Lendület és erőlökés

A raktár udvarán egy kamion tolat 10 km/h sebességgel, nagyjából egy kocogó tempójával. A lőtéren közben egy golyó repül ki 800 m/s sebességgel. Melyiket nehezebb megállítani? A golyó a sebességben nyer, a kamion a tömegben. A fizikának van egy mennyisége, amely a tömeget és a sebességet összekapcsolja. Lendületnek hívjuk, és a tömeg meg a sebesség szorzata:

$I = m \cdot v$

Közérthetően a lendület azt mondja meg, mennyi mozgás van a testben. Mértékegysége a kilogramm szorozva méter per szekundummal, kg·m/s. Saját nevet, mint a newton, ez a mértékegység nem kapott.

A kétszer nagyobb tömegű testnek ugyanakkora sebességnél kétszer nagyobb a lendülete, a kétszer gyorsabb, azonos tömegű testnek szintén. Ez megfelel a tapasztalatnak. A medicinlabdát nehezebb elkapni, mint az ugyanolyan gyorsan eldobott focilabdát, a levegőből kapásból rúgott labdát pedig nehezebb, mint azt, amelyet valaki csak odaad.

Kamion vagy golyó?

A kamion tömege 40 t = 40 000 kg. A sebességet átváltjuk méter per szekundumra, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, és behelyettesítünk:

$I = 40 000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111 000 kg \cdot m / s$

A golyó tömege 10 g = 0,01 kg:

$I = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

A lassú kamion lendülete majdnem tizennégyezerszer nagyobb, mint a gyors golyóé. A golyó ugyan nagyjából háromszázszor gyorsabban repül, a kamion viszont négymilliószor nagyobb tömegű. A golyót megállítja egy homokzsák, a kamion félretolja. Hogy miért éppen a lendület dönti el, mennyire nehéz egy testet megállítani, azt mindjárt megtudjuk.

A sebesség vektor, ezért a lendület is az:

$\vec{I} = m \cdot \vec{v}$

A tömeg pozitív szám, így a lendület mindig a sebességgel azonos irányba mutat. Két egyforma kamion, amelyek ugyanolyan gyorsan mennek egymással szemben, ugyanakkora, de ellentétes irányú lendületű. Az egyenesen kijelölünk egy pozitív irányt, és az azzal szemben mutató lendület mínuszjelet kap, akárcsak a sebesség.

Hogyan változtathatjuk meg a lendületet

A test lendülete csak akkor változik, ha megváltozik a sebessége, ehhez pedig erő kell. Newton második törvényéből indulunk ki, F = m · a, és a gyorsulás helyére a sebességváltozás és az eltelt idő hányadosát írjuk, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

A tömeg nem változik, ezért a tömeg és a sebességváltozás szorzata a lendület megváltozása. A testnek az elején v₀ sebessége és I₀ = m · v₀ lendülete volt, a végén v sebessége és I = m · v lendülete:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = I - I_{0} = Δ I \end{aligned}$

A dinamika alaptörvényébe behelyettesítve megkapjuk Newton második törvényét a lendülettel felírva:

$F = \frac{Δ I}{Δ t}$

Az erő a lendület megváltozása egységnyi idő alatt, ahogy a gyorsulás a sebesség megváltozása egységnyi idő alatt. Vektorokkal $\vec{F} = \frac{Δ \vec{I}}{Δ t}$ , tehát a lendület az eredő erő irányában változik. Maga Newton is a lendülettel mondta ki a törvényt: a mozgás megváltozása alatt a lendület megváltozását értette.

Erőlökés

A képletet megszorozzuk a Δt idővel:

$F \cdot Δ t = Δ I$

Az erő és a hatásideje szorzatát erőlökésnek nevezzük, J = F · Δt. Mértékegysége newton szorozva szekundummal, és ugyanaz, mint a lendületé:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

Az erőlökés egyenlő a lendület megváltozásával. Ebből egy fontos dolog következik: ha egy testnek bizonyos lendületet kell elveszítenie, például meg kell állnia, az erőlökés adott. A nagy erő ezt rövid idő alatt megteszi, a kis erő hosszú idő alatt. A kétszer hosszabb idő feleakkora erőt jelent, a tízszer hosszabb a tizedét.

