Impulserhaltungssatz

Impuls entsteht nicht aus dem Nichts und verschwindet auch nicht spurlos. Er lässt sich nur von einem Körper auf einen anderen übertragen. Ob zwei Wagen zusammenstoßen oder zwei Menschen sich voneinander abstoßen, der eine gewinnt Impuls, und der andere verliert genau so viel. Die Summe beider Impulse bleibt, wie sie war. Das heißt Impulserhaltungssatz, und er gehört zu den nützlichsten Gesetzen der ganzen Physik. Mit ihm berechnen wir, was nach einem Zusammenstoß geschieht, ohne die Kräfte zu kennen, die dabei gewirkt haben, und ohne die Dauer ihrer Wirkung.

Das abgeschlossene System

Damit der Satz gilt, müssen wir zuerst sagen, von welchen Körpern wir sprechen. Wir wählen einige Körper aus, die uns interessieren, etwa zwei Waggons, und nennen sie ein System. Die Kräfte, mit denen die Körper des Systems aufeinander wirken, sind innere Kräfte. Die Kräfte, mit denen etwas von außen auf sie wirkt, zum Beispiel die Erde oder die Schienen, sind äußere Kräfte.

Ein System ist abgeschlossen, wenn keine äußeren Kräfte auf es wirken oder wenn sich die äußeren Kräfte gegenseitig aufheben und ihre Resultierende null ist. Ein vollkommen abgeschlossenes System gibt es auf der Erde nicht, oft kommen wir ihm aber sehr nahe. Die Erde zieht eine Eisläuferin auf dem Eis nach unten, und das Eis hält sie mit einer gleich großen Kraft von unten, diese beiden Kräfte heben sich also auf. Die Reibung der Schlittschuhe ist klein, und wir vernachlässigen sie.

Ein Stein, der von einem Felsen fällt, ist dagegen kein abgeschlossenes System. Ihn zieht die Erde an, das ist eine äußere Kraft, und sein Impuls wächst deshalb. Nehmen wir aber die Erde mit ins System, wird die Kraft zwischen Stein und Erde zu einer inneren. Der Stein zieht die Erde mit einer gleich großen Kraft zu sich, wie die Erde ihn, und die Erde gewinnt einen gleich großen Impuls entgegengesetzter Richtung, bei ihrer riesigen Masse nur mit einer winzigen Geschwindigkeit. Ähnlich ist es mit einem Tennisball, der von einer Wand abprallt. Den Impuls 2,4 kg·m/s, den er verloren hat, hat die Wand übernommen und mit ihr die ganze Erde, die sich wegen ihrer Masse unmerklich langsam in Bewegung gesetzt hat.

Der Gesamtimpuls eines Systems ist die Vektorsumme der Impulse aller seiner Körper. Bei zwei Körpern:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Bewegen sich die Körper auf einer Geraden, legen wir eine positive Richtung fest und addieren die Impulse als Zahlen mit Vorzeichen. Ein Körper, der gegen die positive Richtung fährt, hat einen negativen Impuls.

Warum sich der Gesamtimpuls nicht ändert

Nehmen wir zwei Körper eines abgeschlossenen Systems, die eine Weile aufeinander wirken, sei es, dass sie zusammenstoßen oder sich voneinander abstoßen. Andere Kräfte wirken nicht auf sie oder heben sich auf, den Impuls jedes der beiden ändert also nur die Kraft des anderen. Körper 2 wirkt auf Körper 1 mit der Kraft ${\vec{F}}_{1}$ . Nach dem dritten newtonschen Gesetz wirkt Körper 1 auf Körper 2 mit einer gleich großen Kraft entgegengesetzter Richtung:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Beide Kräfte entstehen im selben Augenblick und verschwinden im selben Augenblick, sie wirken also gleich lang, während der Zeit Δt. Der Kraftstoß ist gleich der Impulsänderung, deshalb ändern sich die Impulse beider Körper um

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Die Impulsänderungen sind gleich groß und entgegengesetzt. Wir addieren sie:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Der Gesamtimpuls hat sich nicht geändert. Was der eine Körper gewonnen hat, hat der andere verloren. Die Kraft beim Zusammenstoß ist zwar nicht konstant, aber das macht nichts. Wir teilen den ganzen Zusammenstoß in winzige Augenblicke; in jedem sind beide Kräfte gleich groß und entgegengesetzt, der Gesamtimpuls ändert sich also in keinem.

