Quantidade de movimento e impulso

No pátio de um depósito, um caminhão dá ré a 10 km/h, mais ou menos o ritmo de um corredor amador. Num estande de tiro, por sua vez, sai uma bala a 800 m/s. Qual dos dois é mais difícil de parar? A bala vence em velocidade, o caminhão em massa. A física tem para esse duelo uma grandeza que une a massa e a velocidade. Chama-se quantidade de movimento (também chamada de momento linear) e é o produto da massa pela velocidade:

$Q = m \cdot v$

Em linguagem popular, a quantidade de movimento diz quanto movimento há no corpo. A unidade é quilograma vezes metro por segundo, kg·m/s. Essa unidade não recebeu nome próprio, como o newton.

Um corpo com o dobro da massa tem, com a mesma velocidade, o dobro da quantidade de movimento, e um corpo duas vezes mais rápido, com a mesma massa, também. Isso corresponde à experiência. Uma bola medicinal é mais difícil de pegar do que uma bola de futebol lançada com a mesma rapidez, e uma bola chutada de voleio é mais difícil de pegar do que uma que alguém apenas passa para você.

Caminhão ou bala?

O caminhão tem massa de 40 t = 40.000 kg. Convertemos a velocidade em metros por segundo, 10 km/h ≈ 2,78 m/s, e substituímos:

$Q = 40.000 kg \cdot 2, 78 m / s \approx 111.000 kg \cdot m / s$

A bala tem massa de 10 g = 0,01 kg:

$Q = 0, 01 kg \cdot 800 m / s = 8 kg \cdot m / s$

A quantidade de movimento do lento caminhão é quase quatorze mil vezes maior que a da rápida bala. A bala, é verdade, voa cerca de trezentas vezes mais depressa, só que o caminhão tem quatro milhões de vezes mais massa. A bala é parada por um saco de areia, o caminhão o empurra para o lado. Veremos daqui a pouco por que justamente a quantidade de movimento decide a dificuldade de parar um corpo.

A velocidade é um vetor e, assim, a quantidade de movimento também é:

$\vec{Q} = m \cdot \vec{v}$

A massa é um número positivo, então a quantidade de movimento aponta sempre como a velocidade. Dois caminhões iguais, que andam um contra o outro com a mesma rapidez, têm quantidades de movimento de mesmo módulo, mas de sentidos opostos. Numa reta, escolhemos o sentido positivo e a quantidade de movimento que aponta contra ele recebe o sinal de menos, assim como a velocidade.

Como mudar a quantidade de movimento

A quantidade de movimento de um corpo muda só quando muda a sua velocidade, e para isso é preciso uma força. Partimos da segunda lei de Newton F = m · a e, no lugar da aceleração, substituímos a variação da velocidade no tempo, $a = \frac{Δ v}{Δ t}$ :

$F = m \cdot \frac{Δ v}{Δ t}$

A massa não muda, então a massa vezes a variação da velocidade é a variação da quantidade de movimento. O corpo tinha no início a velocidade v₀ e a quantidade de movimento Q₀ = m · v₀, no fim a velocidade v e a quantidade de movimento Q = m · v:

$\begin{aligned} m \cdot Δ v & = m \cdot (v - v_{0}) = m \cdot v - m \cdot v_{0} \\ = Q - Q_{0} = Δ Q \end{aligned}$

Depois de substituir na lei da força, obtemos a segunda lei de Newton escrita com a quantidade de movimento:

$F = \frac{Δ Q}{Δ t}$

A força é a variação da quantidade de movimento por unidade de tempo, assim como a aceleração é a variação da velocidade por unidade de tempo. Em vetores, $\vec{F} = \frac{Δ \vec{Q}}{Δ t}$ , então a quantidade de movimento muda na direção e no sentido da força resultante. O próprio Newton enunciou a lei com a quantidade de movimento: por mudança do movimento ele entendia a variação da quantidade de movimento.

Impulso

Multiplicamos a fórmula pelo tempo Δt:

$F \cdot Δ t = Δ Q$

O produto da força pelo tempo em que ela age se chama impulso, I = F · Δt. A unidade é newton vezes segundo e é a mesma que a unidade da quantidade de movimento:

$N \cdot s = {kg \cdot m / s}^{2} \cdot s = kg \cdot m / s$

O impulso é igual à variação da quantidade de movimento. Disso decorre uma coisa importante: quando o corpo deve perder uma certa quantidade de movimento, por exemplo parar, o impulso fica determinado. Uma força grande consegue isso em pouco tempo, uma força pequena em muito tempo. Um tempo duas vezes maior significa metade da força, dez vezes maior, um décimo.

