Bevaring av bevegelsesmengde

Bevegelsesmengde oppstår ikke av ingenting og forsvinner heller ikke sporløst. Den kan bare overføres fra et legeme til et annet. Enten to vogner kolliderer, eller to mennesker skyver fra hverandre, får det ene bevegelsesmengde og det andre mister nøyaktig like mye. Summen av begge forblir slik den var. Det kalles loven om bevaring av bevegelsesmengde, og den hører til de mest nyttige lovene i hele fysikken. Takket være den kan vi regne ut hva som skjer etter en kollisjon uten å kjenne kreftene som virket under den, og heller ikke hvor lenge de virket.

Isolert system

For at loven skal gjelde, må vi først si hvilke legemer vi snakker om. Vi velger ut noen legemer vi er interessert i, for eksempel to vogner, og dem kaller vi et system. Kreftene legemene i systemet virker på hverandre med, er indre krefter. Kreftene noe utenfra virker på dem med, for eksempel Jorda eller skinnene, er ytre krefter.

Et system er isolert når ingen ytre krefter virker på det, eller når de ytre kreftene opphever hverandre og resultanten er null. Et helt isolert system finnes ikke på Jorda, men ofte kommer vi det svært nær. Jorda drar en skøyteløper på isen nedover, og isen holder henne oppe nedenfra med en like stor kraft, så disse to kreftene opphever hverandre. Friksjonen fra skøytene er liten, og den ser vi bort fra.

En stein som faller fra et fjell, er derimot ikke et isolert system. Jorda drar i den, det er en ytre kraft, og bevegelsesmengden vokser derfor. Men når vi tar med Jorda i systemet, blir kraften mellom steinen og Jorda en indre kraft. Steinen drar Jorda mot seg med en like stor kraft som Jorda drar den med, og Jorda får like stor bevegelsesmengde i motsatt retning, bare med en ørliten fart på grunn av den enorme massen. Slik er det også med en tennisball som spretter av en vegg. Bevegelsesmengden 2,4 kg·m/s som den mistet, ble overtatt av veggen og med den hele Jorda, som på grunn av massen kom i gang umerkelig langsomt.

Den samlede bevegelsesmengden i et system er vektorsummen av bevegelsesmengdene til alle legemene i det. For to legemer:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Når legemene beveger seg langs en rett linje, velger vi en positiv retning og legger sammen bevegelsesmengdene som tall med fortegn. Et legeme som beveger seg mot den positive retningen, har negativ bevegelsesmengde.

Hvorfor den samlede bevegelsesmengden ikke endrer seg

Vi tar to legemer i et isolert system som virker på hverandre en stund, enten de kolliderer eller skyver fra hverandre. Andre krefter virker ikke på dem, eller de opphever hverandre, så bevegelsesmengden til hver av dem endres bare av kraften fra det andre. Legeme 2 virker på legeme 1 med kraften ${\vec{F}}_{1}$ . Ifølge Newtons tredje lov virker legeme 1 på legeme 2 med en like stor kraft i motsatt retning:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Begge kreftene oppstår i samme øyeblikk og forsvinner i samme øyeblikk, så de virker like lenge, i tiden Δt. Impulsen er lik endringen i bevegelsesmengde, derfor endrer bevegelsesmengdene til begge legemene seg med

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Endringene i bevegelsesmengde er like store og motsatte. Vi legger dem sammen:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Den samlede bevegelsesmengden endret seg ikke. Det ene legemet fikk det det andre mistet. Kraften ved kollisjonen er riktignok ikke konstant, men det gjør ingenting. Vi deler hele kollisjonen i små øyeblikk; i hvert av dem er begge kreftene like store og motsatte, så den samlede bevegelsesmengden endrer seg ikke i noen av dem.

