Impuls en stoot

Over het terrein van een magazijn rijdt een vrachtwagen achteruit met 10 km/h, ongeveer het tempo van een recreatieve hardloper. Op een schietbaan vliegt een kogel weg met 800 m/s. Welke van de twee is moeilijker te stoppen? De kogel wint op snelheid, de vrachtwagen op massa. De natuurkunde heeft voor dit duel een grootheid die massa en snelheid samenbrengt. Ze heet impuls en is het product van massa en snelheid:

$p = m \cdot v$

Eenvoudig gezegd geeft de impuls aan hoeveel beweging er in een voorwerp zit. De eenheid is kilogram keer meter per seconde, kg·m/s. Een eigen naam, zoals de newton, heeft deze eenheid niet gekregen.

Een voorwerp met een twee keer zo grote massa heeft bij dezelfde snelheid een twee keer zo grote impuls, een twee keer zo snel voorwerp met dezelfde massa ook. Het komt overeen met de ervaring. Een medicijnbal vang je moeilijker dan een voetbal die even snel is gegooid, en een bal die met een volley is geschopt weer moeilijker dan een bal die iemand je gewoon aangeeft.

Vrachtwagen of kogel?

De vrachtwagen heeft een massa van 40 t = 40 000 kg. De snelheid rekenen we om naar meter per seconde, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, en we vullen in:

$p = 40 000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111 000 kg \cdot m / s$

De kogel heeft een massa van 10 g = 0,01 kg:

$p = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

De impuls van de trage vrachtwagen is bijna veertienduizend keer zo groot als de impuls van de snelle kogel. De kogel vliegt weliswaar ongeveer driehonderd keer zo snel, maar de vrachtwagen heeft vier miljoen keer zoveel massa. De kogel wordt gestopt door een zak zand, de vrachtwagen duwt hem opzij. Waarom juist de impuls bepaalt hoe moeilijk een voorwerp te stoppen is, zien we zo meteen.

Snelheid is een vector en dus is ook de impuls een vector:

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$

De massa is een positief getal, dus de impuls wijst altijd in dezelfde richting als de snelheid. Twee gelijke vrachtwagens die even snel naar elkaar toe rijden, hebben een even grote impuls, maar met tegengestelde richting. Op een rechte lijn bepalen we een positieve richting en een impuls die ertegen in wijst, krijgt een minteken, net als de snelheid.

Hoe verander je de impuls

De impuls van een voorwerp verandert alleen als zijn snelheid verandert, en daarvoor is een kracht nodig. We gaan uit van de tweede wet van Newton F = m · a en voor de versnelling vullen we de verandering van de snelheid per tijd in, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

De massa verandert niet, dus massa keer verandering van snelheid is de verandering van impuls. Het voorwerp had aan het begin snelheid v₀ en impuls p₀ = m · v₀, aan het eind snelheid v en impuls p = m · v:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = p - p_{0} = Δ p \end{aligned}$

Na invullen in de tweede wet krijgen we de tweede wet van Newton opgeschreven met impuls:

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

Kracht is de verandering van impuls per tijdseenheid, net zoals versnelling de verandering van snelheid per tijdseenheid is. In vectoren $\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$ , dus de impuls verandert in de richting van de resulterende kracht. Newton zelf formuleerde de wet met impuls: met verandering van beweging bedoelde hij verandering van impuls.

Stoot

We vermenigvuldigen de formule met de tijd Δt:

$F \cdot Δ t = Δ p$

Het product van kracht en de tijd waarin ze werkt, heet stoot, J = F · Δt. De eenheid is newton keer seconde en dat is hetzelfde als de eenheid van impuls:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

De stoot is gelijk aan de verandering van impuls. Daaruit volgt iets belangrijks: als een voorwerp een bepaalde impuls moet verliezen, bijvoorbeeld tot stilstand komen, ligt de stoot vast. Een grote kracht doet dat in korte tijd, een kleine kracht in lange tijd. Een twee keer zo lange tijd betekent een halve kracht, een tien keer zo lange een tiende.

