Legea conservării impulsului

Impulsul nu apare din nimic și nici nu dispare fără urmă. Poate fi doar transmis de la un corp la altul. Fie că se ciocnesc două cărucioare, fie că doi oameni se împing unul de altul, unul câștigă impuls, iar celălalt pierde exact la fel de mult. Suma celor două impulsuri rămâne cea care era. Aceasta se numește legea conservării impulsului și este printre cele mai utile legi din toată fizica. Datorită ei putem calcula ce se întâmplă după o ciocnire fără să cunoaștem forțele care au acționat în ea și nici durata lor.

Sistemul izolat

Pentru ca legea să fie valabilă, trebuie mai întâi să spunem despre ce corpuri vorbim. Alegem câteva corpuri care ne interesează, de exemplu două vagoane, și le vom numi sistem. Forțele cu care corpurile sistemului acționează unele asupra altora sunt forțe interioare. Forțele cu care acționează asupra lor ceva din exterior, de exemplu Pământul sau șinele, sunt forțe exterioare.

Sistemul este izolat când asupra lui nu acționează nicio forță exterioară sau când forțele exterioare se anulează reciproc, iar rezultanta lor este nulă. Un sistem perfect izolat nu există pe Pământ, dar ne apropiem adesea mult de el. Un patinator pe gheață este tras de Pământ în jos, iar gheața îl susține de jos cu o forță la fel de mare, așa că aceste două forțe se anulează. Frecarea patinelor este mică și o neglijăm.

Piatra care cade de pe o stâncă nu este în schimb un sistem izolat. O trage Pământul, aceasta este o forță exterioară, și de aceea impulsul ei crește. Dar dacă luăm în sistem și Pământul, forța dintre piatră și Pământ devine interioară. Piatra trage Pământul spre ea cu o forță la fel de mare ca aceea cu care o trage Pământul pe ea, iar Pământul capătă un impuls la fel de mare și de sens opus, doar că, având o masă uriașă, cu o viteză imperceptibilă. La fel este și cu mingea de tenis care a ricoșat din zid. Impulsul de 2,4 kg·m/s pe care l-a pierdut l-au preluat zidul și, odată cu el, întregul Pământ, care, din cauza masei lui, a pornit imperceptibil de încet.

Impulsul total al sistemului este suma vectorială a impulsurilor tuturor corpurilor lui. La două corpuri:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Când corpurile se mișcă pe aceeași dreaptă, alegem sensul pozitiv și adunăm impulsurile ca numere cu semn. Un corp care merge împotriva sensului pozitiv are impuls negativ.

De ce nu se schimbă impulsul total

Să luăm două corpuri ale unui sistem izolat, care acționează o clipă unul asupra celuilalt, fie că se ciocnesc, fie că se împing unul de altul. Alte forțe nu acționează asupra lor sau se anulează, așa că impulsul fiecăruia este schimbat doar de forța celuilalt. Corpul 2 acționează asupra corpului 1 cu forța ${\vec{F}}_{1}$ . După principiul acțiunii și reacțiunii, corpul 1 acționează asupra corpului 2 cu o forță la fel de mare și de sens opus:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Ambele forțe apar în același moment și în același moment dispar, deci acționează la fel de mult timp, Δt. Impulsul forței este egal cu variația impulsului corpului, de aceea impulsurile celor două corpuri se schimbă cu

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Variațiile impulsului sunt egale și opuse. Le adunăm:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Impulsul total nu s-a schimbat. Ce a câștigat un corp, a pierdut celălalt. Forța la ciocnire nu este, e drept, constantă, dar nu contează. Împărțim întreaga ciocnire în clipe foarte scurte; în fiecare dintre ele cele două forțe sunt egale și opuse, deci impulsul total nu se schimbă în niciuna.

În interiorul sistemului corpurile se pot ciocni, apăsa și respinge cum vor. Forțele interioare apar întotdeauna în perechi acțiune–reacțiune, deci nu pot schimba impulsul total. Îl poate schimba doar o forță exterioară. Același lucru este valabil pentru mai multe corpuri, fiecare pereche de corpuri doar face schimb de impuls. Baronul Münchhausen, care se spune că s-a scos singur din mlaștină trăgându-se de păr, a născocit deci totul. Mâna trage de păr, părul de mână, iar ambele forțe rămân în interiorul baronului și nu-i schimbă impulsul total. Am dedus astfel legea:

Impulsul total al unui sistem izolat nu se schimbă. Impulsurile dinainte de proces (fără prim) și de după el (cu prim) au aceeași sumă:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Atenție, constantă este doar suma. Impulsul corpurilor luate separat se poate schimba și de obicei se schimbă.

