Liikemäärän säilymislaki

Liikemäärä ei synny tyhjästä eikä katoa jäljettömiin. Se voi vain siirtyä kappaleelta toiselle. Kun kaksi kärryä törmää tai kaksi ihmistä työntää toisensa erilleen, toinen saa liikemäärää ja toinen menettää täsmälleen yhtä paljon. Molempien liikemäärien summa pysyy sellaisena kuin se oli. Tätä sanotaan liikemäärän säilymislaiksi, ja se kuuluu koko fysiikan hyödyllisimpiin lakeihin. Sen avulla voidaan laskea, mitä törmäyksen jälkeen tapahtuu, tuntematta törmäyksessä vaikuttaneita voimia tai niiden vaikutusaikaa.

Eristetty systeemi

Jotta laki pätisi, täytyy ensin sopia, mistä kappaleista puhutaan. Valitaan muutama kiinnostava kappale, vaikkapa kaksi vaunua, ja kutsutaan niitä systeemiksi. Voimat, joilla systeemin kappaleet vaikuttavat toisiinsa, ovat sisäisiä voimia. Voimat, joilla niihin vaikuttaa jokin ulkopuolelta, esimerkiksi Maa tai kiskot, ovat ulkoisia voimia.

Systeemi on eristetty, kun siihen ei vaikuta mitään ulkoisia voimia tai kun ulkoiset voimat kumoavat toisensa ja niiden resultantti on nolla. Täysin eristettyä systeemiä ei Maassa ole, mutta usein siihen päästään hyvin lähelle. Jäällä olevaa luistelijaa vetää Maa alaspäin ja jää tukee häntä alapuolelta yhtä suurella voimalla, joten nämä kaksi voimaa kumoavat toisensa. Luistinten kitka on pientä, ja se jätetään huomiotta.

Kalliolta putoava kivi sen sijaan ei ole eristetty systeemi. Sitä vetää Maa, joka on ulkoinen voima, ja siksi sen liikemäärä kasvaa. Kun systeemiin otetaan mukaan myös Maa, kiven ja Maan välinen voima muuttuu sisäiseksi. Kivi vetää Maata puoleensa yhtä suurella voimalla kuin Maa vetää sitä, ja Maa saa yhtä suuren, vastakkaissuuntaisen liikemäärän, vain valtavan massansa vuoksi mitättömällä nopeudella. Samoin on seinästä kimpoavan tennispallon kanssa. Liikemäärän 2,4 kg·m/s, jonka se menetti, otti vastaan seinä ja sen mukana koko Maa, joka lähti massansa takia liikkeelle huomaamattoman hitaasti.

Systeemin kokonaisliikemäärä on kaikkien sen kappaleiden liikemäärien vektorisumma. Kahdelle kappaleelle:

$\bar{p} = {\bar{p}}_{1} + {\bar{p}}_{2}$

Kun kappaleet liikkuvat samalla suoralla, valitaan positiivinen suunta ja liikemäärät lasketaan yhteen etumerkillisinä lukuina. Kappaleella, joka liikkuu positiivista suuntaa vastaan, on negatiivinen liikemäärä.

Miksi kokonaisliikemäärä ei muutu

Otetaan eristetyn systeemin kaksi kappaletta, jotka vaikuttavat hetken toisiinsa, joko törmäämällä tai työntämällä toisensa erilleen. Muut voimat eivät niihin vaikuta tai ne kumoavat toisensa, joten kummankin liikemäärää muuttaa vain toisen voima. Kappale 2 vaikuttaa kappaleeseen 1 voimalla ${\bar{F}}_{1}$ . Newtonin kolmannen lain mukaan kappale 1 vaikuttaa kappaleeseen 2 yhtä suurella, vastakkaissuuntaisella voimalla:

${\bar{F}}_{2} = - {\bar{F}}_{1}$

Molemmat voimat syntyvät samalla hetkellä ja katoavat samalla hetkellä, joten ne vaikuttavat yhtä kauan, ajan Δt. Voiman impulssi on yhtä suuri kuin liikemäärän muutos, ja siksi molempien kappaleiden liikemäärät muuttuvat

$\begin{aligned} Δ {\bar{p}}_{1} & = {\bar{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\bar{p}}_{2} & = {\bar{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\bar{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Liikemäärien muutokset ovat yhtä suuret ja vastakkaiset. Lasketaan ne yhteen:

$\begin{aligned} Δ {\bar{p}}_{1} + Δ {\bar{p}}_{2} & = {\bar{F}}_{1} \cdot Δ t - {\bar{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \bar{0} \end{aligned}$

Kokonaisliikemäärä ei muuttunut. Minkä yksi kappale sai, sen toinen menetti. Törmäyksessä voima ei ole vakio, mutta sillä ei ole väliä. Jaetaan koko törmäys lyhyisiin hetkiin; jokaisessa niistä molemmat voimat ovat yhtä suuret ja vastakkaiset, joten kokonaisliikemäärä ei muutu yhdessäkään.

