Conservação da quantidade de movimento

A quantidade de movimento não surge do nada, nem desaparece sem deixar vestígio. Ela só pode ser transferida de um corpo para outro. Quer dois carrinhos batam um no outro, quer duas pessoas se empurrem para longe uma da outra, um ganha quantidade de movimento e o outro perde exatamente a mesma. A soma das duas quantidades de movimento continua a que era. Isso se chama princípio da conservação da quantidade de movimento e é uma das leis mais úteis de toda a física. Graças a ele calculamos o que acontece depois de uma colisão, sem conhecer as forças que agiram nela, nem o tempo em que agiram.

Sistema isolado

Para a lei valer, precisamos primeiro dizer de quais corpos falamos. Escolhemos alguns corpos que nos interessam, por exemplo dois vagões, e os chamaremos de sistema. As forças com que os corpos do sistema agem uns sobre os outros são as forças internas. As forças com que algo de fora age sobre eles, por exemplo a Terra ou os trilhos, são as forças externas.

O sistema é isolado quando nenhuma força externa age sobre ele, ou quando as forças externas se anulam mutuamente e a resultante delas é nula. Um sistema perfeitamente isolado na Terra não existe, mas muitas vezes chegamos bem perto. O patinador no gelo é puxado pela Terra para baixo e o gelo o sustenta por baixo com uma força de mesmo módulo, então essas duas forças se anulam. O atrito dos patins é pequeno e o desprezamos.

Uma pedra que cai de um penhasco, ao contrário, não é um sistema isolado. Ela é puxada pela Terra, que é uma força externa, e a quantidade de movimento dela, por isso, cresce. Mas, quando incluímos no sistema também a Terra, a força entre a pedra e a Terra se torna interna. A pedra puxa a Terra para si com uma força de mesmo módulo que a Terra a puxa, e a Terra ganha uma quantidade de movimento de mesmo módulo e sentido oposto, só que, com a sua enorme massa, com velocidade ínfima. O mesmo acontece com a bola de tênis rebatida na parede. A quantidade de movimento 2,4 kg·m/s de que ela se desfez foi recebida pela parede e, com ela, pela Terra inteira, que, por causa da sua massa, saiu em movimento com uma lentidão imperceptível.

A quantidade de movimento total do sistema é a soma vetorial das quantidades de movimento de todos os seus corpos. Com dois corpos:

$\vec{Q} = {\vec{Q}}_{1} + {\vec{Q}}_{2}$

Quando os corpos se movem sobre uma mesma reta, escolhemos o sentido positivo e somamos as quantidades de movimento como números com sinal. O corpo que anda contra o sentido positivo tem quantidade de movimento negativa.

Por que a quantidade de movimento total não muda

Tomemos dois corpos de um sistema isolado, que agem um sobre o outro por um instante, quer colidam, quer se empurrem para longe. Outras forças não agem sobre eles, ou se anulam, de modo que a quantidade de movimento de cada um deles é mudada só pela força do outro. O corpo 2 age sobre o corpo 1 com a força ${\vec{F}}_{1}$ . Pela terceira lei de Newton, o corpo 1 age sobre o corpo 2 com uma força de mesmo módulo e sentido oposto:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

As duas forças surgem no mesmo instante e no mesmo instante desaparecem, então agem pelo mesmo tempo, durante Δt. O impulso é igual à variação da quantidade de movimento, por isso as quantidades de movimento dos dois corpos mudam de

$\begin{aligned} Δ {\vec{Q}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{Q}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

As variações da quantidade de movimento têm o mesmo módulo e são opostas. Somamos:

$\begin{aligned} Δ {\vec{Q}}_{1} + Δ {\vec{Q}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

A quantidade de movimento total não mudou. O que um corpo ganhou, o outro perdeu. A força na colisão, é verdade, não é constante, mas isso não atrapalha. Dividimos a colisão toda em instantes curtíssimos; em cada um deles as duas forças têm o mesmo módulo e são opostas, então a quantidade de movimento total não muda em nenhum.

