A lendületmegmaradás törvénye

A lendület nem keletkezik a semmiből, és nyom nélkül sem tűnik el. Csak átadható az egyik testről a másikra. Akár két kiskocsi ütközik, akár két ember löki el egymást, az egyik lendületet nyer, a másik pontosan ugyanannyit veszít. A két lendület összege olyan marad, amilyen volt. Ezt hívjuk lendületmegmaradás törvényének, és az egész fizika leghasznosabb törvényei közé tartozik. Neki köszönhetően ki tudjuk számolni, mi történik az ütközés után, anélkül hogy ismernénk az ütközés közben ható erőket és hatásuk idejét.

Zárt rendszer

Hogy a törvény érvényes legyen, először tisztáznunk kell, milyen testekről beszélünk. Kiválasztunk néhány testet, amely érdekel minket, mondjuk két vagont, és ezeket rendszernek nevezzük. Azokat az erőket, amelyekkel a rendszer testei egymásra hatnak, belső erőknek hívjuk. Azokat, amelyekkel kívülről valami hat rájuk, például a Föld vagy a sín, külső erőknek.

A rendszer zárt, ha nem hat rá külső erő, vagy ha a külső erők kioltják egymást, és az eredőjük nulla. Tökéletesen zárt rendszer a Földön nincs, de gyakran nagyon megközelítjük. A jégen álló korcsolyázót a Föld lefelé húzza, a jég pedig ugyanakkora erővel alulról tartja, tehát ez a két erő kioltja egymást. A korcsolya súrlódása kicsi, ezért elhanyagoljuk.

A sziklából leeső kő ezzel szemben nem zárt rendszer. Húzza a Föld, ez külső erő, és ezért a lendülete nő. Ha azonban a rendszerbe a Földet is bevesszük, a kő és a Föld közötti erő belső erővé válik. A kő ugyanakkora erővel húzza magához a Földet, mint a Föld őt, és a Föld ugyanakkora, ellentétes irányú lendületet kap, csak óriási tömege miatt jelentéktelen sebességgel. Hasonló a falról visszapattanó teniszlabda esete. A 2,4 kg·m/s lendületet, amelyet elveszített, a fal vette át, és vele az egész Föld, amely a tömege miatt észrevehetetlenül lassan indult el.

A rendszer összlendülete az összes teste lendületének vektori összege. Két testnél:

$\vec{I} = {\vec{I}}_{1} + {\vec{I}}_{2}$

Ha a testek egy egyenes mentén mozognak, kijelölünk egy pozitív irányt, és a lendületeket előjeles számként adjuk össze. Az a test, amelyik a pozitív iránnyal szemben halad, negatív lendületű.

Miért nem változik az összlendület

Vegyünk egy zárt rendszer két testét, amelyek egy ideig hatnak egymásra, akár összeütköznek, akár eltaszítják egymást. Más erő nem hat rájuk, vagy kioltják egymást, ezért mindegyik lendületét csak a másik ereje változtatja meg. A 2. test ${\vec{F}}_{1}$ erővel hat az 1. testre. Newton harmadik törvénye szerint az 1. test ugyanakkora, ellentétes irányú erővel hat a 2. testre:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Mindkét erő ugyanabban a pillanatban keletkezik, és ugyanabban a pillanatban szűnik meg, tehát ugyanolyan hosszan hat, Δt ideig. Az erőlökés egyenlő a lendület megváltozásával, ezért a két test lendülete ennyivel változik:

$\begin{aligned} Δ {\vec{I}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{I}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

A lendületváltozások egyforma nagyok és ellentétesek. Összeadjuk őket:

$\begin{aligned} Δ {\vec{I}}_{1} + Δ {\vec{I}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Az összlendület nem változott. Amit az egyik test nyert, a másik elveszítette. Az ütközéskor az erő ugyan nem állandó, de ez nem baj. Az egész ütközést felosztjuk rövid pillanatokra; mindegyikben a két erő egyforma nagy és ellentétes, ezért az összlendület egyikben sem változik.