Nu begrijpen we waarom een zak zand de kogel wel stopt en de vrachtwagen niet. De kogel komt in het zand in ongeveer een duizendste seconde tot stilstand, dus de zak remt hem met een gemiddelde kracht van

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8000 N .$

Weinig is dat niet, maar het zand houdt het uit. Als het met dezelfde kracht de vrachtwagen moest stoppen, zou het hem de volgende tijd moeten afremmen:

$Δ t = \frac{p}{F} = \frac{111 000 kg \cdot m / s}{8000 N} \approx 14 s .$

De kogel wordt afgeremd over een afstand van ongeveer 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (gemiddelde snelheid keer tijd). De vrachtwagen zou in veertien seconden met een gemiddelde snelheid van 1,39 m/s bijna 20 m afleggen. De zak zou twintig meter lang moeten zijn, en daarom duwt de vrachtwagen hem gewoon opzij en rijdt door.

De stoot geldt ook omgekeerd, als een voorwerp in beweging komt. Een voetballer trapt tegen een stilliggende bal met een massa van 0,45 kg en de bal vliegt weg met 30 m/s. De bal heeft een impuls gekregen van 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. Het contact van de voet duurt ongeveer een honderdste seconde, dus de voet werkt met de volgende gemiddelde kracht op de bal:

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1350 N .$

Wie harder wil schoppen, moet met een grotere kracht of langer op de bal werken. Daarom gooit een kogelstoter de kogel niet alleen met zijn pols, maar duwt hem over de hele lange baan van zijn arm.

De kracht bij een botsing is niet constant, ze neemt snel toe en daalt weer. Uit de verandering van impuls berekenen we haar gemiddelde, en dat is voor ons genoeg.

Airbag

Stel je een auto voor die met 50 km/h rijdt en tegen een muur botst. De passagier met een massa van 70 kg is vastgegespt en voor hem gaat een airbag open. De gordel met de airbag stopt hem in ongeveer 0,1 s. Met welke kracht werken ze op hem?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

De positieve richting is de rijrichting. De passagier verliest de hele impuls die hij had:

$p_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

De verandering van impuls is Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. Het minteken zegt alleen dat de kracht tegen de rijrichting in wijst. De grootte van de kracht:

$F = \frac{| Δ p |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9730 N$

Als we kilogram keer meter per seconde delen door een seconde, komt kg·m/s² uit, dus newton. Op de passagier werkt ongeveer 9700 N. Zijn zwaartekracht is 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, dus de gordel en de airbag remmen hem met een kracht die ongeveer veertien keer zo groot is. Veel, maar het is te overleven.

Als hij geen gordel of airbag had, zou hij tegen het stuur en het dashboard botsen en in ongeveer 0,01 s tot stilstand komen. Hij verliest dezelfde impuls, alleen in een tiende van de tijd:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97 300 N$

Dat is ongeveer 97 000 N, tien keer zoveel en ongeveer honderdveertig keer zoveel als de zwaartekracht. Een airbag verkleint de impuls die de passagier verliest niet, die ligt vast door zijn massa en snelheid. Hij neemt die impuls alleen over een langere tijd weg, en dus met een kleinere kracht. Hetzelfde doet de kreukelzone van de auto, die bij een botsing geleidelijk indeukt en de tijd tot stilstand verlengt.

Zacht landen

Turnster Saar met een massa van 40 kg springt van de evenwichtsbalk en landt met een snelheid van 4 m/s. Vlak voor de landing heeft ze een impuls

$p = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

Op een harde vloer komt ze, ook met gebogen knieën, in ongeveer 0,05 s tot stilstand, op een valmat die onder haar doorbuigt in ongeveer 0,25 s. De resulterende kracht die haar afremt:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

Op de valmat is de kracht vijf keer zo klein, omdat de landing vijf keer langer duurt. De hele impuls verliest Saar in beide gevallen. De valmat verandert niet hoeveel impuls er verdwijnt, ze neemt hem alleen langzamer weg.

