Zasada zachowania pędu

Pęd nie powstaje z niczego i nie znika bez śladu. Można go tylko przekazać z jednego ciała na drugie. Czy zderzą się dwa wózki, czy odepchną się od siebie dwie osoby, jedno ciało pęd zyska, a drugie dokładnie tyle samo straci. Suma obu pędów pozostanie taka, jaka była. Nazywa się to zasadą zachowania pędu i należy do najbardziej użytecznych praw całej fizyki. Dzięki niej obliczymy, co stanie się po zderzeniu, nie znając sił, które przy nim działały, ani czasu ich działania.

Układ izolowany

Żeby zasada obowiązywała, musimy najpierw ustalić, o jakich ciałach mówimy. Wybieramy kilka ciał, które nas interesują, na przykład dwa wagony, i nazywamy je układem. Siły, którymi ciała układu działają na siebie nawzajem, to siły wewnętrzne. Siły, którymi działa na nie coś z zewnątrz, na przykład Ziemia albo tory, to siły zewnętrzne.

Układ jest izolowany, gdy nie działają na niego żadne siły zewnętrzne albo gdy siły zewnętrzne wzajemnie się znoszą i ich wypadkowa jest zerowa. Idealnie izolowany układ na Ziemi nie istnieje, często jednak możemy się do niego bardzo zbliżyć. Łyżwiarzy na lodzie Ziemia ciągnie w dół, a lód podtrzymuje ich od spodu siłą o tej samej wartości, więc te dwie siły się znoszą. Tarcie łyżew jest małe i je pominiemy.

Kamień spadający ze skały nie jest natomiast układem izolowanym. Ciągnie go Ziemia, to siła zewnętrzna, i dlatego jego pęd rośnie. Gdy jednak włączymy do układu także Ziemię, siła między kamieniem a Ziemią staje się wewnętrzna. Kamień ciągnie Ziemię ku sobie siłą o tej samej wartości, z jaką Ziemia ciągnie jego, i Ziemia zyskuje pęd o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie, tylko przy swojej ogromnej masie ze znikomą prędkością. Podobnie jest z piłką tenisową odbitą od ściany. Pęd 2,4 kg·m/s, który straciła, przejęła ściana, a z nią cała Ziemia, która z powodu swojej masy ruszyła niezauważalnie wolno.

Całkowity pęd układu to suma wektorowa pędów wszystkich jego ciał. Dla dwóch ciał:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Gdy ciała poruszają się wzdłuż jednej prostej, wybieramy dodatni zwrot i pędy dodajemy jak liczby ze znakiem. Ciało, które jedzie przeciwnie do dodatniego zwrotu, ma ujemny pęd.

Dlaczego całkowity pęd się nie zmienia

Weźmy dwa ciała układu izolowanego, które przez chwilę na siebie działają, czy to się zderzając, czy odpychając od siebie. Inne siły na nie nie działają albo się znoszą, więc pęd każdego z nich zmienia tylko siła tego drugiego. Ciało 2 działa na ciało 1 siłą ${\vec{F}}_{1}$ . Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona ciało 1 działa na ciało 2 siłą o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Obie siły powstają w tej samej chwili i w tej samej chwili znikają, więc działają tak samo długo, przez czas Δt. Popęd siły jest równy zmianie pędu, dlatego pędy obu ciał zmienią się o

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Zmiany pędu mają tę samą wartość i przeciwne zwroty. Dodajemy je:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Całkowity pęd się nie zmienił. Co jedno ciało zyskało, drugie straciło. Siła przy zderzeniu nie jest wprawdzie stała, ale to nie przeszkadza. Całe zderzenie dzielimy na bardzo krótkie chwile; w każdej z nich obie siły mają tę samą wartość i przeciwne zwroty, więc całkowity pęd nie zmienia się w żadnej z nich.