Systeemin sisällä kappaleet voivat törmätä, painaa ja hylkiä toisiaan miten haluavat. Sisäiset voimat esiintyvät aina voiman ja vastavoiman pareina, joten ne eivät voi muuttaa kokonaisliikemäärää. Sen voi muuttaa vain ulkoinen voima. Sama pätee useammalle kappaleelle, jokainen pari vain vaihtaa liikemäärää keskenään. Paroni Münchhausen, joka kertoman mukaan veti itsensä hiuksistaan ylös suosta, keksi siis tarinansa. Käsi vetää hiuksista, hiukset kättä, ja molemmat voimat pysyvät paronin sisällä eivätkä muuta hänen kokonaisliikemääräänsä. Näin on johdettu laki:

Eristetyn systeemin kokonaisliikemäärä ei muutu. Liikemäärien summa ennen tapahtumaa (ilman pilkkua) ja sen jälkeen (pilkun kanssa) on sama:

${\bar{p}}_{1} + {\bar{p}}_{2} = {\bar{p}}_{1}^{'} + {\bar{p}}_{2}^{'}$

Huomaa, että vain summa pysyy vakiona. Yksittäisten kappaleiden liikemäärä voi muuttua ja yleensä muuttuukin.

Kiväärin takaisku

Metsästäjä ampuu kiväärillä, jonka massa on 4 kg. Luoti, jonka massa on 10 g, lähtee nopeudella 800 m/s. Kuinka nopeasti kivääri liikahtaa taaksepäin? Metsästäjän käsiä tai olkapäätä ei vielä huomioida, kivääri roikkuu vapaasti ilmassa.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Positiivinen suunta valitaan luodin lentosuunnaksi. Ennen laukausta kivääri ja luoti ovat paikallaan, ja kokonaisliikemäärä on nolla. Sen täytyy olla nolla myös laukauksen jälkeen:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vähennetään luodin liikemäärä ja jaetaan kiväärin massalla:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Sijoitetaan:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Kivääri lähtee liikkeelle nopeudella 2 m/s ja miinus kertoo, että taaksepäin, luodin lentoa vastaan. Luodilla ja kiväärillä on yhtä suuri liikemäärä, 8 kg·m/s, vain vastakkaiseen suuntaan. Kiväärin massa on kuitenkin nelisataa kertaa suurempi, ja siksi se on nelisataa kertaa hitaampi. Piipusta luodin mukana purkautuvien palokaasujen liikemäärä jätettiin huomiotta.

Kaksi metriä sekunnissa on yli seitsemän kilometriä tunnissa. Joka pitää kivääriä vain löyhästi, saa perästä olkapäähänsä kunnon iskun. Siksi kiväärin perä painetaan tiukasti olkapäätä vasten. Kivääri lähtee silloin liikkeelle ampujan mukana, ja liikemäärä 8 kg·m/s jakautuu paljon suuremmalle massalle. Kun ampujan massa on 80 kg, saadaan

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Ampujaa vain työnnetään kevyesti, ja kun hän ottaa tukevan asennon, ei sitäkään.

Kaksi luistelijaa

Jäällä seisovat vastakkain luistelijat Venla ja Lilja. He nojaavat kämmenillään toistensa kämmeniin ja työntävät toisensa erilleen. Venlan massa on 50 kg, Liljan 60 kg. Lilja lähtee nopeudella 1 m/s. Kuinka nopeasti Venla lähtee?

Positiivinen suunta valitaan siihen suuntaan, johon Lilja liukuu, ja Venla merkitään indeksillä 1. Ennen työntöä molemmat seisovat, joten kokonaisliikemäärä on nolla myös sen jälkeen:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Ratkaistaan Venlan nopeus ja sijoitetaan:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Venla lähtee nopeudella 1,2 m/s vastakkaiseen suuntaan. Tarkistetaan, että liikemäärät todella summautuvat nollaan:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Kumpikin sai liikemäärän 60 kg·m/s, kumpikin eri suuntaan.

Venla (punaisella) ja Lilja (sinisellä) ennen työntöä (harmaalla) ja sen jälkeen, nopeudet v̄_1' ja v̄_2'

Luistelijoiden nopeudet ovat suhteessa 1,2:1 eli 6:5, ja se on massojen suhteen 50:60 käänteisluku. Kevyempi luistelija liukuu nopeammin. Sillä, kuinka voimakkaasti he työnsivät, ei ole väliä. Jos he olisivat työntäneet yhtä kauan kaksi kertaa suuremmalla voimalla, kumpikin olisi lähtenyt kaksi kertaa nopeammin, mutta suhde pysyisi 6:5.

Eikä sillä ole väliä sekään, kumpi heistä työnsi. On houkuttelevaa ajatella, että jos vain Venla työntää ja Lilja pitää kätensä jäykkinä, lähtee liikkeelle lähinnä Lilja. Parin voimat ovat kuitenkin yhtä suuret, kumpi tahansa työntääkin, ja kevyempi Venla lähtee taas nopeammin.

