Conservación del momento lineal

El momento lineal no surge de la nada ni desaparece sin dejar rastro. Solo se puede transmitir de un cuerpo a otro. Tanto si chocan dos carritos como si dos personas se separan de un empujón, uno gana momento lineal y el otro pierde exactamente el mismo. La suma de los dos sigue siendo la que era. A esto se le llama principio de conservación del momento lineal, y es una de las leyes más útiles de toda la física. Gracias a él podemos calcular qué ocurre después de un choque sin conocer las fuerzas que actuaron en él ni durante cuánto tiempo actuaron.

Sistema aislado

Para que el principio valga, tenemos que decir antes de qué cuerpos hablamos. Elegimos varios cuerpos que nos interesan, por ejemplo dos vagones, y los llamaremos sistema. Las fuerzas con que los cuerpos del sistema actúan unos sobre otros son fuerzas interiores. Las fuerzas con que actúa sobre ellos algo de fuera, por ejemplo la Tierra o los raíles, son fuerzas exteriores.

Un sistema está aislado cuando sobre él no actúa ninguna fuerza exterior, o cuando las fuerzas exteriores se anulan entre sí y su resultante es nula. Un sistema perfectamente aislado no existe en la Tierra, pero a menudo nos acercamos mucho a él. A un patinador sobre hielo la Tierra lo atrae hacia abajo y el hielo lo sostiene desde abajo con una fuerza igual, así que esas dos fuerzas se anulan. El rozamiento de los patines es pequeño y lo despreciamos.

Una piedra que cae desde un acantilado, en cambio, no es un sistema aislado. La atrae la Tierra, que es una fuerza exterior, y por eso su momento lineal crece. Pero si incluimos en el sistema también la Tierra, la fuerza entre la piedra y la Tierra pasa a ser interior. La piedra atrae a la Tierra con una fuerza igual a la que la Tierra ejerce sobre ella, y la Tierra gana un momento lineal igual y de sentido contrario, solo que, con su enorme masa, a una velocidad ínfima. Con la pelota de tenis que rebota en una pared ocurre algo parecido. El momento lineal de 2,4 kg·m/s que perdió lo recibió la pared y con ella la Tierra entera, que, por su masa, se puso en movimiento con una lentitud imperceptible.

El momento lineal total de un sistema es la suma vectorial de los momentos lineales de todos sus cuerpos. Para dos cuerpos:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Cuando los cuerpos se mueven sobre una misma recta, elegimos un sentido positivo y sumamos los momentos lineales como números con signo. Un cuerpo que va en contra del sentido positivo tiene un momento lineal negativo.

Por qué el momento lineal total no cambia

Tomemos dos cuerpos de un sistema aislado que actúan uno sobre otro durante un rato, ya sea porque chocan o porque se separan de un empujón. Ninguna otra fuerza actúa sobre ellos, o se anulan, así que el momento lineal de cada uno lo cambia solo la fuerza del otro. El cuerpo 2 actúa sobre el cuerpo 1 con una fuerza ${\vec{F}}_{1}$ . Según la tercera ley de Newton, el cuerpo 1 actúa sobre el cuerpo 2 con una fuerza del mismo módulo y de sentido contrario:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Las dos fuerzas aparecen en el mismo instante y en el mismo instante desaparecen, así que actúan el mismo tiempo, durante Δt. El impulso mecánico es igual al cambio del momento lineal, por lo que los momentos lineales de los dos cuerpos cambian en

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Los cambios del momento lineal son iguales y contrarios. Los sumamos:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

El momento lineal total no ha cambiado. Lo que ha ganado un cuerpo lo ha perdido el otro. Es cierto que la fuerza en un choque no es constante, pero no importa. Dividimos todo el choque en instantes brevísimos; en cada uno de ellos las dos fuerzas son iguales y contrarias, así que el momento lineal total no cambia en ninguno.