Wewnątrz układu ciała mogą się zderzać, pchać i odpychać, jak chcą. Siły wewnętrzne występują zawsze w parach akcji i reakcji, więc całkowitego pędu zmienić nie mogą. Zmienić go potrafi tylko siła zewnętrzna. To samo dotyczy większej liczby ciał, każda para tylko wymienia się pędem. Baron Münchhausen, który podobno sam wyciągnął się za włosy z bagna, więc to zmyślił. Ręka ciągnie za włosy, włosy za rękę, a obie siły pozostają wewnątrz barona i jego całkowitego pędu nie zmienią. Tym samym wyprowadziliśmy zasadę:

Całkowity pęd układu izolowanego się nie zmienia. Pędy przed zdarzeniem (bez primów) i po nim (z primami) mają tę samą sumę:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Uwaga, stała jest tylko suma. Pęd poszczególnych ciał może się zmieniać i zwykle się zmienia.

Odrzut karabinu

Myśliwy strzela z karabinu o masie 4 kg. Pocisk o masie 10 g wylatuje z prędkością 800 m/s. Jak szybko karabin ruszy do tyłu? Rękami ani ramieniem myśliwego na razie się nie zajmujemy, karabin po prostu wisi swobodnie w powietrzu.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Dodatni zwrot wybieramy zgodnie z kierunkiem lotu pocisku. Przed strzałem karabin i pocisk są w spoczynku, całkowity pęd jest zerowy. Zerowy musi być też po strzale:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Odejmujemy pęd pocisku i dzielimy przez masę karabinu:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Podstawiamy:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Karabin rusza z prędkością 2 m/s, a minus mówi, że do tyłu, przeciwnie do lotu pocisku. Pocisk i karabin mają pęd o tej samej wartości, 8 kg·m/s, tylko o przeciwnym zwrocie. Karabin ma jednak czterysta razy większą masę, dlatego jest czterysta razy wolniejszy. Pęd gazów prochowych, które wylatują z lufy razem z pociskiem, pominęliśmy.

Dwa metry na sekundę to ponad siedem kilometrów na godzinę. Kto trzyma karabin luźno, dostanie kolbą solidny cios w ramię. Dlatego kolbę opiera się mocno o ramię. Karabin rusza wtedy razem ze strzelcem, a pęd 8 kg·m/s rozkłada się na znacznie większą masę. Ze strzelcem o masie 80 kg wychodzi

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Strzelca to tylko lekko popchnie, a gdy mocno zaprze się nogami o ziemię, nawet tego nie poczuje.

Dwie łyżwiarki

Na lodzie stoją naprzeciw siebie łyżwiarki Teresa i Łucja. Opierają się dłońmi o dłonie i odpychają. Teresa ma masę 50 kg, Łucja 60 kg. Łucja odjeżdża z prędkością 1 m/s. Jak szybko odjedzie Teresa?

Dodatni zwrot wybieramy w stronę, w którą odjeżdża Łucja, a Teresę oznaczamy indeksem 1. Przed odepchnięciem obie stoją, więc całkowity pęd jest zerowy także potem:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Wyznaczamy prędkość Teresy i podstawiamy:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Teresa odjedzie z prędkością 1,2 m/s w przeciwną stronę. Sprawdźmy, że pędy naprawdę sumują się do zera:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Każda z nich dostała pęd 60 kg·m/s, każda w inną stronę.

Teresa (na czerwono) i Łucja (na niebiesko) przed odepchnięciem (na szaro) i po nim, prędkości v⃗_1' i v⃗_2'

Prędkości łyżwiarek są w stosunku 1,2:1, czyli 6:5, a to odwrócony stosunek ich mas 50:60. Lżejsza łyżwiarka odjeżdża szybciej. To, jak mocno się odpychały, nie ma znaczenia. Gdyby odpychały się tak samo długo dwa razy większą siłą, obie odjechałyby dwa razy szybciej, ale stosunek pozostałby 6:5.

Nie ma też znaczenia, która z nich pchała. Kusi, żeby pomyśleć, że gdy pcha tylko Teresa, a Łucja trzyma ręce sztywno, odjedzie głównie Łucja. Siły w parze mają jednak tę samą wartość, niezależnie od tego, kto pcha, i lżejsza Teresa znów odjedzie szybciej.

Na tej samej zasadzie opiera się skok z małej łódki na brzeg. Skoczek odpycha się od łódki, a łódka od niego, więc gdy on leci do przodu, łódka odpływa do tyłu. Jeśli jest lekka, odpłynie mu spory kawałek i skoczek zamiast na brzegu wyląduje w wodzie.