A rendszeren belül a testek ütközhetnek, nyomhatják és taszíthatják egymást, ahogy akarják. A belső erők mindig hatás-ellenhatás párban lépnek fel, ezért az összlendületet nem változtathatják meg. Megváltoztatni csak külső erő tudja. Ugyanez érvényes több testre is, minden pár csak kicseréli egymás között a lendületet. Münchhausen báró, aki állítólag saját hajánál fogva húzta ki magát a mocsárból, tehát kitalálta az egészet. A kéz húzza a hajat, a haj a kezet, és mindkét erő a báró belsejében marad, az összlendületét nem változtatja meg. Ezzel levezettük a törvényt:

Zárt rendszer összlendülete nem változik. A folyamat előtti (vessző nélküli) és utáni (vesszős) lendületek összege egyforma:

${\vec{I}}_{1} + {\vec{I}}_{2} = {\vec{I}}_{1}^{'} + {\vec{I}}_{2}^{'}$

Vigyázat, csak az összeg állandó. Az egyes testek lendülete változhat, és általában változik is.

A puska hátrarúgása

A vadász elsüt egy 4 kg tömegű puskát. A 10 g tömegű golyó 800 m/s sebességgel repül ki. Milyen gyorsan mozdul meg a puska hátrafelé? A vadász kezével és vállával egyelőre nem foglalkozunk, a puska egyszerűen szabadon lóg a levegőben.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

A pozitív irányt a golyó repülési irányába választjuk. A lövés előtt a puska és a golyó áll, az összlendület nulla. A lövés után is nullának kell lennie:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Kivonjuk a golyó lendületét, és elosztjuk a puska tömegével:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Behelyettesítünk:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

A puska 2 m/s sebességgel indul meg, és a mínusz azt jelenti, hogy hátrafelé, a golyó repülésével szemben. A golyónak és a puskának egyformán 8 kg·m/s a lendülete, csak ellentétes irányú. A puska viszont négyszázszor nagyobb tömegű, ezért négyszázszor lassabb. A csőből a golyóval együtt kirepülő égéstermékek lendületét elhanyagoltuk.

Két méter per szekundum több mint hét kilométer per óra. Aki a puskát csak lazán tartja, jókora ütést kap a puskatussal a vállába. Ezért támasztjuk a tust szorosan a vállunkhoz. A puska ekkor a lövész testével együtt indul el, és a 8 kg·m/s lendület sokkal nagyobb tömegre oszlik el. Egy 80 kg tömegű lövész esetén ez

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

A lövészt ez csak enyhén tolja meg, és ha szilárdan megveti a lábát a földön, még annyira sem.

Két korcsolyázó

A jégen szemben áll egymással két korcsolyázó, Réka és Luca. Tenyerüket egymás tenyerének támasztják, és eltaszítják egymást. Réka tömege 50 kg, Lucáé 60 kg. Luca 1 m/s sebességgel siklik el. Milyen gyorsan siklik el Réka?

A pozitív irányt abba az irányba választjuk, amerre Luca elsiklik, Rékát az 1-es index jelöli. Az eltaszítás előtt mindketten állnak, tehát az összlendület nulla, és utána is az:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Kifejezzük Réka sebességét, és behelyettesítünk:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Réka 1,2 m/s sebességgel siklik el az ellenkező irányba. Ellenőrizzük, hogy a lendületek tényleg nullára adódnak össze:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Mindkettőjük lendülete 60 kg·m/s lett, csak mindegyikük más irányban.

Réka (pirossal) és Luca (kékkel) az eltaszítás előtt (szürkével) és után, a v⃗_1' és v⃗_2' sebesség

A korcsolyázók sebességének aránya 1,2:1, vagyis 6:5, és ez a tömegük 50:60 arányának fordítottja. A könnyebb korcsolyázó gyorsabban siklik el. Az nem számít, mennyire erősen taszították egymást. Ha ugyanolyan hosszan kétszer akkora erővel taszítanák egymást, mindketten kétszer gyorsabban siklanának el, de az arány 6:5 maradna.

És az sem számít, hogy melyikük tolt. Kézenfekvő volna azt gondolni, hogy ha csak Réka tol, Luca pedig mereven tartja a kezét, főleg Luca siklik el. A párban fellépő erők azonban egyforma nagyok, bárki tol, és a könnyebb Réka megint gyorsabban siklik el.

Ugyanezen az elven alapul az ugrás egy kis csónakból a partra. Az ugró elrugaszkodik a csónaktól, a csónak pedig tőle, így amíg ő előre repül, a csónak hátrafelé úszik. Ha a csónak könnyű, jókora darabot elúszik alatta, és az ugró a part helyett a vízbe esik.

