Conservazione della quantità di moto

La quantità di moto non nasce dal nulla e non sparisce senza lasciare traccia. Può solo passare da un corpo all’altro. Che due carrelli si urtino o che due persone si spingano via, uno guadagna quantità di moto e l’altro ne perde esattamente altrettanta. La somma delle due resta quella che era. Questa è la legge di conservazione della quantità di moto, una delle leggi più utili di tutta la fisica. Grazie a essa possiamo calcolare che cosa succede dopo un urto senza conoscere le forze che hanno agito né la durata della loro azione.

Il sistema isolato

Perché la legge valga, dobbiamo prima dire di quali corpi parliamo. Scegliamo alcuni corpi che ci interessano, per esempio due vagoni, e li chiameremo sistema. Le forze con cui i corpi del sistema agiscono l’uno sull’altro sono forze interne. Le forze che agiscono su di essi dall’esterno, per esempio la Terra o i binari, sono forze esterne.

Un sistema è isolato quando su di esso non agisce nessuna forza esterna, oppure quando le forze esterne si annullano a vicenda e la loro risultante è nulla. Un sistema perfettamente isolato sulla Terra non esiste, ma spesso ci si avvicina molto. Un pattinatore sul ghiaccio è tirato dalla Terra verso il basso e il ghiaccio lo sostiene da sotto con una forza di pari modulo, quindi queste due forze si annullano. L’attrito dei pattini è piccolo e lo trascuriamo.

Un sasso che cade da una rupe invece non è un sistema isolato. Lo attira la Terra, e questa è una forza esterna, e la sua quantità di moto perciò aumenta. Ma se nel sistema includiamo anche la Terra, la forza tra il sasso e la Terra diventa interna. Il sasso tira la Terra verso di sé con la stessa forza con cui la Terra tira lui, e la Terra acquista una quantità di moto di pari modulo e verso opposto, solo che, data la sua enorme massa, con una velocità impercettibile. Lo stesso vale per la pallina da tennis che rimbalza su un muro. La quantità di moto di 2,4 kg·m/s che ha perso l’ha presa il muro e con esso tutta la Terra, che a causa della sua massa si è messa in moto così lentamente da non poterlo osservare.

La quantità di moto totale di un sistema è la somma vettoriale delle quantità di moto di tutti i suoi corpi. Per due corpi:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Quando i corpi si muovono lungo una retta, scegliamo un verso positivo e sommiamo le quantità di moto come numeri con segno. Un corpo che si muove contro il verso positivo ha una quantità di moto negativa.

Perché la quantità di moto totale non cambia

Prendiamo due corpi di un sistema isolato che agiscono l’uno sull’altro per un po’, sia che si urtino sia che si spingano via. Altre forze non agiscono su di essi, oppure si annullano, perciò la quantità di moto di ciascuno la cambia solo la forza dell’altro. Il corpo 2 agisce sul corpo 1 con la forza ${\vec{F}}_{1}$ . Per il terzo principio della dinamica il corpo 1 agisce sul corpo 2 con una forza di pari modulo e verso opposto:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Le due forze nascono nello stesso istante e nello stesso istante scompaiono, quindi agiscono per lo stesso tempo, per l’intervallo Δt. L’impulso di una forza è uguale alla variazione della quantità di moto, perciò le quantità di moto dei due corpi cambiano di

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Le variazioni della quantità di moto hanno lo stesso modulo e verso opposto. Sommiamole:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

La quantità di moto totale non è cambiata. Ciò che un corpo ha guadagnato, l’altro lo ha perso. La forza nell’urto non è costante, ma non importa. Dividiamo l’intero urto in istanti brevissimi: in ciascuno le due forze hanno lo stesso modulo e verso opposto, quindi la quantità di moto totale non cambia in nessuno di essi.