Resulterende kracht F in de tijd t bij het landen op een harde vloer en op een valmat

De rode rechthoek is de landing op de vloer, de blauwe die op de valmat. De hoogte van de rechthoek is de gemiddelde kracht, de breedte de tijd van de landing, dus de oppervlakte van de rechthoek is kracht keer tijd, oftewel de stoot. De rode rechthoek is vijf keer zo hoog en vijf keer zo smal als de blauwe en beide hebben dezelfde oppervlakte 160 N·s, omdat beide landingen Saar dezelfde impuls hebben afgenomen. De werkelijke kracht bij de landing schiet snel omhoog en daalt weer. De stoot is dan de oppervlakte onder haar kromme en de gemiddelde kracht is de hoogte van een rechthoek met dezelfde oppervlakte.

De vloer en de valmat moeten daarbij nog eens Saars zwaartekracht, ongeveer 390 N, harder duwen, omdat de aarde haar ook tijdens de landing omlaag trekt. De resulterende kracht is het verschil van de kracht waarmee de ondergrond omhoog duwt en de zwaartekracht.

Hetzelfde principe gebruiken het zand bij verspringen, de matras bij polsstokhoogspringen of het buigen van de knieën als je van een muurtje springt.

Waarom je armen bij het vangen meegeven

Bij het vangen van een hard gegooide bal gaan de handen er zelf mee naar het lichaam terug. De bal wordt zo langer en met een kleinere kracht afgeremd en de handpalmen doen geen pijn. Wie de armen stijf houdt, stopt de bal in een korte tijd, met een grote kracht, en de bal springt vaak weg. Het beste weet dat iedereen die ooit een rauw ei heeft gevangen.

Een bal gevangen met een stijve hand (boven) en met een losse hand die met hem meegaat (onder)

De oranje markeringen laten zien waar de bal was na even lange tijden. Boven komt de bal tegen de stijve rode hand bijna meteen tot stilstand. Onder gaat de blauwe hand met hem mee en vertraagt de bal geleidelijk, de markeringen komen dichter bij elkaar. De grijze omtrek laat zien waar de hand begon. Het stoppen onder duurt veel langer, en daarom remt de hand de bal met een veel kleinere kracht.

Een handbal met een massa van 0,4 kg vliegt met 15 m/s en heeft een impuls van 6 kg·m/s. Stijve handen stoppen hem in ongeveer 0,01 s met een kracht van 600 N, losse in 0,1 s met een kracht van maar 60 N.

Terugkaatsen is erger dan stoppen

Je gooit een bal klei met een massa van 0,06 kg met een snelheid van 20 m/s tegen een muur. De positieve richting kiezen we naar de muur toe. De bal blijft plakken, dus zijn impuls verandert van 1,2 kg·m/s naar nul:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Neem nu een tennisbal met dezelfde massa en snelheid. In het ideale geval kaatst hij terug en vliegt met dezelfde snelheid van 20 m/s terug, dus tegen de positieve richting in, en zijn impuls is −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

De verandering van impuls komt dubbel zo groot uit. De muur moet de tennisbal eerst stoppen en hem dan ook nog terugsturen. Bij even lang contact duwt de muur daarom met een twee keer zo grote kracht tegen de tennisbal als tegen de klei. Het zou een fout zijn te zeggen dat de impuls niet is veranderd, omdat de tennisbal nog even snel vliegt. De snelheid heeft dezelfde grootte, maar de tegengestelde richting, en impuls is een vector. Daarom doet een bal die van je stijve handen wegspringt ook meer pijn dan als hij in je handpalmen was blijven liggen.

Maar waar is de impuls gebleven die de tennisbal bij het terugkaatsen verloor? En wat als hij in plaats van tegen een muur tegen een ander voorwerp botst dat in beweging kan komen?

Hoe je dat uitrekent, waarom een geweer bij het afvuren terugstoot in de schouder van de schutter en hoe snel gekoppelde wagons rijden, laat het volgende artikel zien, Wet van behoud van impuls.

« Vorige: Zwaartekracht en gewicht

Volgende: Wet van behoud van impuls »