Dentro do sistema, os corpos podem colidir, empurrar e repelir como quiserem. As forças internas vêm sempre em pares de ação e reação, então não podem mudar a quantidade de movimento total. Só uma força externa consegue mudá-la. O mesmo vale para mais corpos, cada par apenas troca quantidade de movimento. O Barão de Münchhausen, que teria se puxado sozinho pelos cabelos para fora de um pântano, portanto, inventou essa história. A mão puxa os cabelos, os cabelos puxam a mão e as duas forças ficam dentro do barão e não mudam a quantidade de movimento total dele. Com isso deduzimos a lei:

A quantidade de movimento total de um sistema isolado não muda. As quantidades de movimento antes do processo (sem linha) e depois dele (com linha) têm a mesma soma:

${\vec{Q}}_{1} + {\vec{Q}}_{2} = {\vec{Q}}_{1}^{'} + {\vec{Q}}_{2}^{'}$

Atenção: só a soma é constante. A quantidade de movimento dos corpos individuais pode mudar e em geral muda.

Recuo do rifle

Um caçador dispara um rifle de massa 4 kg. A bala de massa 10 g sai com velocidade de 800 m/s. Com que velocidade o rifle vai para trás? Por enquanto não consideramos as mãos e o ombro do caçador, o rifle simplesmente está solto no ar.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Escolhemos o sentido positivo no sentido do voo da bala. Antes do disparo o rifle e a bala estão parados, a quantidade de movimento total é nula. Ela precisa ser nula também depois do disparo:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Subtraímos a quantidade de movimento da bala e dividimos pela massa do rifle:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Substituímos:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

O rifle sai com velocidade de 2 m/s e o sinal de menos diz que é para trás, contra o voo da bala. A bala e o rifle têm quantidade de movimento de mesmo módulo, 8 kg·m/s, só que de sentidos opostos. O rifle, porém, tem uma massa quatrocentas vezes maior e, por isso, é quatrocentas vezes mais lento. Desprezamos a quantidade de movimento dos gases da explosão, que saem do cano junto com a bala.

Dois metros por segundo são mais de sete quilômetros por hora. Quem segura o rifle só de leve leva uma bela pancada da coronha no ombro. Por isso a coronha se apoia firmemente no ombro. O rifle então sai em movimento junto com o atirador e a quantidade de movimento 8 kg·m/s se distribui por uma massa muito maior. Com um atirador de massa 80 kg é

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

O atirador só é empurrado de leve e, quando se firma bem no chão, nem isso.

Duas patinadoras

No gelo, de frente uma para a outra, estão as patinadoras Teresa e Lúcia. Elas apoiam as palmas das mãos nas palmas uma da outra e se empurram. Teresa tem massa de 50 kg, Lúcia 60 kg. Lúcia sai com velocidade de 1 m/s. Com que velocidade sai Teresa?

Escolhemos o sentido positivo no sentido para onde Lúcia sai e indicamos Teresa com o índice 1. Antes do empurrão as duas estão paradas, então a quantidade de movimento total é nula e, depois, também:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Isolamos a velocidade de Teresa e substituímos:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Teresa sai com velocidade de 1,2 m/s para o lado oposto. Conferimos que as quantidades de movimento realmente se subtraem até zero:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Cada uma recebeu quantidade de movimento de 60 kg·m/s, cada uma para um lado.

Teresa (em vermelho) e Lúcia (em azul) antes do empurrão (em cinza) e depois dele, velocidades v⃗_1' e v⃗_2'

As velocidades das patinadoras estão na razão 1,2:1, isto é, 6:5, e essa é a razão inversa das massas delas, 50:60. A patinadora mais leve sai mais depressa. Não importa com que força elas se empurraram. Se elas se empurrassem pelo mesmo tempo com força duas vezes maior, as duas sairiam duas vezes mais depressa, mas a razão continuaria 6:5.

E também não importa qual delas empurrou. É tentador pensar que, quando só Teresa empurra e Lúcia mantém as mãos firmes, sai principalmente Lúcia. Mas as forças do par têm o mesmo módulo, não importa quem empurre, e a mais leve, Teresa, sai de novo mais depressa.