Agora já sabemos por que o saco de areia para a bala e o caminhão não. A bala para na areia em cerca de um milésimo de segundo, então o saco a freia com força média de

$F = \frac{8 kg \cdot m / s}{0,001 s} = 8.000 N .$

Não é pouco, mas a areia aguenta. Se, com a mesma força, ele tivesse de parar o caminhão, precisaria freá-lo por

$Δ t = \frac{Q}{F} = \frac{111.000 kg \cdot m / s}{8.000 N} \approx 14 s .$

A bala é freada numa distância de cerca de 400 m/s · 0,001 s = 0,4 m (velocidade média vezes tempo). O caminhão, em catorze segundos, com velocidade média de 1,39 m/s, percorreria quase 20 m. O saco teria de medir vinte metros e, por isso, o caminhão simplesmente o empurra e segue em frente.

O impulso vale também ao contrário, quando um corpo arranca. Um jogador de futebol chuta uma bola parada de massa 0,45 kg e a bola sai com velocidade de 30 m/s. A bola ganhou quantidade de movimento 0,45 kg · 30 m/s = 13,5 kg·m/s. O contato do pé dura cerca de um centésimo de segundo, então o pé age sobre a bola com força média de

$F = \frac{13, 5 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 1.350 N .$

Quem quer chutar mais forte precisa agir sobre a bola com uma força maior ou por mais tempo. Por isso o arremessador de peso não lança a bola só com o pulso, mas a empurra por toda a longa trajetória do braço.

A força no impacto não é constante, ela sobe rapidamente e desce de novo. A partir da variação da quantidade de movimento, calculamos o valor médio dela, e isso nos bastará.

Airbag

Imagine um carro que anda a 50 km/h e bate num muro. O passageiro de massa 70 kg está com o cinto e, à frente dele, o airbag se infla. O cinto com o airbag o para em cerca de 0,1 s. Com que força ele age sobre o passageiro?

$\begin{aligned} m & = 70 kg \\ v_{0} & = 50 km / h \approx 13, 9 m / s \\ v & = 0 m / s \\ Δ t & = 0, 1 s \\ F & = ? (N) \end{aligned}$

O sentido positivo será o sentido da marcha. O passageiro perde toda a quantidade de movimento que tinha:

$Q_{0} = m \cdot v_{0} = 70 kg \cdot 13, 9 m / s \approx 973 kg \cdot m / s$

A variação da quantidade de movimento é ΔQ = 0 kg·m/s − 973 kg·m/s = −973 kg·m/s. O sinal de menos só diz que a força aponta contra o sentido da marcha. O módulo da força:

$F = \frac{| Δ Q |}{Δ t} = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 1 s} = 9.730 N$

Quando dividimos quilograma vezes metro por segundo por segundo, sai kg·m/s², isto é, newton. Sobre o passageiro agem cerca de 9.700 N. A força peso dele é 70 kg · 9,81 m/s² ≈ 690 N, então o cinto e o airbag o freiam com uma força cerca de quatorze vezes maior. É muito, mas dá para sobreviver.

Se ele não tivesse nem cinto nem airbag, bateria no volante e no painel e pararia em cerca de 0,01 s. Perde a mesma quantidade de movimento, só que em um décimo do tempo:

$F = \frac{973 kg \cdot m / s}{0, 01 s} = 97.300 N$

Isso dá cerca de 97.000 N, dez vezes mais e cerca de cento e quarenta vezes mais que a força peso. O airbag não diminui a quantidade de movimento de que o passageiro se desfaz, ela é dada pela massa e pela velocidade dele. Apenas a retira por mais tempo e, por isso, com uma força menor. A zona de deformação do carro faz o mesmo: na batida, ela vai amassando aos poucos e prolonga o tempo da parada.

Pouso suave

A ginasta Bárbara, de massa 40 kg, salta da trave e cai com velocidade de 4 m/s. Logo antes do pouso ela tem quantidade de movimento

$Q = 40 kg \cdot 4 m / s = 160 kg \cdot m / s .$

No piso duro ela para, mesmo com os joelhos flexionados, em cerca de 0,05 s, no colchão, que cede sob ela, em cerca de 0,25 s. A força resultante que a freia:

$\begin{aligned} F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 05 s} = 3.200 N \\ F & = \frac{160 kg \cdot m / s}{0, 25 s} = 640 N \end{aligned}$

No colchão a força é cinco vezes menor, porque o pouso dura cinco vezes mais. Nos dois casos, Bárbara perde a quantidade de movimento inteira. O colchão não muda a quantidade de movimento que desaparece, só a retira mais devagar.