Dentro del sistema los cuerpos pueden chocar, empujarse y repelerse como quieran. Las fuerzas interiores vienen siempre en parejas de acción y reacción, así que no pueden cambiar el momento lineal total. Solo puede cambiarlo una fuerza exterior. Lo mismo vale para más cuerpos: cada pareja solo intercambia momento lineal. El barón de Münchhausen, que según el cuento se sacó a sí mismo de un pantano tirándose del pelo, se lo inventó, pues. La mano tira del pelo, el pelo de la mano, y las dos fuerzas se quedan dentro del barón y no cambian su momento lineal total. Con eso hemos deducido la ley:

El momento lineal total de un sistema aislado no cambia. Los momentos lineales antes del proceso (sin prima) y después (con prima) tienen la misma suma:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Ojo: lo constante es solo la suma. El momento lineal de cada cuerpo puede cambiar, y normalmente cambia.

Retroceso de un rifle

Un cazador dispara un rifle de masa 4 kg. La bala, de masa 10 g, sale a 800 m/s. ¿A qué velocidad retrocede el rifle? Por ahora no tenemos en cuenta las manos ni el hombro del cazador: el rifle cuelga libre en el aire.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Elegimos como sentido positivo el del vuelo de la bala. Antes del disparo el rifle y la bala están quietos y el momento lineal total es nulo. Tiene que ser nulo también después del disparo:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Restamos el momento lineal de la bala y dividimos entre la masa del rifle:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Sustituimos:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

El rifle se pone en movimiento a 2 m/s, y el menos dice que hacia atrás, en contra del vuelo de la bala. La bala y el rifle tienen momentos lineales del mismo módulo, 8 kg·m/s, solo que de sentido contrario. Pero el rifle tiene una masa cuatrocientas veces mayor y por eso va cuatrocientas veces más despacio. El momento lineal de los gases de la pólvora que salen del cañón junto con la bala no lo hemos tenido en cuenta.

Dos metros por segundo son más de siete kilómetros por hora. Quien sujeta el rifle sin firmeza recibe en el hombro un buen golpe con la culata. Por eso la culata se apoya con firmeza en el hombro. El rifle se pone entonces en marcha junto con el tirador y el momento lineal de 8 kg·m/s se reparte sobre una masa mucho mayor. Con un tirador de 80 kg resulta

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Al tirador solo lo empuja ligeramente y, si se afirma bien en el suelo, ni eso.

Dos patinadoras

Sobre el hielo, las patinadoras Teresa y Lucía están una frente a la otra. Apoyan las palmas de las manos contra las de la otra y se separan de un empujón. Teresa tiene una masa de 50 kg y Lucía, de 60 kg. Lucía se aleja a 1 m/s. ¿A qué velocidad se aleja Teresa?

Elegimos como sentido positivo aquel en que se aleja Lucía, y a Teresa le ponemos el índice 1. Antes del empujón las dos están quietas, así que el momento lineal total es nulo, y también lo es después:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Despejamos la velocidad de Teresa y sustituimos:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Teresa se aleja a 1,2 m/s hacia el lado contrario. Comprobamos que los momentos lineales suman realmente cero:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Cada una ha recibido un momento lineal de 60 kg·m/s, cada una hacia un lado.

Teresa (en rojo) y Lucía (en azul) antes del empujón (en gris) y después de él, velocidades v⃗_1' y v⃗_2'

Las velocidades de las patinadoras están en la razón 1,2:1, es decir, 6:5, y esa es la razón inversa de sus masas, 50:60. La patinadora más ligera se aleja más deprisa. No depende de lo fuerte que se empujaran. Si se hubieran empujado durante el mismo tiempo con una fuerza dos veces mayor, las dos se habrían alejado al doble de velocidad, pero la razón seguiría siendo 6:5.

Tampoco depende de cuál de las dos empujó. Es tentador pensar que, si solo empuja Teresa y Lucía mantiene las manos firmes, se alejará sobre todo Lucía. Pero las fuerzas de una pareja son iguales, empuje quien empuje, y Teresa, más ligera, se aleja de nuevo más deprisa.