O salto de um barquinho para a margem se baseia no mesmo princípio. O saltador se impulsiona contra o barquinho e o barquinho contra ele, então, enquanto ele voa para a frente, o barquinho escorrega para trás. Quando é leve, ele se afasta um bocado e o saltador, em vez de cair na margem, cai na água.

Colisão de vagões

Num pátio de manobras, um vagão de massa 20 t anda com velocidade de 2 m/s e bate num vagão parado de mesma massa. Os engates automáticos travam na batida e os vagões seguem acoplados. Com que velocidade?

Uma colisão depois da qual os corpos ficam juntos e seguem em conjunto se chama colisão perfeitamente inelástica. Escolhemos o sentido positivo no sentido de marcha do primeiro vagão.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Depois da colisão os dois vagões têm a mesma velocidade v', então a quantidade de movimento deles é a de um único corpo de massa m₁ + m₂. O princípio da conservação da quantidade de movimento:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Antes da colisão só o primeiro vagão tem quantidade de movimento:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Depois da colisão, os dois vagões juntos precisam ter a mesma quantidade de movimento. Dividimos por sua massa total:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Os vagões acoplados andam com velocidade de 1 m/s, metade da velocidade original. A massa dobrou e a quantidade de movimento permaneceu a mesma, então a velocidade precisou cair à metade. Se o vagão batesse num par de vagões acoplados parados, a mesma quantidade de movimento se distribuiria por uma massa três vezes maior, de 60.000 kg, e os três andariam com um terço da velocidade, cerca de 0,67 m/s.

Um vagão bate num vagão parado e os vagões acoplados seguem com metade da velocidade

As marcas laranja mostram onde estava a frente do vagão vermelho depois de intervalos de tempo iguais. Enquanto o vagão vermelho anda sozinho, elas ficam à mesma distância umas das outras. Depois do acoplamento com o vagão azul, os espaçamentos continuam iguais, só que pela metade.

Agora vem um caso mais traiçoeiro. O segundo vagão não está parado, mas anda ao encontro do primeiro com velocidade de 1 m/s. Contra o sentido positivo, então v₂ = −1 m/s. Seria um erro somar as quantidades de movimento dos dois vagões sem considerar o sentido, os vagões acoplados sairiam então com velocidade de 1,5 m/s. Por isso, substituímos a velocidade do segundo vagão com o sinal de menos:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Os vagões acoplados andarão com velocidade de 0,5 m/s no sentido em que andava o primeiro vagão. Se andassem um contra o outro com a mesma rapidez, parariam no lugar.

Os vagões, de fato, não são um sistema isolado, as rodas atritam com os trilhos. Essas forças externas, porém, são pequenas e a colisão dura só uma fração de segundo, então, nesse tempo, mudam a quantidade de movimento dos vagões de modo desprezível. As forças entre os vagões que colidem são muitas vezes maiores. Por isso podemos usar o princípio da conservação da quantidade de movimento nas colisões, mesmo que o sistema não seja totalmente isolado.

O foguete

O foguete está no espaço, longe dos planetas, e a sua quantidade de movimento total é, com o combustível, nula. O motor queima o combustível e expele gases quentes pela tubeira para trás, com velocidade enorme. Os gases recebem assim quantidade de movimento para trás e, para que a quantidade de movimento total do foguete com os gases continue nula, o foguete precisa ganhar uma quantidade de movimento de mesmo módulo para a frente. O foguete é, na verdade, um rifle que a cada segundo dispara para trás uma enorme quantidade de minúsculas “balas” e a cada vez acelera um pouquinho para a frente.

Sobre o sistema foguete e gases não precisa agir nada de fora, o foguete não precisa de chão nem de ar e acelera também no vácuo. Ele se impulsiona contra os gases que ele mesmo carrega e ele mesmo lança fora. Quanto mais gás por segundo ele lança e quanto mais depressa, maior a quantidade de movimento que transmite ao gás e mais ele mesmo acelera.

A quantidade de movimento, numa colisão, só passa de corpo para corpo. A força que realmente tira movimento e acaba parando quase tudo o que desliza pelo chão é o atrito. Dele trata o próximo artigo, Atrito.

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