Zderzenie wagonów

Na stacji rozrządowej wagon o masie 20 t jedzie z prędkością 2 m/s i uderza w stojący wagon o tej samej masie. Samoczynne sprzęgi przy uderzeniu się zatrzaskują i wagony jadą dalej połączone. Z jaką prędkością?

Zderzenie, po którym ciała pozostają połączone i poruszają się dalej razem, nazywa się zderzeniem niesprężystym. Dodatni zwrot wybieramy zgodnie z kierunkiem jazdy pierwszego wagonu.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Po zderzeniu oba wagony mają tę samą prędkość v', więc ich pęd to pęd jednego ciała o masie m₁ + m₂. Zasada zachowania pędu:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Przed zderzeniem pęd ma tylko pierwszy wagon:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Ten sam pęd muszą mieć po zderzeniu oba wagony razem. Dzielimy go przez ich całkowitą masę:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Połączone wagony jadą z prędkością 1 m/s, połową prędkości początkowej. Masa się podwoiła, a pęd został ten sam, więc prędkość musiała spaść o połowę. Gdyby wagon uderzył w stojącą parę sprzęgniętych wagonów, ten sam pęd rozłożyłby się na trzy razy większą masę 60 000 kg i wszystkie trzy jechałyby z prędkością trzy razy mniejszą, około 0,67 m/s.

Wagon uderza w stojący wagon, a połączone wagony jadą dalej z prędkością o połowę mniejszą

Pomarańczowe znaczniki pokazują, gdzie był przód czerwonego wagonu w równych odstępach czasu. Dopóki czerwony wagon jedzie sam, są od siebie równo oddalone. Po połączeniu z niebieskim wagonem odstępy są nadal równe, tylko o połowę mniejsze.

Teraz bardziej podstępny przypadek. Drugi wagon nie stoi, tylko jedzie naprzeciw pierwszemu z prędkością 1 m/s. Przeciwnie do dodatniego zwrotu, więc v₂ = −1 m/s. Błędem byłoby dodać pędy obu wagonów bez względu na zwrot, połączone wagony wyszłyby wtedy z prędkością 1,5 m/s. Prędkość drugiego wagonu podstawiamy więc razem ze znakiem minus:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Połączone wagony pojadą z prędkością 0,5 m/s w kierunku, w którym jechał pierwszy wagon. Gdyby jechały naprzeciw siebie równie szybko, zatrzymałyby się w miejscu.

Wagony nie są jednak tak do końca układem izolowanym, koła trą o tory. Te siły zewnętrzne są przy tym małe, a zderzenie trwa tylko ułamek sekundy, więc w tym czasie zmieniają pęd wagonów w pomijalnym stopniu. Siły między zderzającymi się wagonami są wielokrotnie większe. Dlatego zasadę zachowania pędu możemy stosować przy zderzeniach, nawet gdy układ nie jest całkiem izolowany.

Rakieta

Rakieta stoi w kosmosie daleko od planet, a jej całkowity pęd razem z paliwem jest zerowy. Silnik spala paliwo i wyrzuca gorące gazy przez dyszę do tyłu z ogromną prędkością. Gazy dostają w ten sposób pęd skierowany do tyłu, a żeby całkowity pęd rakiety razem z gazami pozostał zerowy, rakieta musi nabrać pędu o tej samej wartości skierowanego do przodu. Rakieta to właściwie karabin, który co sekundę wystrzeliwuje do tyłu ogromną liczbę drobnych „pocisków” i za każdym razem sam trochę przyspiesza do przodu.

Na układ rakieta i gazy nic nie musi działać z zewnątrz, rakieta nie potrzebuje żadnej ziemi ani powietrza i przyspiesza także w próżni. Odpycha się od gazów, które sama niesie i sama wyrzuca. Im więcej gazu na sekundę wyrzuci i im szybciej, tym większy pęd mu przekaże i tym bardziej sama przyspieszy.

Pęd przy zderzeniu tylko przelewa się z ciała na ciało. Siłą, która naprawdę odbiera ruch i w końcu zatrzymuje prawie wszystko, co sunie po ziemi, jest tarcie. O nim jest następny artykuł, Tarcie.

« Poprzedni: Pęd i popęd siły

Dalszy: Tarcie »