Innerhalb des Systems dürfen die Körper zusammenstoßen, sich drücken und abstoßen, wie sie wollen. Innere Kräfte treten immer in Paaren aus Aktion und Reaktion auf und können den Gesamtimpuls deshalb nicht ändern. Ändern kann ihn nur eine äußere Kraft. Dasselbe gilt für mehr Körper, jedes Paar tauscht nur Impuls aus. Baron Münchhausen, der sich angeblich am eigenen Schopf aus dem Sumpf zog, hat sich das also ausgedacht. Die Hand zieht am Haar, das Haar an der Hand, und beide Kräfte bleiben im Baron und ändern seinen Gesamtimpuls nicht. Damit haben wir den Satz hergeleitet:

Der Gesamtimpuls eines abgeschlossenen Systems ändert sich nicht. Die Impulse vor dem Vorgang (ohne Strich) und nach ihm (mit Strich) haben dieselbe Summe:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Achtung, konstant ist nur die Summe. Der Impuls der einzelnen Körper kann sich ändern, und meistens tut er das auch.

Rückstoß eines Gewehrs

Ein Jäger schießt mit einem Gewehr der Masse 4 kg. Die Kugel mit einer Masse von 10 g fliegt mit 800 m/s los. Wie schnell bewegt sich das Gewehr nach hinten? Hände und Schulter des Jägers lassen wir vorerst außer Acht, das Gewehr hängt einfach frei in der Luft.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Die positive Richtung wählen wir in Flugrichtung der Kugel. Vor dem Schuss ruhen Gewehr und Kugel, der Gesamtimpuls ist null. Null muss er auch nach dem Schuss sein:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Wir subtrahieren den Impuls der Kugel und teilen durch die Masse des Gewehrs:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Wir setzen ein:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Das Gewehr bewegt sich mit 2 m/s los, und das Minus sagt, dass es nach hinten geht, gegen den Flug der Kugel. Kugel und Gewehr haben den gleich großen Impuls, 8 kg·m/s, nur mit entgegengesetzter Richtung. Das Gewehr hat aber eine vierhundertmal so große Masse und ist deshalb vierhundertmal langsamer. Den Impuls der Verbrennungsgase, die zusammen mit der Kugel aus dem Lauf strömen, haben wir vernachlässigt.

Zwei Meter pro Sekunde sind über sieben Kilometer pro Stunde. Wer das Gewehr nur locker hält, bekommt mit dem Kolben einen ordentlichen Schlag gegen die Schulter. Deshalb stützt man den Kolben fest an der Schulter ab. Das Gewehr bewegt sich dann samt Schützen, und der Impuls 8 kg·m/s verteilt sich auf eine viel größere Masse. Mit einem Schützen der Masse 80 kg sind es

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Der Schütze wird dadurch nur leicht angeschoben, und wenn er sich fest gegen den Boden stemmt, nicht einmal das.

Zwei Eisläuferinnen

Auf dem Eis stehen sich die Eisläuferinnen Marie und Lisa gegenüber. Sie legen die Handflächen aneinander und stoßen sich ab. Marie hat eine Masse von 50 kg, Lisa 60 kg. Lisa gleitet mit 1 m/s davon. Wie schnell gleitet Marie davon?

Die positive Richtung wählen wir in die Richtung, in die Lisa davongleitet, und Marie bezeichnen wir mit dem Index 1. Vor dem Abstoßen stehen beide, der Gesamtimpuls ist also null, und er ist es auch danach:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Wir lösen nach Maries Geschwindigkeit auf und setzen ein:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Marie gleitet mit 1,2 m/s in die entgegengesetzte Richtung davon. Wir prüfen, ob sich die Impulse wirklich zu null addieren:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Jede hat den Impuls 60 kg·m/s bekommen, jede in eine andere Richtung.

Marie (rot) und Lisa (blau) vor dem Abstoßen (grau) und nach ihm, die Geschwindigkeiten v⃗_1' und v⃗_2'

Die Geschwindigkeiten der Eisläuferinnen stehen im Verhältnis 1,2:1, also 6:5, und das ist das umgekehrte Verhältnis ihrer Massen 50:60. Die leichtere Eisläuferin gleitet schneller davon. Wie stark sie sich abgestoßen haben, spielt keine Rolle. Würden sie sich gleich lange mit der doppelten Kraft abstoßen, glitten beide doppelt so schnell davon, aber das Verhältnis bliebe 6:5.

Und es spielt auch keine Rolle, wer von ihnen gedrückt hat. Man ist versucht zu glauben, dass vor allem Lisa davongleitet, wenn nur Marie drückt und Lisa die Hände fest hält. Die Kräfte im Paar sind aber gleich groß, wer auch immer drückt, und die leichtere Marie gleitet wieder schneller davon.

Auf demselben Prinzip beruht der Sprung aus einem kleinen Boot ans Ufer. Der Springer stößt sich vom Boot ab und das Boot von ihm, sodass das Boot nach hinten wegfährt, während er nach vorn fliegt. Ist das Boot leicht, fährt es ihm ein Stück davon, und der Springer landet statt am Ufer im Wasser.

