Wet van behoud van impuls

Impuls ontstaat niet uit het niets en verdwijnt ook niet spoorloos. Hij kan alleen van het ene voorwerp op het andere worden overgedragen. Of twee karretjes tegen elkaar botsen of twee mensen zich van elkaar afduwen, de een krijgt impuls en de ander verliest precies evenveel. De som van beide impulsen blijft zoals hij was. Dat heet de wet van behoud van impuls en ze hoort bij de nuttigste wetten van de hele natuurkunde. Dankzij haar kunnen we berekenen wat er na een botsing gebeurt, zonder de krachten te kennen die daarbij werkten, en zonder de tijd waarin ze werkten.

Geïsoleerd systeem

Om de wet te laten gelden, moeten we eerst zeggen over welke voorwerpen we het hebben. We kiezen een paar voorwerpen die ons interesseren, bijvoorbeeld twee wagons, en die noemen we een systeem. De krachten waarmee de voorwerpen van het systeem op elkaar werken zijn inwendige krachten. De krachten waarmee iets van buiten erop werkt, bijvoorbeeld de aarde of de rails, zijn uitwendige krachten.

Een systeem is geïsoleerd als er geen uitwendige krachten op werken, of als de uitwendige krachten elkaar opheffen en hun resulterende kracht nul is. Een volkomen geïsoleerd systeem bestaat op aarde niet, maar we komen er vaak dicht bij. Aan een schaatser op het ijs trekt de aarde omlaag en het ijs duwt hem van onderen met een even grote kracht omhoog, dus die twee krachten heffen elkaar op. De wrijving van de schaatsen is klein en verwaarlozen we.

Een steen die van een rots valt is daarentegen geen geïsoleerd systeem. De aarde trekt eraan, dat is een uitwendige kracht, en zijn impuls neemt daarom toe. Maar als we ook de aarde bij het systeem nemen, wordt de kracht tussen steen en aarde een inwendige. De steen trekt de aarde naar zich toe met een even grote kracht als de aarde hem, en de aarde krijgt een even grote impuls in de tegengestelde richting, alleen heeft ze bij haar enorme massa een verwaarloosbaar kleine snelheid. Zo is het ook bij de tennisbal die van de muur terugkaatst. De impuls van 2,4 kg·m/s die hij kwijtraakte, is overgenomen door de muur en daarmee door de hele aarde, die door haar massa onmerkbaar langzaam in beweging kwam.

De totale impuls van een systeem is de vectorsom van de impulsen van al zijn voorwerpen. Bij twee voorwerpen:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Als de voorwerpen zich langs één rechte lijn bewegen, kiezen we een positieve richting en tellen we de impulsen op als getallen met een teken. Een voorwerp dat tegen de positieve richting in beweegt, heeft een negatieve impuls.

Waarom de totale impuls niet verandert

We nemen twee voorwerpen van een geïsoleerd systeem die een tijdje op elkaar werken, of ze nu botsen of zich van elkaar afduwen. Andere krachten werken niet op hen, of ze heffen elkaar op, dus de impuls van elk van hen wordt alleen door de kracht van het andere veranderd. Voorwerp 2 werkt op voorwerp 1 met kracht ${\vec{F}}_{1}$ . Volgens de derde wet van Newton werkt voorwerp 1 op voorwerp 2 met een even grote kracht in de tegengestelde richting:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Beide krachten ontstaan op hetzelfde moment en verdwijnen op hetzelfde moment, dus ze werken even lang, gedurende de tijd Δt. De stoot is gelijk aan de verandering van impuls, daarom veranderen de impulsen van beide voorwerpen met

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

De veranderingen van impuls zijn even groot en tegengesteld. We tellen ze op:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

De totale impuls is niet veranderd. Wat het ene voorwerp kreeg, verloor het andere. De kracht bij een botsing is weliswaar niet constant, maar dat maakt niet uit. We verdelen de hele botsing in heel korte momenten; in elk daarvan zijn beide krachten even groot en tegengesteld, dus de totale impuls verandert in geen enkel moment.