Samalla periaatteella toimii hyppy pienestä veneestä rantaan. Hyppääjä ponnistaa veneestä ja vene hänestä, joten kun hän lentää eteenpäin, vene liukuu taaksepäin. Jos se on kevyt, se pakenee hänen altaan, ja hyppääjä päätyy rannan sijasta veteen.

Vaunujen törmäys

Ratapihalla vaunu, jonka massa on 20 t, kulkee nopeudella 2 m/s ja törmää paikallaan olevaan samanmassaiseen vaunuun. Automaattiset vaunukytkimet napsahtavat törmäyksessä kiinni ja vaunut jatkavat yhdessä. Kuinka nopeasti?

Törmäystä, jonka jälkeen kappaleet pysyvät yhdessä ja jatkavat yhdessä, sanotaan kimmottomaksi törmäykseksi. Positiivinen suunta valitaan ensimmäisen vaunun kulkusuunnaksi.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Törmäyksen jälkeen molemmilla vaunuilla on sama nopeus v', joten niiden liikemäärä on yhden kappaleen liikemäärä, jonka massa on m₁ + m₂. Liikemäärän säilymislaki:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Ennen törmäystä liikemäärä on vain ensimmäisellä vaunulla:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Saman liikemäärän täytyy olla törmäyksen jälkeen molemmilla vaunuilla yhteensä. Jaetaan se niiden kokonaismassalla:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Yhteen kytketyt vaunut kulkevat nopeudella 1 m/s, puolella alkuperäisestä nopeudesta. Massa kaksinkertaistui ja liikemäärä pysyi samana, joten nopeuden täytyi puolittua. Jos vaunu törmäisi paikallaan olevaan kahteen yhteen kytkettyyn vaunuun, sama liikemäärä jakautuisi kolminkertaiselle massalle 60 000 kg ja kaikki kolme kulkisivat kolmasosalla nopeudesta, noin 0,67 m/s.

Vaunu törmää paikallaan olevaan vaunuun ja yhteen kytketyt vaunut jatkavat puolella nopeudesta

Oranssit merkit näyttävät, missä punaisen vaunun etuosa oli yhtä pitkin ajoin. Kun punainen vaunu kulkee yksin, merkit ovat yhtä kaukana toisistaan. Sinisen vaunun kanssa yhdistämisen jälkeen välit ovat edelleen yhtä suuret, vain puolet pienemmät.

Nyt tulee petollisempi tapaus. Toinen vaunu ei seiso vaan kulkee ensimmäistä vastaan nopeudella 1 m/s. Positiivista suuntaa vastaan, joten v₂ = −1 m/s. Olisi virhe laskea molempien vaunujen liikemäärät yhteen suuntaa huomioimatta, jolloin yhteen kytkettyjen vaunujen nopeudeksi tulisi 1,5 m/s. Siksi toisen vaunun nopeus sijoitetaan miinusmerkin kanssa:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Yhteen kytketyt vaunut kulkevat nopeudella 0,5 m/s siihen suuntaan, johon ensimmäinen vaunu kulki. Jos ne kulkisivat toisiaan vastaan yhtä nopeasti, ne pysähtyisivät paikalleen.

Vaunut eivät kuitenkaan ole eristetty systeemi, pyörät hankaavat kiskoja vasten. Nämä ulkoiset voimat ovat kuitenkin pieniä ja törmäys kestää vain sekunnin murto-osan, joten sinä aikana ne muuttavat vaunujen liikemäärää mitättömästi. Törmäävien vaunujen väliset voimat ovat moninkertaisesti suurempia. Siksi liikemäärän säilymislakia voidaan käyttää törmäyksissä, vaikka systeemi ei olisikaan täysin eristetty.

Raketti

Raketti on avaruudessa kaukana planeetoista ja sen kokonaisliikemäärä on polttoaineen kanssa nolla. Moottori polttaa polttoainetta ja sylkee kuumia kaasuja suuttimesta taaksepäin valtavalla nopeudella. Kaasut saavat näin liikemäärää taaksepäin, ja jotta raketin ja kaasujen kokonaisliikemäärä pysyisi nollana, raketin täytyy saada yhtä suuri liikemäärä eteenpäin. Raketti on oikeastaan kivääri, joka ampuu joka sekunti taaksepäin valtavan määrän pieniä ”luoteja” ja kiihtyy itse joka kerta hieman eteenpäin.

Raketin ja kaasujen systeemiin ei tarvitse vaikuttaa mikään ulkoa, raketti ei tarvitse maata eikä ilmaa ja kiihtyy tyhjiössäkin. Se ponnistaa kaasuista, jotka se itse kuljettaa mukanaan ja itse heittää pois. Mitä enemmän kaasua se sinkoaa sekunnissa ja mitä nopeammin, sitä suuremman liikemäärän se antaa kaasulle ja sitä enemmän se itse kiihtyy.

Törmäyksessä liikemäärä vain siirtyy kappaleelta toiselle. Voima, joka todella vie liikettä pois ja lopulta pysäyttää melkein kaiken, mikä maata pitkin liukuu, on kitka. Siitä kertoo seuraava artikkeli, Kitka.

« Edellinen: Liikemäärä ja impulssi

Seuraava: Kitka »