Most már tudjuk, miért állítja meg a homokzsák a golyót, a kamiont pedig nem. A golyó a homokban körülbelül egy ezredmásodperc alatt áll meg, a zsák tehát átlagosan ekkora erővel fékezi:

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8000 N .$

Nem kevés, de a homok kibírja. Ha ugyanekkora erővel kellene megállítania a kamiont, ennyi ideig kellene fékeznie:

$Δ t = \frac{I}{F} = \frac{111 000 kg \cdot m / s}{8000 N} \approx 14 s .$

A golyó körülbelül 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m úton fékeződik le (átlagsebesség szorozva az idővel). A kamion tizennégy másodperc alatt 1,39 m/s átlagsebességgel majdnem 20 m utat tenne meg. A zsáknak húsz méter hosszúnak kellene lennie, így a kamion egyszerűen félretolja, és megy tovább.

Az erőlökés fordítva is érvényes, amikor a test felgyorsul. A futballista megrúg egy álló, 0,45 kg tömegű labdát, és a labda 30 m/s sebességgel elrepül. A labda lendülete 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s lett. A láb érintkezése körülbelül egy század másodpercig tart, a láb tehát átlagosan ekkora erővel hat a labdára:

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1350 N .$

Aki erősebben akar rúgni, annak vagy nagyobb erővel, vagy hosszabb ideig kell hatnia a labdára. Ezért a súlylökő nem csak csuklóból löki el a golyót, hanem a karja teljes, hosszú útján tolja.

Az ütközéskor az erő nem állandó, gyorsan megnő, aztán újra csökken. A lendület megváltozásából az átlagát számoljuk ki, és nekünk az elég lesz.

Légzsák

Képzelj el egy autót, amely 50 km/h sebességgel halad, és falnak megy. Az utas tömege 70 kg, be van kötve, és előtte kinyílik a légzsák. Az öv és a légzsák körülbelül 0,1 s alatt állítja meg. Mekkora erővel hat rá?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

A pozitív irány a haladás iránya lesz. Az utas elveszíti az egész lendületét, amellyel addig rendelkezett:

$I_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

A lendület megváltozása ΔI = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. A mínusz csak azt mondja, hogy az erő a haladással szemben mutat. Az erő nagysága:

$F = \frac{| Δ I |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9730 N$

Ha a kilogramm-méter per szekundumot elosztjuk a szekundummal, kg·m/s² jön ki, vagyis newton. Az utasra körülbelül 9700 N erő hat. A nehézségi ereje 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, tehát az öv és a légzsák nagyjából tizennégyszer nagyobb erővel fékezi. Sok, de túlélhető.

Ha nem volna öve és légzsákja, nekiütközne a kormánynak és a műszerfalnak, és körülbelül 0,01 s alatt állna meg. Ugyanannyi lendületet veszít, csak a tizedannyi idő alatt:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97 300 N$

Ez körülbelül 97 000 N, tízszer több, és a nehézségi erőnél nagyjából száznegyvenszer nagyobb. A légzsák nem csökkenti azt a lendületet, amelyet az utas elveszít, azt a tömege és a sebessége meghatározza. Csak hosszabb idő alatt veszi el, ezért kisebb erővel. Ugyanezt teszi az autó deformációs zónája, amely az ütközéskor fokozatosan összegyűrődik, és meghosszabbítja a megállás idejét.

Puha földetérés

Bori, a 40 kg tömegű tornász leugrik a gerendáról, és 4 m/s sebességgel érkezik. Közvetlenül a földetérés előtt a lendülete

$I = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

A kemény padlón behajlított térddel is körülbelül 0,05 s alatt áll meg, a tornaszőnyegen, amely behajlik alatta, körülbelül 0,25 s alatt. Az eredő erő, amely fékezi:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

A szőnyegen az erő ötször kisebb, mert a földetérés ötször tovább tart. Bori mindkét esetben elveszti az egész lendületét. A szőnyeg nem változtatja meg, mennyi lendület tűnik el, csak lassabban veszi el.

