниця — кілограм, помножений на метр за секунду, кг·м/с. Власної назви, як у ньютона, ця одиниця не отримала.

Тіло з удвічі більшою масою за тієї самої швидкості має вдвічі більший імпульс, так само як і тіло тієї самої маси, що рухається вдвічі швидше. Це відповідає досвіду. Набивний м'яч ловити важче, ніж футбольний, кинутий з такою самою швидкістю, а м'яч, пробитий з льоту, важче, ніж той, який тобі просто подали.

Вантажівка чи куля?

Вантажівка має масу 40 т = 40 000 кг. Швидкість переведемо в метри за секунду, 10 км/год ≈ 2,78 м/с, і підставимо:

$$p=40000\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 2,78\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 111000\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Куля має масу 10 г = 0,01 кг:

$$p=0,01\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 800\mathrm{м}/\mathrm{с}=8\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Імпульс повільної вантажівки майже у чотирнадцять тисяч разів більший за імпульс швидкої кулі. Куля летить приблизно у триста разів швидше, але вантажівка у чотири мільйони разів масивніша. Кулю зупинить мішок з піском, а вантажівка його відсуне. Чому саме імпульс вирішує, як важко тіло зупинити, побачимо за мить.

Швидкість — вектор, тож і імпульс тіла — вектор:

$$\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$$

Маса — додатне число, тому імпульс напрямлений завжди так само, як швидкість. Дві однакові вантажівки, що їдуть назустріч з однаковою швидкістю, мають імпульси однакового модуля, але протилежного напрямку. На прямій вибираємо додатний напрямок, і імпульс, напрямлений проти нього, отримує знак мінус, так само як швидкість.

Як змінити імпульс

Імпульс тіла змінюється, лише коли змінюється його швидкість, а для цього потрібна сила. Вийдемо з другого закону Ньютона F = m · a і замість прискорення підставимо зміну швидкості за час, $a=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$:

$$F=m\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}$$

Маса не змінюється, тож маса, помножена на зміну швидкості, є зміною імпульсу. Тіло мало на початку швидкість v₀ та імпульс p₀ = m · v₀, наприкінці швидкість v та імпульс p = m · v:

$$\begin{array}{rl}m\cdot \mathrm{\Delta }v& =m\cdot (v-v_0)=m\cdot v-m\cdot v_0\\ & =p-p_0=\mathrm{\Delta }p\end{array}$$

Підставивши в закон сили, отримаємо другий закон Ньютона, записаний через імпульс:

$$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}$$

Сила — це зміна імпульсу за одиницю часу, подібно до того, як прискорення — це зміна швидкості за одиницю часу. У векторах $\overrightarrow{F}=\frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}}{\mathrm{\Delta }t}$, тож імпульс змінюється в напрямку рівнодійної сили. Сам Ньютон сформулював закон саме через імпульс: зміною руху він називав зміну імпульсу.

Імпульс сили

Помножимо формулу на час Δt:

$$F\cdot \mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }p$$

Добуток сили та часу її дії називають імпульсом сили, I = F · Δt. Одиниця — ньютон, помножений на секунду, і це те саме, що одиниця імпульсу тіла:

$$\mathrm{Н}·\mathrm{с}={\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}^2\cdot \mathrm{с}=\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла. З цього випливає важлива річ: якщо тіло має втратити певний імпульс, наприклад, зупинитися, імпульс сили заданий. Велика сила впорається за короткий час, мала сила за довгий. Удвічі довший час означає вдвічі меншу силу, вдесятеро довший — десяту частину.

Тепер ми розуміємо, чому мішок з піском кулю зупинить, а вантажівку ні. Куля зупиняється в піску приблизно за тисячну частку секунди, тож мішок гальмує її середньою силою

$$F=\frac{8\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{\mathrm{0,001}\mathrm{с}}=8000\mathrm{Н}.$$

Це немало, але пісок витримає. Якби такою самою силою треба було зупинити вантажівку, довелося б гальмувати її

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{p}{F}=\frac{111000\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{8000\mathrm{Н}}\approx 14\mathrm{с}.$$

Куля гальмується на шляху приблизно 400 м/с · 0,001 с = 0,4 м (середня швидкість, помножена на час). Вантажівка за чотирнадцять секунд із середньою швидкістю 1,39 м/с проїхала б майже 20 м. Мішок мав би бути завдовжки двадцять метрів, тож вантажівка його просто відсуває й їде далі.