Força resultante F no tempo t no pouso sobre o piso duro e sobre o colchão

O retângulo vermelho é o pouso no piso, o azul, no colchão. A altura do retângulo é a força média, a largura o tempo do pouso, então a área do retângulo é força vezes tempo, ou seja, o impulso. O retângulo vermelho é cinco vezes mais alto e cinco vezes mais estreito que o azul e os dois têm a mesma área de 160 N·s, porque os dois pousos tiraram de Bárbara a mesma quantidade de movimento. A força real no pouso salta rapidamente e desce de novo. O impulso é, então, a área sob a curva dela, e a força média é a altura do retângulo de mesma área.

O piso e o colchão, aliás, precisam empurrar com uma força ainda maior, acrescida da força peso de Bárbara, cerca de 390 N, porque a Terra a puxa para baixo também durante o pouso. A força resultante é a diferença entre a força com que o apoio empurra para cima e a força peso.

A areia no salto em distância, o colchão no salto com vara e o flexionar dos joelhos quando você pula de um murinho usam o mesmo princípio.

Por que as mãos recuam ao pegar

Ao pegar uma bola lançada com força, as mãos recuam sozinhas com ela, em direção ao corpo. Assim a bola é freada por mais tempo e com menos força e as palmas não doem. Quem mantém as mãos rígidas faz a bola parar num instantinho, com grande força, e muitas vezes a bola quica para longe. Quem melhor sabe disso é quem já tentou pegar um ovo cru.

Bola pega com a mão rígida (em cima) e com a mão relaxada, que recua com ela (embaixo)

As marcas laranja registram onde estava a bola depois de intervalos de tempo iguais. Em cima, a bola para quase de imediato contra a mão vermelha rígida. Embaixo, a mão azul recua com ela e a bola desacelera aos poucos, as marcas se aproximam uma da outra. O contorno cinza mostra de onde a mão partiu. A parada embaixo leva muito mais tempo e, por isso, a mão freia a bola com uma força muito menor.

Uma bola de handebol de massa 0,4 kg voa com velocidade de 15 m/s e tem quantidade de movimento de 6 kg·m/s. As mãos rígidas a param em cerca de 0,01 s com força de 600 N, as relaxadas em 0,1 s com força de apenas 60 N.

A rebatida é pior que a parada

Você atira contra uma parede uma bola de massinha de modelar de massa 0,06 kg com velocidade de 20 m/s. Escolhemos o sentido positivo em direção à parede. A bola gruda, então a quantidade de movimento dela muda de 1,2 kg·m/s para zero:

$\begin{aligned} Δ Q & = Q - Q_{0} = 0 kg \cdot m / s - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 1, 2 kg \cdot m / s \end{aligned}$

Agora tomemos uma bola de tênis com a mesma massa e a mesma velocidade. No caso ideal ela rebate e volta com a mesma velocidade de 20 m/s, ou seja, contra o sentido positivo, e a quantidade de movimento dela é −1,2 kg·m/s:

$\begin{aligned} Δ Q & = Q - Q_{0} \\ = (- 1, 2 kg \cdot m / s) - 1, 2 kg \cdot m / s \\ = - 2, 4 kg \cdot m / s \end{aligned}$

A variação da quantidade de movimento sai o dobro. A parede precisa primeiro parar a bola de tênis e depois ainda lançá-la de volta. Com um contato de mesma duração, por isso, a parede empurra a bola de tênis com uma força duas vezes maior do que a massinha. Seria um erro dizer que a quantidade de movimento não mudou, quando a bola de tênis voa com a mesma rapidez. A velocidade tem o mesmo módulo, mas sentido oposto, e a quantidade de movimento é um vetor. Por isso também uma bola que quica das suas mãos rígidas dói mais do que se ela ficasse nas palmas.

Mas para onde foi a quantidade de movimento que a bola de tênis perdeu na rebatida? E se, em vez da parede, ela bater em outro corpo, que pode sair em movimento?

O próximo artigo, Conservação da quantidade de movimento, mostra como se calcula isso, por que o rifle, no disparo, dá um coice no ombro do atirador e com que velocidade andam vagões acoplados.

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