Binnen het systeem kunnen de voorwerpen botsen, duwen en afstoten zoveel ze willen. Inwendige krachten komen altijd in paren van actie en reactie, dus ze kunnen de totale impuls niet veranderen. Veranderen kan alleen een uitwendige kracht. Hetzelfde geldt voor meer voorwerpen, elk paar wisselt alleen impuls uit. Baron van Münchhausen, die zichzelf naar verluidt aan zijn eigen haar uit het moeras trok, heeft dat dus verzonnen. De hand trekt aan het haar, het haar aan de hand en beide krachten blijven binnen de baron en veranderen zijn totale impuls niet. Zo hebben we de wet afgeleid:

De totale impuls van een geïsoleerd systeem verandert niet. De impulsen vóór het gebeuren (zonder accent) en erna (met accent) hebben dezelfde som:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Pas op, alleen de som is constant. De impuls van de afzonderlijke voorwerpen kan veranderen en doet dat meestal.

Terugslag van een geweer

Een jager vuurt een geweer af met een massa van 4 kg. Een kogel met een massa van 10 g vliegt weg met 800 m/s. Hoe snel beweegt het geweer naar achteren? De handen en de schouder van de jager laten we voorlopig buiten beschouwing, het geweer hangt gewoon vrij in de lucht.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

De positieve richting kiezen we in de vliegrichting van de kogel. Vóór het schot staan het geweer en de kogel stil, de totale impuls is nul. Ze moet ook na het schot nul zijn:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

We trekken de impuls van de kogel af en delen door de massa van het geweer:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

We vullen in:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Het geweer komt in beweging met 2 m/s en het minteken zegt dat het naar achteren gaat, tegen de vlucht van de kogel in. De kogel en het geweer hebben een even grote impuls, 8 kg·m/s, alleen met tegengestelde richting. Het geweer heeft echter vierhonderd keer zoveel massa en is daarom vierhonderd keer langzamer. De impuls van de verbrandingsgassen die samen met de kogel uit de loop komen, hebben we verwaarloosd.

Twee meter per seconde is meer dan zeven kilometer per uur. Wie het geweer maar losjes vasthoudt, krijgt de kolf flink tegen de schouder. Daarom zet je de kolf stevig tegen de schouder. Het geweer komt dan samen met de schutter in beweging en de impuls van 8 kg·m/s wordt verdeeld over een veel grotere massa. Bij een schutter met een massa van 80 kg is het

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

De schutter wordt maar licht geduwd, en als hij zich stevig schrap zet op de grond, zelfs dat niet.

Twee schaatssters

Op het ijs staan schaatssters Tess en Lieke tegenover elkaar. Ze zetten hun handpalmen tegen elkaars handpalmen en duwen zich af. Tess heeft een massa van 50 kg, Lieke 60 kg. Lieke glijdt weg met 1 m/s. Hoe snel glijdt Tess weg?

De positieve richting kiezen we in de richting waarin Lieke wegglijdt en Tess noteren we met index 1. Voor het afduwen staan beiden stil, dus de totale impuls is ook daarna nul:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

We werken de formule om naar de snelheid van Tess en vullen in:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Tess glijdt met 1,2 m/s de andere kant op. We controleren dat de impulsen echt tot nul optellen:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Ze kregen allebei een impuls van 60 kg·m/s, elk in een andere richting.

Tess (rood) en Lieke (blauw) vóór het afduwen (grijs) en erna, de snelheden v⃗_1' en v⃗_2'

De snelheden van de schaatssters zijn in de verhouding 1,2:1, dus 6:5, en dat is de omgekeerde verhouding van hun massa's 50:60. De lichtere schaatsster glijdt sneller weg. Hoe hard ze zich afduwden, maakt niet uit. Als ze zich even lang met een twee keer zo grote kracht zouden afduwen, zouden beiden twee keer zo snel wegglijden, maar de verhouding blijft 6:5.

Het maakt ook niet uit wie van hen duwde. Het is verleidelijk te denken dat als alleen Tess duwt en Lieke haar handen stevig vasthoudt, vooral Lieke wegglijdt. De krachten in een paar zijn echter even groot, wie er ook duwt, en de lichtere Tess glijdt weer sneller weg.

