Momento lineal e impulso mecánico

Por el patio de un almacén da marcha atrás un camión a 10 km/h, más o menos el ritmo de quien sale a correr por afición. En un campo de tiro, por su parte, sale una bala a 800 m/s. ¿Cuál de las dos cosas cuesta más detener? La bala gana en velocidad, el camión en masa. La física tiene para este duelo una magnitud que une la masa y la velocidad. Se llama momento lineal (también cantidad de movimiento) y es el producto de la masa por la velocidad:

$p = m \cdot v$

Dicho de forma coloquial, el momento lineal expresa cuánto movimiento hay en un cuerpo. La unidad es el kilogramo por metro por segundo, kg·m/s. Esta unidad no ha recibido un nombre propio como el newton.

Un cuerpo con el doble de masa tiene, a la misma velocidad, el doble de momento lineal, y un cuerpo el doble de rápido con la misma masa, también. Esto concuerda con la experiencia. Un balón medicinal cuesta más de parar que un balón de fútbol lanzado igual de rápido, y un balón que te llega de volea cuesta más que uno que alguien te pasa sin fuerza.

¿Camión o bala?

El camión tiene una masa de 40 t = 40.000 kg. Pasamos la velocidad a metros por segundo, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, y sustituimos:

$p = 40.000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111.000 kg \cdot m / s$

La bala tiene una masa de 10 g = 0,01 kg:

$p = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

El momento lineal del lento camión es casi catorce mil veces mayor que el de la rápida bala. La bala va unas trescientas veces más rápido, pero el camión tiene cuatro millones de veces más masa. A la bala la detiene un saco de arena; el camión, en cambio, aparta el saco sin más. Por qué es justamente el momento lineal lo que decide lo difícil que es detener un cuerpo lo veremos enseguida.

La velocidad es un vector, y por eso también lo es el momento lineal:

$\vec{p} = m \cdot \vec{v}$

La masa es un número positivo, así que el momento lineal tiene siempre la misma dirección y sentido que la velocidad. Dos camiones iguales que van el uno hacia el otro a la misma velocidad tienen momentos lineales del mismo módulo y de sentidos contrarios. Sobre una recta elegimos un sentido positivo, y el momento lineal que apunta en contra de él lleva signo menos, igual que la velocidad.

Cómo cambiar el momento lineal

El momento lineal de un cuerpo cambia solo cuando cambia su velocidad, y para eso hace falta una fuerza. Partimos de la segunda ley de Newton F = m · a y sustituimos la aceleración por el cambio de velocidad en el tiempo, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

La masa no cambia, así que la masa por el cambio de velocidad es el cambio del momento lineal. Al principio el cuerpo tenía velocidad v₀ y momento lineal p₀ = m · v₀; al final, velocidad v y momento lineal p = m · v:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = p - p_{0} = Δ p \end{aligned}$

Al sustituir en la ley fundamental obtenemos la segunda ley de Newton escrita con el momento lineal:

$F = \frac{Δ p}{Δ t}$

La fuerza es el cambio del momento lineal por unidad de tiempo, del mismo modo que la aceleración es el cambio de la velocidad por unidad de tiempo. En vectores, $\vec{F} = \frac{Δ \vec{p}}{Δ t}$ , de modo que el momento lineal cambia en la dirección y el sentido de la fuerza resultante. El propio Newton enunció la ley con la cantidad de movimiento: por cambio de movimiento entendía el cambio del momento lineal.

Impulso mecánico

Multiplicamos la fórmula por el intervalo de tiempo Δt:

$F \cdot Δ t = Δ p$

Al producto de la fuerza por el tiempo que actúa se le llama impulso mecánico, I = F · Δt. La unidad es el newton por segundo, y es lo mismo que la unidad del momento lineal:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

El impulso mecánico es igual al cambio del momento lineal. De ahí se deduce algo importante: cuando un cuerpo debe perder cierto momento lineal, por ejemplo para detenerse, el impulso está dado. Una fuerza grande lo consigue en poco tiempo, una fuerza pequeña en mucho tiempo. Un tiempo dos veces más largo significa una fuerza la mitad de grande; diez veces más largo, una décima parte.