Zusammenstoß von Waggons

Auf dem Rangierbahnhof rollt ein Waggon der Masse 20 t mit 2 m/s und stößt gegen einen stehenden Waggon der gleichen Masse. Die selbsttätigen Kupplungen rasten beim Aufprall ein, und die Waggons fahren verbunden weiter. Wie schnell?

Einen Zusammenstoß, nach dem die Körper verbunden bleiben und gemeinsam weiterfahren, nennt man unelastischen Stoß. Die positive Richtung wählen wir in Fahrtrichtung des ersten Waggons.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Nach dem Zusammenstoß haben beide Waggons dieselbe Geschwindigkeit v', ihr Impuls ist also der Impuls eines einzigen Körpers der Masse m₁ + m₂. Der Impulserhaltungssatz:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Vor dem Zusammenstoß hat nur der erste Waggon Impuls:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Denselben Impuls müssen nach dem Zusammenstoß beide Waggons zusammen haben. Wir teilen ihn durch ihre Gesamtmasse:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Die verbundenen Waggons fahren mit 1 m/s, der Hälfte der ursprünglichen Geschwindigkeit. Die Masse hat sich verdoppelt und der Impuls blieb gleich, die Geschwindigkeit musste also auf die Hälfte sinken. Würde der Waggon gegen zwei stehende, gekoppelte Waggons fahren, verteilte sich derselbe Impuls auf die dreifache Masse 60.000 kg, und alle drei würden mit einem Drittel der Geschwindigkeit fahren, etwa 0,67 m/s.

Ein Waggon stößt gegen einen stehenden Waggon, und die verbundenen Waggons fahren mit halber Geschwindigkeit weiter

Die orangen Markierungen zeigen, wo die Front des roten Waggons nach jeweils gleich langen Zeitspannen war. Solange der rote Waggon allein fährt, haben sie gleiche Abstände. Nach der Verbindung mit dem blauen Waggon bleiben die Abstände gleich, nur halb so groß.

Jetzt kommt der heimtückischere Fall. Der zweite Waggon steht nicht, sondern fährt dem ersten mit 1 m/s entgegen. Gegen die positive Richtung, also v₂ = −1 m/s. Es wäre falsch, die Impulse beider Waggons ohne Rücksicht auf die Richtung zu addieren, die verbundenen Waggons kämen dann auf 1,5 m/s. Die Geschwindigkeit des zweiten Waggons setzen wir deshalb mit dem Minuszeichen ein:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Die verbundenen Waggons fahren mit 0,5 m/s in die Richtung, in die der erste Waggon fuhr. Würden sie gleich schnell aufeinander zufahren, blieben sie an Ort und Stelle stehen.

Streng genommen sind die Waggons kein abgeschlossenes System, die Räder reiben an den Schienen. Diese äußeren Kräfte sind aber klein, und der Zusammenstoß dauert nur den Bruchteil einer Sekunde, sie ändern also in dieser Zeit den Impuls der Waggons vernachlässigbar. Die Kräfte zwischen den zusammenstoßenden Waggons sind um ein Vielfaches größer. Deshalb dürfen wir den Impulserhaltungssatz bei Zusammenstößen verwenden, auch wenn das System nicht ganz abgeschlossen ist.

Die Rakete

Eine Rakete steht im Weltraum weit weg von den Planeten, und ihr Gesamtimpuls ist samt Treibstoff null. Das Triebwerk verbrennt Treibstoff und stößt heiße Gase mit riesiger Geschwindigkeit durch die Düse nach hinten aus. Die Gase bekommen so einen Impuls nach hinten, und damit der Gesamtimpuls von Rakete und Gasen null bleibt, muss die Rakete einen gleich großen Impuls nach vorn aufnehmen. Die Rakete ist eigentlich ein Gewehr, das jede Sekunde eine riesige Menge winziger „Kugeln“ nach hinten abfeuert und dabei jedes Mal ein Stückchen nach vorn beschleunigt.

Auf das System aus Rakete und Gasen muss nichts von außen wirken, die Rakete braucht weder Boden noch Luft und beschleunigt auch im luftleeren Raum. Sie stößt sich von Gasen ab, die sie selbst mitführt und selbst ausstößt. Je mehr Gas sie pro Sekunde und je schneller sie es ausstößt, desto mehr Impuls gibt sie ihm ab und desto stärker beschleunigt sie selbst.

Der Impuls fließt bei einem Zusammenstoß nur von einem Körper auf den anderen über. Die Kraft, die Bewegung wirklich wegnimmt und schließlich fast alles anhält, was am Boden gleitet, ist die Reibung. Von ihr handelt der nächste Artikel, Reibung.

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