Inne i systemet kan legemene kollidere, skyve og støte fra seg som de vil. Indre krefter kommer alltid i par av kraft og motkraft, så de kan ikke endre den samlede bevegelsesmengden. Bare en ytre kraft kan endre den. Det samme gjelder for flere legemer, hvert par bytter bare bevegelsesmengde. Baron Münchhausen, som visstnok dro seg selv opp av sumpen etter håret, har altså funnet på det. Hånden drar i håret, håret i hånden, og begge kreftene blir værende inne i baronen og endrer ikke den samlede bevegelsesmengden hans. Dermed har vi utledet loven:

Den samlede bevegelsesmengden i et isolert system endrer seg ikke. Bevegelsesmengdene før hendelsen (uten apostrof) og etter den (med apostrof) har samme sum:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Pass på, det er bare summen som er konstant. Bevegelsesmengden til de enkelte legemene kan endre seg, og det gjør den som regel.

Rekyl fra et gevær

En jeger skyter med et gevær med massen 4 kg. En kule på 10 g flyr ut med farten 800 m/s. Hvor fort beveger geværet seg bakover? Hendene og skulderen til jegeren ser vi foreløpig bort fra, geværet henger rett og slett fritt i lufta.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Positiv retning velger vi i flyretningen til kula. Før skuddet står både geværet og kula stille, den samlede bevegelsesmengden er null. Den må også være null etter skuddet:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vi trekker fra bevegelsesmengden til kula og deler på massen til geværet:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Vi setter inn:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Geværet kommer i gang med farten 2 m/s, og minustegnet sier at det går bakover, mot flyretningen til kula. Kula og geværet har like stor bevegelsesmengde, 8 kg·m/s, bare med motsatt retning. Geværet har imidlertid fire hundre ganger så stor masse, og derfor er det fire hundre ganger saktere. Bevegelsesmengden til forbrenningsgassene som kommer ut av løpet sammen med kula, har vi sett bort fra.

To meter i sekundet er over sju kilometer i timen. Den som holder geværet bare løst, får en kraftig smell av kolben i skulderen. Derfor støttes kolben fast mot skulderen. Geværet kommer da i gang sammen med skytteren, og bevegelsesmengden 8 kg·m/s fordeles på en mye større masse. Med en skytter på 80 kg blir det

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Skytteren blir bare dyttet lett, og når han støtter seg godt mot bakken, ikke engang det.

To skøyteløpere

På isen står skøyteløperne Thea og Live mot hverandre. De støtter håndflatene mot hverandre og skyver fra. Thea har massen 50 kg, Live 60 kg. Live glir av gårde med farten 1 m/s. Hvor fort glir Thea av gårde?

Positiv retning velger vi i retningen Live glir i, og Thea gir vi indeks 1. Før avskyvingen står begge i ro, så den samlede bevegelsesmengden er null, og den er det også etterpå:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vi løser ut farten til Thea og setter inn:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Thea glir av gårde med farten 1,2 m/s til motsatt side. Vi kontrollerer at bevegelsesmengdene virkelig utligner hverandre til null:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Hver av dem fikk bevegelsesmengden 60 kg·m/s, hver til sin side.

Thea (rødt) og Live (blått) før avskyvingen (grått) og etter den, hastighetene v⃗_1' og v⃗_2'

Fartene til skøyteløperne er i forholdet 1,2:1, altså 6:5, og det er det omvendte av forholdet mellom massene deres 50:60. Den lettere skøyteløperen glir raskere av gårde. Hvor hardt de skjøv fra, har ingen betydning. Hvis de i like lang tid hadde skjøvet fra med dobbelt så stor kraft, ville begge glidd dobbelt så fort, men forholdet forblir 6:5.

Og det spiller heller ingen rolle hvem som skjøv. Det frister å tro at når bare Thea skyver og Live holder hendene stille, glir først og fremst Live av gårde. Kreftene i paret er imidlertid like store uansett hvem som skyver, og den lettere Thea glir igjen raskere.

På samme prinsipp hviler hoppet fra en liten båt og i land. Hopperen støter fra båten og båten fra ham, så mens han flyr framover, glir båten bakover. Når den er lett, glir den et stykke bort, og hopperen havner i vannet i stedet for på land.