En el mismo principio se basa el salto desde una barquita a la orilla. El que salta se impulsa contra la barca y la barca contra él, de modo que, mientras él vuela hacia delante, la barca se desliza hacia atrás. Si es ligera, se aleja bastante, y el que salta, en lugar de llegar a la orilla, cae al agua.

Choque de vagones

En una estación de clasificación, un vagón de 20 t avanza a 2 m/s y choca con un vagón parado de la misma masa. Los enganches automáticos se cierran con el golpe y los vagones siguen juntos. ¿A qué velocidad?

A un choque tras el cual los cuerpos quedan unidos y siguen juntos se le llama choque inelástico. Elegimos como sentido positivo el de la marcha del primer vagón.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Después del choque los dos vagones tienen la misma velocidad v', así que su momento lineal es el de un solo cuerpo de masa m₁ + m₂. El principio de conservación del momento lineal:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Antes del choque solo tiene momento lineal el primer vagón:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

El mismo momento lineal deben tener después del choque los dos vagones juntos. Lo dividimos entre su masa total:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Los vagones unidos avanzan a 1 m/s, la mitad de la velocidad inicial. La masa se ha duplicado y el momento lineal se ha mantenido, así que la velocidad tenía que reducirse a la mitad. Si el vagón chocara con dos vagones enganchados y parados, el mismo momento lineal se repartiría sobre una masa triple, de 60.000 kg, y los tres irían a la tercera parte de la velocidad, unos 0,67 m/s.

Un vagón choca con un vagón parado y los vagones unidos siguen a la mitad de velocidad

Las marcas naranjas señalan dónde estaba la parte delantera del vagón rojo después de intervalos de tiempo iguales. Mientras el vagón rojo va solo, están igual de separadas. Tras engancharse con el vagón azul, los espacios siguen siendo iguales, pero la mitad de largos.

Ahora viene un caso más traicionero. El segundo vagón no está parado, sino que va al encuentro del primero a 1 m/s. En contra del sentido positivo, así que v₂ = −1 m/s. Sería un error sumar los momentos lineales de los dos vagones sin tener en cuenta el sentido: los vagones unidos saldrían a 1,5 m/s. Por eso sustituimos la velocidad del segundo vagón con su signo menos:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Los vagones unidos avanzarán a 0,5 m/s en el sentido en que iba el primer vagón. Si hubieran ido el uno hacia el otro igual de rápido, se habrían detenido en el sitio.

Es verdad que los vagones no son un sistema aislado, pues las ruedas rozan con los raíles. Pero esas fuerzas exteriores son pequeñas y el choque dura solo una fracción de segundo, así que en ese tiempo cambian el momento lineal de los vagones de forma despreciable. Las fuerzas entre los vagones que chocan son muchas veces mayores. Por eso podemos aplicar el principio de conservación del momento lineal a los choques aunque el sistema no esté del todo aislado.

El cohete

Un cohete está en el espacio, lejos de los planetas, y su momento lineal total, con el combustible, es nulo. El motor quema combustible y expulsa los gases calientes hacia atrás por la tobera a una velocidad enorme. Los gases reciben así momento lineal hacia atrás, y para que el momento lineal total del cohete con los gases siga siendo nulo, el cohete tiene que adquirir un momento lineal igual hacia delante. El cohete es, en realidad, un rifle que cada segundo dispara hacia atrás una enorme cantidad de diminutas «balas» y cada vez acelera un poco hacia delante.

Sobre el sistema formado por el cohete y los gases no tiene por qué actuar nada desde fuera; el cohete no necesita ni suelo ni aire y acelera también en el vacío. Se apoya en los gases que lleva él mismo y él mismo expulsa. Cuanto más gas expulsa por segundo y cuanto más rápido, más momento lineal le transmite y más acelera él.

En un choque el momento lineal solo pasa de un cuerpo a otro. La fuerza que realmente quita movimiento y acaba por detener casi todo lo que se desliza por el suelo es el rozamiento. De él trata el siguiente artículo, Rozamiento.

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