Impulsbevarelse

Impuls opstår ikke af ingenting, og den forsvinder heller ikke sporløst. Den kan kun overføres fra et legeme til et andet. Hvad enten to vogne støder sammen, eller to mennesker skubber fra hinanden, får det ene legeme impuls, og det andet mister præcis lige så meget. Summen af de to impulser forbliver, som den var. Det kalder vi loven om impulsens bevarelse, og den hører til de mest nyttige love i hele fysikken. Takket være den kan vi regne ud, hvad der sker efter et stød, uden at kende de kræfter, der virkede under det, eller hvor længe de virkede.

Isoleret system

For at loven gælder, må vi først sige, hvilke legemer vi taler om. Vi udvælger nogle legemer, som vi interesserer os for, for eksempel to jernbanevogne, og dem kalder vi et system. De kræfter, hvormed systemets legemer virker på hinanden, er indre kræfter. De kræfter, hvormed noget udefra virker på dem, for eksempel Jorden eller skinnerne, er ydre kræfter.

Et system er isoleret, når der ikke virker nogen ydre kræfter på det, eller når de ydre kræfter ophæver hinanden, så deres resulterende kraft er nul. Et fuldstændig isoleret system findes ikke på Jorden, men ofte kommer vi det meget nær. Jorden trækker skøjteløberen på isen nedad, og isen holder ham op nedefra med en lige så stor kraft, så de to kræfter ophæver hinanden. Skøjternes gnidning er lille, og den ser vi bort fra.

En sten, der falder ned fra en klippe, er derimod ikke et isoleret system. Jorden trækker i den, det er en ydre kraft, og stenens impuls vokser derfor. Men hvis vi tager Jorden med i systemet, bliver kraften mellem stenen og Jorden en indre kraft. Stenen trækker Jorden mod sig med en lige så stor kraft, som Jorden trækker i den, og Jorden får en lige så stor impuls i modsat retning, bare med en ubetydelig fart på grund af sin enorme masse. Det samme gælder en tennisbold, der preller af en væg. Den impuls på 2,4 kg·m/s, den mistede, blev overtaget af væggen og dermed hele Jorden, som på grund af sin masse sættes i gang umærkeligt langsomt.

Systemets samlede impuls er vektorsummen af impulserne af alle dets legemer. For to legemer:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Når legemerne bevæger sig langs en ret linje, vælger vi en positiv retning og lægger impulserne sammen som tal med fortegn. Et legeme, der bevæger sig mod den positive retning, har negativ impuls.

Hvorfor den samlede impuls ikke ændrer sig

Lad os tage to legemer i et isoleret system, der et øjeblik virker på hinanden, uanset om de støder sammen, eller de skubber fra hinanden. Andre kræfter virker ikke på dem, eller de ophæver hinanden, så hvert legemes impuls ændres kun af det andet legemes kraft. Legeme 2 virker på legeme 1 med kraften ${\vec{F}}_{1}$ . Ifølge Newtons 3. lov virker legeme 1 på legeme 2 med en lige så stor kraft i modsat retning:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Begge kræfter opstår i samme øjeblik og forsvinder i samme øjeblik, så de virker lige længe, i tiden Δt. Kraftstødet er lig med ændringen i impuls, derfor ændres de to legemers impulser med

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Impulsændringerne er lige store og modsatte. Vi lægger dem sammen:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Den samlede impuls ændrede sig ikke. Hvad det ene legeme fik, mistede det andet. Kraften ved et stød er ganske vist ikke konstant, men det gør ikke noget. Vi deler hele stødet op i korte øjeblikke; i hvert af dem er de to kræfter lige store og modsatte, så den samlede impuls ændrer sig ikke i nogen af dem.

Inde i systemet kan legemerne støde sammen, trykke og frastøde, som de vil. Indre kræfter optræder altid i par af aktion og reaktion, så de kan ikke ændre den samlede impuls. Det kan kun en ydre kraft. Det samme gælder for flere legemer, hvert par udveksler kun impuls. Baron Münchhausen, der efter sigende trak sig selv op af sumpen i håret, må altså have fundet på det. Hånden trækker i håret, håret i hånden, og begge kræfter forbliver inde i baronen og ændrer ikke hans samlede impuls. Dermed har vi udledt loven:

Den samlede impuls i et isoleret system ændrer sig ikke. Impulserne før hændelsen (uden apostrof) og efter den (med apostrof) har den samme sum:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Pas på, kun summen er konstant. De enkelte legemers impuls kan ændre sig, og det gør den som regel.

Riflens rekyl

En jæger affyrer en riffel med massen 4 kg. En kugle med massen 10 g forlader løbet med farten 800 m/s. Hvor hurtigt bevæger riflen sig bagud? Jægerens hænder og skulder ser vi bort fra, riflen hænger bare frit i luften.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Den positive retning vælger vi i kuglens flyveretning. Før skuddet står både riffel og kugle stille, den samlede impuls er nul. Den skal også være nul efter skuddet:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vi trækker kuglens impuls fra og deler med riflens masse:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Vi indsætter:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Riflen sættes i gang med farten 2 m/s, og minusset siger, at det er bagud, mod kuglens flyveretning. Kuglen og riflen har lige stor impuls, 8 kg·m/s, bare med modsat retning. Men riflen har fire hundrede gange større masse, og derfor er den fire hundrede gange langsommere. Impulsen af forbrændingsgasserne, der forlader løbet sammen med kuglen, har vi ikke taget med.

To meter i sekundet er over syv kilometer i timen. Den, der kun holder riflen løst, får et ordentligt slag af skæftet i skulderen. Derfor støtter man skæftet fast mod skulderen. Riflen sættes så i gang sammen med skytten, og impulsen 8 kg·m/s fordeles på en meget større masse. Med en skytte med massen 80 kg er det

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Skytten får kun et let skub, og hvis han støtter sig godt mod jorden, ikke engang det.