Імпульс сили працює й навпаки, коли тіло розганяється. Футболіст б'є по нерухомому м'ячу масою 0,45 кг, і м'яч відлітає зі швидкістю 30 м/с. М'яч дістав імпульс 0,45 кг · 30 м/с = 13,5 кг·м/с. Дотик ноги триває приблизно соту частку секунди, тож нога діє на м'яч середньою силою

$$F=\frac{13,5\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{0,01\mathrm{с}}=1350\mathrm{Н}.$$

Хто хоче вдарити сильніше, мусить діяти на м'яч або більшою силою, або довше. Тому штовхальник ядра не кидає ядро самим зап'ястям, а штовхає його на всій довгій відстані, яку проходить рука.

Сила під час удару не є сталою, вона швидко зростає й знову спадає. Зі зміни імпульсу ми обчислюємо її середнє значення, і нам цього досить.

Подушка безпеки

Уяви авто, що їде зі швидкістю 50 км/год і врізається в стіну. Пасажир масою 70 кг пристебнутий, а перед ним роздувається подушка безпеки. Ремінь із подушкою зупиняє його приблизно за 0,1 с. З якою силою вони на нього діють?

$$\begin{array}{rl}m& =70\mathrm{к}\mathrm{г}\\ v_0& =50\mathrm{к}\mathrm{м}/\mathrm{г}\mathrm{о}\mathrm{д}\approx 13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ v& =0\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ \mathrm{\Delta }t& =0,1\mathrm{с}\\ F& =?(\mathrm{Н})\end{array}$$

Додатний напрямок — напрямок руху. Пасажир втрачає весь імпульс, який мав:

$$p_0=m\cdot v_0=70\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 13,9\mathrm{м}/\mathrm{с}\approx 973\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}$$

Зміна імпульсу Δp = 0 кг·м/с − 973 кг·м/с = −973 кг·м/с. Мінус лише означає, що сила напрямлена проти руху авто. Модуль сили:

$$F=\frac{|\mathrm{\Delta }p|}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{973\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{0,1\mathrm{с}}=9730\mathrm{Н}$$

Якщо кілограм, помножений на метр за секунду, поділити на секунду, вийде кг·м/с², тобто ньютон. На пасажира діє близько 9 700 Н. Його сила тяжіння становить 70 кг · 9,81 м/с² ≈ 690 Н, тож ремінь і подушка гальмують його силою приблизно у чотирнадцять разів більшою. Багато, але це можна пережити.

Якби в нього не було ні ременя, ні подушки, він ударився б у кермо й панель приладів і зупинився б приблизно за 0,01 с. Імпульс він втратить той самий, лише за десяту частину часу:

$$F=\frac{973\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{0,01\mathrm{с}}=97300\mathrm{Н}$$

Це близько 97 000 Н, удесятеро більше й приблизно у сто сорок разів більше за силу тяжіння. Подушка безпеки не зменшує імпульсу, якого пасажир позбувається, він визначений його масою та швидкістю. Вона лише забирає його довше, а отже, меншою силою. Те саме робить і зона деформації авто, яка під час удару поступово мнеться й подовжує час зупинки.

М'яке приземлення

Гімнастка Богдана масою 40 кг зіскакує з колоди й приземляється зі швидкістю 4 м/с. Безпосередньо перед приземленням її імпульс

$$p=40\mathrm{к}\mathrm{г}\cdot 4\mathrm{м}/\mathrm{с}=160\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}.$$

На твердій підлозі вона зупиняється навіть зі зігнутими колінами приблизно за 0,05 с, на гімнастичному маті, який під нею прогинається, приблизно за 0,25 с. Рівнодійна сила, що її гальмує:

$$\begin{array}{rl}F& =\frac{160\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{0,05\mathrm{с}}=3200\mathrm{Н}\\ F& =\frac{160\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}}{0,25\mathrm{с}}=640\mathrm{Н}\end{array}$$

На маті сила в п'ять разів менша, бо приземлення триває у п'ять разів довше. Увесь свій імпульс Богдана втрачає в обох випадках. Мат не змінює, скільки імпульсу зникає, лише забирає його повільніше.