All’interno del sistema i corpi possono urtarsi, spingersi e respingersi quanto vogliono. Le forze interne si presentano sempre in coppie azione-reazione, perciò non possono cambiare la quantità di moto totale. Può cambiarla solo una forza esterna. Lo stesso vale per più corpi, ogni coppia si limita a scambiarsi la quantità di moto. Il barone di Münchhausen, che si sarebbe tirato fuori da solo per i capelli da una palude, se l’è dunque inventato. La mano tira i capelli, i capelli la mano e le due forze restano dentro il barone e non cambiano la sua quantità di moto totale. Abbiamo così ricavato la legge:

La quantità di moto totale di un sistema isolato non cambia. Le quantità di moto prima del processo (senza apice) e dopo (con l’apice) hanno la stessa somma:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Attenzione, costante è solo la somma. La quantità di moto dei singoli corpi può cambiare e di solito cambia.

Il rinculo del fucile

Un cacciatore spara con un fucile di massa 4 kg. Il proiettile, di massa 10 g, parte a 800 m/s. Con che velocità il fucile si sposta all’indietro? Le mani e la spalla del cacciatore per ora non le consideriamo, immaginiamo il fucile semplicemente sospeso libero in aria.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Scegliamo il verso positivo nel verso di volo del proiettile. Prima dello sparo fucile e proiettile sono fermi, la quantità di moto totale è nulla. Deve essere nulla anche dopo lo sparo:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Sottraiamo la quantità di moto del proiettile e dividiamo per la massa del fucile:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Sostituiamo:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Il fucile parte a 2 m/s e il meno dice che va all’indietro, contro il volo del proiettile. Il proiettile e il fucile hanno la stessa quantità di moto, 8 kg·m/s, solo di verso opposto. Il fucile però ha una massa quattrocento volte maggiore, perciò è quattrocento volte più lento. La quantità di moto dei gas di combustione che escono dalla canna insieme al proiettile l’abbiamo trascurata.

Due metri al secondo sono più di sette chilometri all’ora. Chi tiene il fucile senza stringerlo si prende sulla spalla una bella botta dal calcio. Per questo il calcio si appoggia saldamente alla spalla. Il fucile allora parte insieme al tiratore e la quantità di moto di 8 kg·m/s si divide su una massa molto maggiore. Con un tiratore di massa 80 kg è

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Il tiratore viene spinto appena e, se si puntella bene al suolo, nemmeno quello.

Due pattinatrici

Sul ghiaccio, una di fronte all’altra, stanno le pattinatrici Teresa e Lucia. Si appoggiano palmo contro palmo e si spingono via. Teresa ha una massa di 50 kg, Lucia di 60 kg. Lucia si allontana a 1 m/s. Con che velocità si allontana Teresa?

Scegliamo il verso positivo nel verso in cui si allontana Lucia e indichiamo Teresa con l’indice 1. Prima della spinta sono entrambe ferme, quindi la quantità di moto totale è nulla, e lo è anche dopo:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Ricaviamo la velocità di Teresa e sostituiamo:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Teresa si allontana a 1,2 m/s dalla parte opposta. Verifichiamo che le quantità di moto si sommino davvero a zero:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Ciascuna ha ricevuto una quantità di moto di 60 kg·m/s, ognuna in un verso diverso.

Teresa (in rosso) e Lucia (in blu) prima della spinta (in grigio) e dopo, velocità v⃗_1' e v⃗_2'

Le velocità delle pattinatrici stanno nel rapporto 1,2:1, cioè 6:5, e questo è il rapporto inverso delle loro masse 50:60. La pattinatrice più leggera si allontana più veloce. Non importa con quanta forza si sono spinte. Se si fossero spinte per lo stesso tempo con una forza doppia, si sarebbero allontanate entrambe a velocità doppia, ma il rapporto resterebbe 6:5.

E non importa nemmeno quale delle due spinga. Viene da pensare che, se spinge solo Teresa e Lucia tiene le mani ferme, si allontani soprattutto Lucia. Ma le forze della coppia hanno lo stesso modulo, chiunque spinga, e Teresa, più leggera, si allontana comunque più veloce.