To skøjteløbere

På isen står skøjteløberne Clara og Julie over for hinanden. De støtter håndfladerne mod hinandens og skubber fra. Clara har massen 50 kg, Julie 60 kg. Julie glider væk med farten 1 m/s. Hvor hurtigt glider Clara væk?

Den positive retning vælger vi i den retning, Julie glider hen, og Clara får indeks 1. Før afskubbet står begge stille, så den samlede impuls er nul, også bagefter:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vi udtrykker Claras hastighed og indsætter:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Clara glider væk med farten 1,2 m/s til den modsatte side. Vi kontrollerer, at impulserne virkelig går ud med nul:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Hver af dem fik impulsen 60 kg·m/s, hver til sin side.

Clara (rødt) og Julie (blåt) før afskubbet (gråt) og efter det, hastighederne v⃗_1' og v⃗_2'

Skøjteløbernes farter forholder sig som 1,2:1, altså 6:5, og det er det omvendte forhold af deres masser 50:60. Den lettere skøjteløber glider hurtigere væk. Det er uden betydning, hvor hårdt de skubbede fra hinanden. Hvis de skubbede lige længe med en dobbelt så stor kraft, ville begge glide dobbelt så hurtigt, men forholdet forbliver 6:5.

Og det er heller ikke afgørende, hvem af dem der skubbede. Man fristes til at tro, at når kun Clara skubber, og Julie holder armene stive, glider mest Julie væk. Men kræfterne i et par er lige store, uanset hvem der skubber, og den lettere Clara glider igen hurtigere væk.

På det samme princip bygger et spring fra en lille båd op på bredden. Den, der springer, skubber fra båden, og båden fra ham, så mens han flyver fremad, glider båden bagud. Er den let, glider den et stykke væk fra ham, og i stedet for på bredden lander springeren i vandet.

Sammenstød mellem vogne

På en rangerbanegård kører en jernbanevogn med massen 20 t med farten 2 m/s og støder ind i en stillestående vogn med den samme masse. De automatiske koblinger smækker i ved sammenstødet, og vognene fortsætter sammenkoblet. Med hvilken fart?

Et stød, hvorefter legemerne forbliver sammenkoblet og fortsætter sammen, kalder vi et uelastisk stød. Den positive retning vælger vi i den første vogns kørselsretning.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Efter stødet har begge vogne den samme hastighed v', så deres impuls er impulsen af ét legeme med massen m₁ + m₂. Loven om impulsens bevarelse:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Før stødet har kun den første vogn impuls:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Den samme impuls skal begge vogne have efter stødet tilsammen. Vi deler den med deres samlede masse:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

De sammenkoblede vogne kører med farten 1 m/s, det halve af den oprindelige fart. Massen blev fordoblet, og impulsen forblev den samme, så farten måtte falde til det halve. Hvis vognen ramte to sammenkoblede stillestående vogne, ville den samme impuls blive fordelt på den tredobbelte masse 60.000 kg, og alle tre ville køre med en tredjedel af farten, cirka 0,67 m/s.

En vogn støder ind i en stillestående vogn, og de sammenkoblede vogne fortsætter med halv fart

De orange mærker viser, hvor den røde vogns forende var efter lige lange tidsrum. Så længe den røde vogn kører alene, er der lige langt mellem dem. Efter koblingen med den blå vogn er afstandene stadig ens, bare halvt så store.

Nu kommer et vanskeligere tilfælde. Den anden vogn står ikke stille, men kører mod den første med farten 1 m/s. Mod den positive retning, så v₂ = −1 m/s. Det ville være en fejl at lægge begge vognes impulser sammen uden hensyn til retningen, så ville de sammenkoblede vogne få farten 1,5 m/s. Den anden vogns hastighed indsætter vi derfor med minus:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

De sammenkoblede vogne kører med farten 0,5 m/s i den retning, som den første vogn kørte. Hvis de kørte mod hinanden med samme fart, ville de standse på stedet.

Vognene er trods alt ikke et isoleret system, hjulene gnider mod skinnerne. Disse ydre kræfter er dog små, og stødet varer kun en brøkdel af et sekund, så de ændrer vognenes impuls ubetydeligt i den tid. Kræfterne mellem vognene, der støder sammen, er mange gange større. Derfor kan vi bruge loven om impulsens bevarelse ved stød, selv om systemet ikke er helt isoleret.

Raketten

Raketten står i rummet langt fra planeterne, og dens samlede impuls er med brændstoffet nul. Motoren forbrænder brændstoffet og driver de varme gasser ud gennem dysen bagud med enorm hastighed. Gasserne får dermed impuls bagud, og for at den samlede impuls af raketten og gasserne forbliver nul, må raketten få en lige så stor impuls fremad. Raketten er i virkeligheden en riffel, der hvert sekund affyrer en enorm mængde små »kugler« bagud og selv hver gang accelererer en smule fremad.

På systemet raket og gasser behøver der ikke virke noget udefra, raketten har ikke brug for nogen jord eller luft og accelererer også i vakuum. Den støtter sig mod gasser, som den selv bærer med sig og selv kaster ud. Jo mere gas den kaster ud pr. sekund, og jo hurtigere, desto større impuls giver den dem, og desto mere accelererer den selv.

Ved et stød flyder impulsen bare over fra legeme til legeme. Den kraft, der virkelig tager bevægelsen væk og til sidst standser næsten alt, hvad der glider hen ad jorden, er gnidning. Den handler den næste artikel om, Gnidning.

« Forrige: Impuls og kraftstød

Næste: Gnidning »