Az F eredő erő a t idő függvényében a kemény padlóra és a tornaszőnyegre érkezéskor

A piros téglalap a padlóra érkezés, a kék a szőnyegre. A téglalap magassága az átlagos erő, a szélessége a földetérés ideje, így a téglalap területe az erő szorozva az idővel, vagyis az erőlökés. A piros téglalap ötször magasabb és ötször keskenyebb, mint a kék, és a területük egyforma, 160 N·s, mert mindkét földetérés ugyanannyi lendületet vett el Boritól. A valódi erő a földetéréskor gyorsan felugrik, aztán újra csökken. Az erőlökés ekkor a görbe alatti terület, az átlagos erő pedig az azonos területű téglalap magassága.

A padlónak és a szőnyegnek ráadásul még Bori nehézségi erejével, körülbelül 390 N értékkel nagyobb erővel kell nyomnia, mert a Föld a földetérés alatt is lefelé húzza. Az eredő erő a felfelé nyomó erő és a nehézségi erő különbsége.

Ugyanezt az elvet használja a homok a távolugrásnál, a matrac a rúdugrásnál, vagy a térdhajlítás, amikor leugrasz egy alacsony falról.

Miért húzódik vissza a kezünk elkapáskor

Amikor elkapunk egy erősen eldobott labdát, a kezünk magától hátrahúzódik vele a testünkhöz. A labdát így hosszabb ideig és kisebb erővel fékezzük, és a tenyerünk nem fáj. Aki mereven tartja a kezét, rövid idő alatt, nagy erővel állítja meg a labdát, és az gyakran lepattan róla. Ezt mindenki tudja, aki valaha nyers tojást próbált elkapni.

Merev kézzel (fent) és laza kézzel, amely a labdával együtt visszahúzódik (lent) elkapott labda

A narancssárga jelek azt mutatják, hol volt a labda egyenlő időközökben. Fent a labda a merev piros kéznek ütközve szinte azonnal megáll. Lent a kék kéz hátrahúzódik vele, és a labda fokozatosan lassul, a jelek közelednek egymáshoz. A szürke körvonal azt mutatja, honnan indult a kéz. A megállás lent sokkal tovább tart, ezért a kéz sokkal kisebb erővel fékezi a labdát.

A 0,4 kg tömegű kézilabda 15 m/s sebességgel repül, és a lendülete 6 kg·m/s. A merev kéz körülbelül 0,01 s alatt állítja meg 600 N erővel, a laza 0,1 s alatt, mindössze 60 N erővel.

A visszapattanás rosszabb, mint a megállás

Falhoz csapsz egy 0,06 kg tömegű gyurmagolyót 20 m/s sebességgel. A pozitív irányt a fal felé választjuk. A golyó odaragad, tehát a lendülete 1,2 kg·m/s értékről nullára változik:

$\begin{aligned} Δ I & = I - I_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Most vegyünk egy ugyanekkora tömegű és sebességű teniszlabdát. Ideális esetben visszapattan, és ugyanazzal a 20 m/s sebességgel repül vissza, tehát a pozitív iránnyal szemben, a lendülete pedig −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ I & = I - I_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

A lendület megváltozása kétszeres. A falnak a teniszlabdát előbb meg kell állítania, aztán még vissza is kell küldenie. Ugyanolyan hosszú érintkezésnél a fal ezért kétszer akkora erővel hat a teniszlabdára, mint a gyurmára. Hiba volna azt mondani, hogy a lendület nem változott, mert a teniszlabda ugyanolyan gyorsan repül. A sebesség nagysága ugyanakkora, de az iránya ellentétes, a lendület pedig vektor. Ezért fáj jobban az a labda is, amelyik a merev kezedről lepattan, mint ha a tenyeredben maradna.

De hová lett az a lendület, amelyet a teniszlabda a visszapattanáskor elveszített? És mi van, ha a labda nem falnak ütközik, hanem olyan testnek, amely el tud indulni?

Hogy ezt hogyan számoljuk, miért rúg a puska lövéskor a lövész vállába, és milyen gyorsan haladnak az összekapcsolt vagonok, azt a következő, A lendületmegmaradás törvénye című cikk mutatja meg.

« Előző: Nehézségi erő és súly

Következő: A lendületmegmaradás törvénye »