Vagonok ütközése

A rendezőpályaudvaron egy 20 t tömegű vagon 2 m/s sebességgel nekimegy egy álló, ugyanolyan tömegű vagonnak. Az önműködő kapcsok az ütközéskor bekattannak, és a vagonok összekapcsolva haladnak tovább. Milyen sebességgel?

Az olyan ütközést, amely után a testek összekapcsolódva, együtt haladnak tovább, rugalmatlan ütközésnek nevezzük. A pozitív irányt az első vagon haladási irányába választjuk.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Az ütközés után mindkét vagon sebessége egyforma, v', így a lendületük egyetlen, m₁ + m₂ tömegű test lendülete. A lendületmegmaradás törvénye:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Az ütközés előtt csak az első vagonnak van lendülete:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Ugyanekkora lendülete kell, hogy legyen a két vagonnak együtt az ütközés után. Elosztjuk az összes tömegükkel:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Az összekapcsolt vagonok 1 m/s sebességgel haladnak, az eredeti sebesség felével. A tömeg megkétszereződött, a lendület ugyanaz maradt, tehát a sebességnek a felére kellett csökkennie. Ha a vagon két összekapcsolt álló vagonnak ütközne, ugyanez a lendület a háromszoros, 60 000 kg tömegre oszlana el, és mind a három az eredeti sebesség harmadával haladna, körülbelül 0,67 m/s sebességgel.

A vagon nekimegy az álló vagonnak, és az összekapcsolt vagonok feleakkora sebességgel haladnak tovább

A narancssárga jelek azt mutatják, hol volt a piros vagon eleje egyenlő időközönként. Amíg a piros vagon egyedül halad, a jelek egyenlő távolságra vannak egymástól. A kék vagonnal való összekapcsolódás után a távolságok továbbra is egyformák, csak feleakkorák.

Most jön a csalafintább eset. A második vagon nem áll, hanem az elsővel szemben halad 1 m/s sebességgel. A pozitív iránnyal szemben, tehát v₂ = −1 m/s. Hiba volna a két vagon lendületét irányra való tekintet nélkül összeadni, mert akkor az összekapcsolt vagonok 1,5 m/s sebességgel haladnának. A második vagon sebességét ezért mínuszjellel helyettesítjük be:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Az összekapcsolt vagonok 0,5 m/s sebességgel haladnak abba az irányba, amerre az első vagon ment. Ha egyforma gyorsan mennének egymással szemben, a helyükön megállnának.

A vagonok azért mégsem zárt rendszer, a kerekek súrlódnak a síneken. Ezek a külső erők azonban kicsik, az ütközés pedig csak a másodperc törtrészéig tart, így ennyi idő alatt elhanyagolhatóan változtatják meg a vagonok lendületét. Az ütköző vagonok közötti erők sokszorosan nagyobbak. Ezért használhatjuk a lendületmegmaradás törvényét ütközéseknél akkor is, ha a rendszer nem teljesen zárt.

Rakéta

A rakéta a világűrben áll, a bolygóktól távol, és az üzemanyaggal együtt az összlendülete nulla. A hajtómű elégeti az üzemanyagot, és a forró gázokat óriási sebességgel hátrafelé fújja ki a fúvókán át. A gázok így hátrafelé lendületet kapnak, és hogy a rakéta és a gázok összlendülete nulla maradjon, a rakétának ugyanakkora lendületet kell nyernie előre. A rakéta tulajdonképpen olyan puska, amely másodpercenként óriási mennyiségű apró „golyót” lő ki hátrafelé, és minden alkalommal egy kicsit előre gyorsul.

A rakéta és a gázok rendszerére nem kell semmilyen külső erőnek hatnia, a rakétának nincs szüksége talajra vagy levegőre, és légüres térben is gyorsul. A gázokról rugaszkodik el, amelyeket maga visz magával, és maga lövell ki. Minél több gázt lövell ki másodpercenként, és minél gyorsabban, annál több lendületet ad át neki, és annál jobban gyorsul maga is.

A lendület az ütközéskor csak átárad az egyik testről a másikra. Az az erő, amely a mozgásból valóban elvesz, és végül szinte mindent megállít, ami a földön csúszik, a súrlódás. Róla szól a következő, Súrlódás című cikk.

« Előző: Lendület és erőlökés

Következő: Súrlódás »