Kollisjon mellom vogner

På en skiftetomt kjører en vogn med massen 20 t med farten 2 m/s inn i en vogn i ro med samme masse. De automatiske koblingene smekker igjen ved støtet, og vognene fortsetter sammenkoblet. Hvor fort?

En kollisjon der legemene blir hengende sammen og fortsetter sammen, kalles et fullstendig uelastisk støt. Positiv retning velger vi i kjøreretningen til den første vogna.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Etter kollisjonen har begge vognene samme fart v', så bevegelsesmengden deres er bevegelsesmengden til ett legeme med massen m₁ + m₂. Loven om bevaring av bevegelsesmengde:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Før kollisjonen har bare den første vogna bevegelsesmengde:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Den samme bevegelsesmengden må begge vognene ha til sammen etter kollisjonen. Vi deler den på den samlede massen deres:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

De sammenkoblede vognene kjører med farten 1 m/s, halvparten av den opprinnelige farten. Massen ble doblet og bevegelsesmengden forble den samme, så farten måtte synke til det halve. Hvis vogna hadde truffet to sammenkoblede vogner i ro, ville den samme bevegelsesmengden blitt fordelt på tre ganger så stor masse 60 000 kg, og alle tre ville kjørt med en tredjedel av farten, omtrent 0,67 m/s.

Vogna treffer en vogn i ro, og de sammenkoblede vognene fortsetter med halv fart

De oransje merkene viser hvor fronten av den røde vogna var etter like lange tidsrom. Mens den røde vogna kjører alene, ligger de like langt fra hverandre. Etter at den er koblet til den blå vogna, er avstandene fortsatt like, bare halvparten så lange.

Nå kommer et mer lumsk tilfelle. Den andre vogna står ikke i ro, men kjører mot den første med farten 1 m/s. Altså mot den positive retningen, så v₂ = −1 m/s. Det ville være feil å legge sammen bevegelsesmengdene til begge vognene uten å ta hensyn til retningen, de sammenkoblede vognene ville da fått farten 1,5 m/s. Farten til den andre vogna setter vi derfor inn med minustegn:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

De sammenkoblede vognene kjører med farten 0,5 m/s i retningen den første vogna kjørte. Hvis de hadde kjørt mot hverandre like fort, ville de stoppet på stedet.

Vognene er riktignok ikke et isolert system, hjulene gnisser mot skinnene. Disse ytre kreftene er imidlertid små, og kollisjonen varer bare en brøkdel av et sekund, så i den tiden endrer de bevegelsesmengden til vognene ubetydelig. Kreftene mellom vognene som kolliderer, er mange ganger større. Derfor kan vi bruke loven om bevaring av bevegelsesmengde ved kollisjoner også når systemet ikke er helt isolert.

Rakett

Raketten står i verdensrommet langt fra planetene, og den samlede bevegelsesmengden, med drivstoffet, er null. Motoren brenner drivstoff og jager de varme gassene gjennom dysen bakover med enorm fart. Gassene får dermed bevegelsesmengde bakover, og for at den samlede bevegelsesmengden til raketten og gassene skal forbli null, må raketten få en like stor bevegelsesmengde framover. Raketten er egentlig et gevær som hvert sekund skyter ut en enorm mengde bittesmå «kuler» bakover og selv hver gang akselererer litt framover.

På systemet rakett og gasser trenger ingenting å virke utenfra, raketten trenger ingen bakke eller luft og akselererer også i lufttomt rom. Den skyver fra gassene den selv bærer med seg og selv kaster ut. Jo mer gass den kaster ut per sekund og jo fortere, desto større bevegelsesmengde gir den dem, og desto mer akselererer den selv.

Ved en kollisjon flyter bevegelsesmengden bare over fra legeme til legeme. Kraften som virkelig tar bort bevegelse og til slutt stopper nesten alt som glir over bakken, er friksjon. Den handler neste artikkel om, Friksjon.

« Forrige: Bevegelsesmengde og impuls

Neste: Friksjon »