Червоний прямокутник — приземлення на підлогу, синій — на мат. Висота прямокутника — це середня сила, ширина — час приземлення, тож площа прямокутника дорівнює силі, помноженій на час, тобто імпульсу сили. Червоний прямокутник у п'ять разів вищий і в п'ять разів вужчий за синій, а площа в обох однакова, 160 Н·с, бо обидва приземлення забрали в Богдани однаковий імпульс. Справжня сила під час приземлення швидко підскакує й знову спадає. Імпульс сили тоді — це площа під її кривою, а середня сила — висота прямокутника з такою самою площею.

І підлога, і мат при цьому мають тиснути на Богдану сильніше ще на її силу тяжіння, тобто приблизно на 390 Н, бо Земля тягне її вниз і під час приземлення. Рівнодійна сила є різницею сили, якою опора тисне вгору, і сили тяжіння.

Той самий принцип використовують пісок у стрибках у довжину, мати в стрибках із жердиною чи згинання колін, коли зістрибуєш з мурка.

Чому під час ловіння руки відтягують назад

Коли ловимо м'яч, який хтось сильно кинув, руки самі відходять разом із ним до тіла. М'яч так гальмує довше й меншою силою, і долоням не боляче. Хто тримає руки напружено, зупиняє м'яч за дуже короткий час, великою силою, і м'яч часто відскакує. Найкраще це знає той, хто колись ловив сире яйце.

Помаранчеві позначки показують, де був м'яч через однакові проміжки часу. Угорі м'яч об напружену червону руку зупиняється майже миттєво. Унизу синя рука відходить разом із ним, і м'яч сповільнюється поступово, позначки зближуються. Сірий контур показує, звідки рука починала. Зупинка внизу триває набагато довше, тому рука гальмує м'яч набагато меншою силою.

Гандбольний м'яч масою 0,4 кг летить зі швидкістю 15 м/с і має імпульс 6 кг·м/с. Напружені руки зупинять його приблизно за 0,01 с із силою 600 Н, розслаблені за 0,1 с із силою лише 60 Н.

Відскок гірший за зупинку

Уяви, що ти жбурляєш у стіну кулю з пластиліну масою 0,06 кг зі швидкістю 20 м/с. Додатний напрямок виберемо до стіни. Куля прилипає, тож її імпульс змінюється з 1,2 кг·м/с на нуль:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0=0\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}-1,2\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ & =-1,2\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}\end{array}$$

Тепер візьмімо тенісний м'яч із такою самою масою й швидкістю. В ідеальному випадку він відскакує і летить назад з тією самою швидкістю 20 м/с, тобто проти додатного напрямку, а його імпульс дорівнює −1,2 кг·м/с:

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =p-p_0\\ & =(-1,2\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с})-1,2\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}\\ & =-2,4\mathrm{к}\mathrm{г}·\mathrm{м}/\mathrm{с}\end{array}$$

Зміна імпульсу виходить удвічі більша. Стіна мусить тенісний м'яч спершу зупинити, а потім ще й послати назад. За однаково тривалого дотику стіна тисне на тенісний м'яч удвічі більшою силою, ніж на пластилін. Було б помилкою казати, що імпульс не змінився, бо тенісний м'яч летить так само швидко. Швидкість має той самий модуль, але протилежний напрямок, а імпульс — вектор. Тому й м'яч, що відскакує від напружених рук, б'є болючіше, ніж якби залишився в долонях.

Але куди поділася та частина імпульсу, яку тенісний м'яч утратив під час відскоку? А що, коли замість стіни він вдариться в інше тіло, яке може зрушити з місця?

Як це рахувати, чому гвинтівка під час пострілу б'є стрільця в плече та як швидко їдуть зчеплені вагони, показує наступна стаття, Закон збереження імпульсу.