Ya sabemos por qué el saco de arena detiene la bala y no el camión. La bala se detiene en la arena en aproximadamente una milésima de segundo, así que el saco la frena con una fuerza media de

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8000 N .$

No es poco, pero la arena lo aguanta. Si con una fuerza igual de grande tuviera que detener al camión, tendría que frenarlo durante

$Δ t = \frac{p}{F} = \frac{111.000 kg \cdot m / s}{8000 N} \approx 14 s .$

La bala frena a lo largo de unos 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (velocidad media por tiempo). El camión, en catorce segundos a una velocidad media de 1,39 m/s, recorrería casi 20 m. El saco tendría que medir veinte metros, y por eso el camión simplemente lo aparta y sigue.

El impulso mecánico vale también a la inversa, cuando un cuerpo se pone en marcha. Un futbolista golpea un balón parado de masa 0,45 kg y el balón sale a 30 m/s. El balón ha adquirido un momento lineal de 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. El contacto del pie dura más o menos una centésima de segundo, así que el pie actúa sobre el balón con una fuerza media de

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1350 N .$

Quien quiere chutar más fuerte tiene que actuar sobre el balón con una fuerza mayor o durante más tiempo. Por eso el lanzador de peso no lanza la bola solo con la muñeca, sino que la empuja a lo largo de todo el recorrido del brazo.

La fuerza en un impacto no es constante: crece rápidamente y vuelve a caer. A partir del cambio del momento lineal calculamos su valor medio, y con eso nos basta.

Airbag

Imagina un coche que va a 50 km/h y choca contra un muro. El ocupante, de masa 70 kg, lleva el cinturón y delante de él se infla el airbag. El cinturón con el airbag lo detiene más o menos en 0,1 s. ¿Con qué fuerza actúan sobre él?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

El sentido positivo será el de la marcha. El ocupante pierde todo el momento lineal que tenía:

$p_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

El cambio del momento lineal es Δp = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. El menos solo dice que la fuerza apunta en contra del sentido de la marcha. El módulo de la fuerza:

$F = \frac{| Δ p |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9730 N$

Si dividimos un kilogramo por metro por segundo entre un segundo, sale kg·m/s², es decir, newton. Sobre el ocupante actúan unos 9700 N. Su peso es 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, así que el cinturón y el airbag lo frenan con una fuerza unas catorce veces mayor. Es mucho, pero se sobrevive.

Si no tuviera ni cinturón ni airbag, chocaría contra el volante y el salpicadero y se detendría en unos 0,01 s. Pierde el mismo momento lineal, solo que en una décima parte del tiempo:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97.300 N$

Son unos 97.000 N, diez veces más y unas ciento cuarenta veces más que su peso. El airbag no reduce el momento lineal que pierde el ocupante, que viene determinado por su masa y su velocidad. Solo se lo quita durante más tiempo y, por eso, con una fuerza menor. Lo mismo hace la zona de deformación del coche, que en el choque se va aplastando poco a poco y alarga el tiempo de frenado.

Una caída blanda

La gimnasta Bárbara, de masa 40 kg, salta de la barra de equilibrio y cae a 4 m/s. Justo antes de tocar el suelo tiene un momento lineal de

$p = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

Sobre el suelo duro, incluso con las rodillas flexionadas, se detiene en unos 0,05 s; sobre una colchoneta, que se hunde bajo ella, en unos 0,25 s. La fuerza resultante que la frena:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

Sobre la colchoneta la fuerza es cinco veces menor, porque la caída dura cinco veces más. Bárbara pierde todo el momento lineal en los dos casos. La colchoneta no cambia cuánto momento lineal desaparece, solo se lo quita más despacio.