Op hetzelfde principe berust een sprong van een klein bootje naar de wal. De springer zet zich af van het bootje en het bootje van hem, dus terwijl hij naar voren vliegt, schuift het bootje naar achteren. Als het licht is, glijdt het een stuk weg en landt de springer in plaats van op de wal in het water.

Botsing van wagons

Op een rangeerterrein rijdt een wagon met een massa van 20 t met 2 m/s en botst tegen een stilstaande wagon met dezelfde massa. De automatische koppelingen klikken bij de botsing vast en de wagons rijden verbonden verder. Hoe snel?

Een botsing waarna de voorwerpen verbonden blijven en samen verdergaan, heet een volledig inelastische botsing. De positieve richting kiezen we in de rijrichting van de eerste wagon.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Na de botsing hebben beide wagons dezelfde snelheid v', dus hun impuls is de impuls van één voorwerp met massa m₁ + m₂. De wet van behoud van impuls:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Vóór de botsing heeft alleen de eerste wagon impuls:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Dezelfde impuls moeten beide wagons na de botsing samen hebben. We delen haar door hun totale massa:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

De verbonden wagons rijden met 1 m/s, de helft van de oorspronkelijke snelheid. De massa is verdubbeld en de impuls bleef gelijk, dus de snelheid moest halveren. Als de wagon tegen een stilstaand tweetal gekoppelde wagons zou botsen, zou dezelfde impuls worden verdeeld over een driemaal zo grote massa 60 000 kg en zouden alle drie met een derde van de snelheid rijden, ongeveer 0,67 m/s.

Een wagon botst tegen een stilstaande wagon en de verbonden wagons rijden met halve snelheid verder

De oranje markeringen laten zien waar de voorkant van de rode wagon was na even lange tijden. Zolang de rode wagon alleen rijdt, liggen ze even ver uit elkaar. Na het koppelen met de blauwe wagon zijn de afstanden nog steeds gelijk, alleen de helft zo groot.

Nu komt een verraderlijker geval. De tweede wagon staat niet stil, maar rijdt de eerste tegemoet met 1 m/s. Tegen de positieve richting in, dus v₂ = −1 m/s. Het zou een fout zijn de impulsen van beide wagons op te tellen zonder op de richting te letten, de verbonden wagons zouden dan met 1,5 m/s uitkomen. De snelheid van de tweede wagon vullen we daarom in met het minteken:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

De verbonden wagons rijden met 0,5 m/s in de richting waarin de eerste wagon reed. Als ze even snel naar elkaar toe reden, zouden ze op hun plaats stoppen.

Wagons zijn tenslotte geen geïsoleerd systeem, de wielen wrijven langs de rails. Die uitwendige krachten zijn echter klein en de botsing duurt maar een fractie van een seconde, dus in die tijd veranderen ze de impuls van de wagons verwaarloosbaar. De krachten tussen de botsende wagons zijn vele malen groter. Daarom kunnen we de wet van behoud van impuls bij botsingen gebruiken, ook al is het systeem niet helemaal geïsoleerd.

Raket

Een raket staat in de ruimte ver van planeten en zijn totale impuls is met de brandstof nul. De motor verbrandt brandstof en stoot hete gassen met enorme snelheid door de straalpijp naar achteren. De gassen krijgen zo impuls naar achteren, en om de totale impuls van de raket met de gassen nul te laten blijven, moet de raket een even grote impuls naar voren krijgen. Een raket is eigenlijk een geweer dat elke seconde een enorme hoeveelheid minuscule “kogels” naar achteren afvuurt en zelf telkens een stukje naar voren versnelt.

Op het systeem raket en gassen hoeft van buiten niets te werken, de raket heeft geen grond of lucht nodig en versnelt ook in vacuüm. Hij zet zich af van de gassen die hij zelf meedraagt en zelf uitstoot. Hoe meer gas hij per seconde uitstoot en hoe sneller, hoe meer impuls hij eraan geeft en hoe meer hij zelf versnelt.

Impuls stroomt bij een botsing alleen van voorwerp naar voorwerp. De kracht die beweging echt wegneemt en uiteindelijk bijna alles stopt wat over de grond schuift, is wrijving. Daarover gaat het volgende artikel, Wrijving.

« Vorige: Impuls en stoot

Volgende: Wrijving »