Sullo stesso principio si basa il salto da una barchetta alla riva. Chi salta spinge contro la barca e la barca contro di lui, quindi mentre lui vola in avanti, la barca scivola all’indietro. Se è leggera, gli scappa via per un tratto e il saltatore, invece che sulla riva, atterra in acqua.

L’urto tra vagoni

In uno scalo di smistamento un vagone di massa 20 t va a 2 m/s e urta un vagone fermo della stessa massa. Gli agganci automatici scattano nell’urto e i vagoni proseguono uniti. A che velocità?

Un urto dopo il quale i corpi restano uniti e proseguono insieme si chiama urto anelastico. Scegliamo il verso positivo nel verso di marcia del primo vagone.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Dopo l’urto i due vagoni hanno la stessa velocità v', quindi la loro quantità di moto è quella di un unico corpo di massa m₁ + m₂. La conservazione della quantità di moto:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Prima dell’urto ha quantità di moto solo il primo vagone:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

La stessa quantità di moto devono avere dopo l’urto i due vagoni insieme. La dividiamo per la loro massa totale:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

I vagoni uniti vanno a 1 m/s, metà della velocità iniziale. La massa si è raddoppiata e la quantità di moto è rimasta la stessa, quindi la velocità doveva dimezzarsi. Se il vagone urtasse una coppia di vagoni agganciati e fermi, la stessa quantità di moto si dividerebbe su una massa tripla di 60.000 kg e tutti e tre andrebbero a un terzo della velocità, circa 0,67 m/s.

Un vagone urta un vagone fermo e i vagoni uniti proseguono a metà velocità

I segni arancioni mostrano dove si trovava la parte anteriore del vagone rosso a intervalli di tempo uguali. Finché il vagone rosso va da solo, sono equidistanti. Dopo l’aggancio con il vagone blu le distanze sono sempre uguali, solo dimezzate.

Ora viene un caso più insidioso. Il secondo vagone non è fermo, ma viene incontro al primo a 1 m/s. Contro il verso positivo, quindi v₂ = −1 m/s. Sarebbe un errore sommare le quantità di moto dei due vagoni senza badare al verso: per i vagoni uniti risulterebbe una velocità di 1,5 m/s. Perciò sostituiamo la velocità del secondo vagone con il segno meno:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

I vagoni uniti andranno a 0,5 m/s nel verso in cui andava il primo vagone. Se andassero uno incontro all’altro con la stessa velocità, si fermerebbero sul posto.

I vagoni, a rigore, non sono un sistema isolato, tra le ruote e i binari c’è attrito. Ma queste forze esterne sono piccole e l’urto dura solo una frazione di secondo, quindi in quel tempo cambiano la quantità di moto dei vagoni in modo trascurabile. Le forze tra i vagoni che si urtano sono molte volte maggiori. Per questo negli urti possiamo usare la conservazione della quantità di moto anche se il sistema non è del tutto isolato.

Il razzo

Il razzo sta nello spazio, lontano dai pianeti, e la sua quantità di moto totale, compreso il propellente, è nulla. Il motore brucia il propellente ed espelle i gas caldi dall’ugello all’indietro a velocità enorme. I gas ricevono così una quantità di moto all’indietro e, perché la quantità di moto totale del razzo con i gas resti nulla, il razzo deve acquistare una quantità di moto di pari modulo in avanti. Il razzo è in fondo un fucile che ogni secondo spara all’indietro un’enorme quantità di minuscoli «proiettili» e ogni volta accelera un poco in avanti.

Sul sistema razzo più gas non deve agire nulla dall’esterno, il razzo non ha bisogno di nessun suolo né di aria e accelera anche nel vuoto. Si spinge sui gas che porta con sé e che espelle da solo. Più gas espelle al secondo e più velocemente, più quantità di moto gli cede e più accelera.

Nell’urto la quantità di moto si limita a passare da un corpo all’altro. La forza che toglie davvero il moto e alla fine ferma quasi tutto ciò che scivola sul suolo è l’attrito. Ne parla il prossimo articolo, Attrito.

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