Fuerza resultante F en el tiempo t al caer sobre suelo duro y sobre una colchoneta

El rectángulo rojo es la caída sobre el suelo y el azul, sobre la colchoneta. La altura del rectángulo es la fuerza media y la anchura, la duración de la caída, de modo que el área del rectángulo es fuerza por tiempo, es decir, el impulso mecánico. El rectángulo rojo es cinco veces más alto y cinco veces más estrecho que el azul, y los dos tienen la misma área, 160 N·s, porque las dos caídas le quitaron a Bárbara el mismo momento lineal. La fuerza real en la caída sube rápidamente y vuelve a bajar. El impulso es entonces el área bajo su curva y la fuerza media es la altura del rectángulo con la misma área.

Además, el suelo y la colchoneta tienen que empujar con una fuerza todavía mayor, más el peso de Bárbara, que son unos 390 N, porque la Tierra tira de ella hacia abajo también durante la caída. La fuerza resultante es la diferencia entre la fuerza con que el apoyo empuja hacia arriba y el peso.

El mismo principio aprovechan la arena en el salto de longitud, el colchón en el salto con pértiga o el flexionar las rodillas cuando saltas desde un muro.

Por qué las manos se echan hacia atrás al atrapar

Al atrapar una pelota lanzada con fuerza, las manos retroceden solas hacia el cuerpo junto con ella. Así la pelota frena durante más tiempo y con menos fuerza, y las palmas no duelen. Quien pone las manos rígidas detiene la pelota en un instante, con mucha fuerza, y a menudo la pelota le rebota. Lo sabe mejor que nadie quien alguna vez ha intentado atrapar un huevo crudo.

Una pelota atrapada con la mano rígida (arriba) y con la mano relajada, que retrocede con ella (abajo)

Las marcas naranjas señalan dónde estaba la pelota después de intervalos de tiempo iguales. Arriba, la pelota se detiene casi al instante contra la mano roja rígida. Abajo, la mano azul retrocede con ella y la pelota frena poco a poco; las marcas se acercan entre sí. El contorno gris muestra de dónde partió la mano. La parada de abajo dura mucho más y, por eso, la mano frena la pelota con una fuerza mucho menor.

Un balón de balonmano de masa 0,4 kg vuela a 15 m/s y tiene un momento lineal de 6 kg·m/s. Las manos rígidas lo detienen en unos 0,01 s con una fuerza de 600 N; las relajadas, en 0,1 s con una fuerza de solo 60 N.

Rebotar es peor que detenerse

Lanzas contra una pared una bola de plastilina de masa 0,06 kg a 20 m/s. Elegimos el sentido positivo hacia la pared. La bola se pega, así que su momento lineal pasa de 1,2 kg·m/s a cero:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Tomemos ahora una pelota de tenis con la misma masa y la misma velocidad. En el caso ideal rebota y vuelve con la misma velocidad de 20 m/s, es decir, en contra del sentido positivo, y su momento lineal es −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ p & = p - p_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

El cambio del momento lineal sale el doble de grande. La pared tiene que detener primero la pelota de tenis y después lanzarla de vuelta. Con un contacto de la misma duración, la pared empuja la pelota de tenis con una fuerza dos veces mayor que la bola de plastilina. Sería un error decir que el momento lineal no ha cambiado porque la pelota de tenis sigue yendo igual de rápido. La velocidad tiene el mismo módulo, pero sentido contrario, y el momento lineal es un vector. Por eso también duele más una pelota que te rebota de las manos rígidas que una que se te queda en las palmas.

Pero ¿adónde ha ido el momento lineal que la pelota de tenis perdió en el rebote? ¿Y qué pasa si en lugar de chocar contra una pared choca contra otro cuerpo que puede ponerse en marcha?

Cómo se calcula esto, por qué un rifle da una coz en el hombro al disparar y a qué velocidad van unos vagones enganchados lo muestra el siguiente artículo, Conservación del momento lineal.

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