Reculul puștii

Vânătorul trage cu o pușcă cu masa 4 kg. Un glonț cu masa 10 g iese cu viteza 800 m/s. Cât de repede se mișcă pușca înapoi? Mâinile și umărul vânătorului nu le luăm încă în calcul, pușca atârnă pur și simplu liberă în aer.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Alegem sensul pozitiv în sensul zborului glonțului. Înainte de tragere pușca și glonțul stau pe loc, impulsul total este nul. Trebuie să fie nul și după tragere:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Scădem impulsul glonțului și împărțim la masa puștii:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Înlocuim:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Pușca pornește cu viteza 2 m/s, iar minusul spune că înapoi, împotriva zborului glonțului. Glonțul și pușca au impulsuri la fel de mari, 8 kg·m/s, doar de sens opus. Pușca are însă masa de patru sute de ori mai mare și de aceea este de patru sute de ori mai lentă. Impulsul gazelor de ardere, care ies din țeavă împreună cu glonțul, l-am neglijat.

Doi metri pe secundă înseamnă peste șapte kilometri pe oră. Cine ține pușca lejer primește cu patul puștii o lovitură zdravănă în umăr. De aceea patul se sprijină ferm de umăr. Pușca pornește atunci împreună cu trăgătorul, iar impulsul de 8 kg·m/s se împarte la o masă mult mai mare. Cu un trăgător cu masa 80 kg iese

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Trăgătorul este doar împins ușor, iar dacă se sprijină ferm de pământ, nici atât.

Două patinatoare

Pe gheață stau față în față patinatoarele Elena și Ana. Își lipesc palmele și se împing una de alta. Elena are masa 50 kg, Ana 60 kg. Ana se îndepărtează cu viteza 1 m/s. Cu ce viteză se îndepărtează Elena?

Alegem sensul pozitiv în sensul în care se îndepărtează Ana, iar Elena o notăm cu indicele 1. Înainte de împingere stau amândouă pe loc, deci impulsul total este nul și după aceea:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Exprimăm viteza Elenei și înlocuim:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Elena se îndepărtează cu viteza 1,2 m/s în sens opus. Verificăm că impulsurile chiar se anulează:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Fiecare a primit impulsul 60 kg·m/s, fiecare în alt sens.

Elena (în roșu) și Ana (în albastru) înainte de împingere (în gri) și după ea, vitezele v⃗_1' și v⃗_2'

Vitezele patinatoarelor sunt în raportul 1,2:1, adică 6:5, și acesta este raportul invers al maselor lor 50:60. Patinatoarea mai ușoară se îndepărtează mai repede. Nu contează cât de tare s-au împins. Dacă s-ar fi împins la fel de mult timp cu o forță de două ori mai mare, ar fi plecat amândouă de două ori mai repede, dar raportul ar rămâne 6:5.

Și nu contează nici care dintre ele a împins. Ești tentat să crezi că, dacă împinge doar Elena, iar Ana ține mâinile ferm, pleacă mai ales Ana. Forțele din pereche sunt însă la fel de mari, oricine ar împinge, iar Elena, mai ușoară, pleacă din nou mai repede.

Pe același principiu funcționează și săritura dintr-o barcă mică pe mal. Săritorul se împinge de barcă, iar barca de el, așa că în timp ce el zboară înainte, barca se îndepărtează înapoi. Dacă este ușoară, se îndepărtează mult și săritorul, în loc să ajungă pe mal, aterizează în apă.

Ciocnirea vagoanelor

Într-o gară de triaj un vagon cu masa 20 t merge cu viteza 2 m/s și se lovește de un vagon aflat pe loc, cu aceeași masă. Cuplajele automate se închid la impact, iar vagoanele merg mai departe cuplate. Cât de repede?

O ciocnire după care corpurile rămân legate și merg împreună se numește ciocnire plastică. Alegem sensul pozitiv în sensul de mers al primului vagon.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

După ciocnire ambele vagoane au aceeași viteză v', deci impulsul lor este impulsul unui corp cu masa m₁ + m₂. Legea conservării impulsului:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Înainte de ciocnire are impuls doar primul vagon:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Același impuls trebuie să-l aibă după ciocnire ambele vagoane împreună. Îl împărțim la masa lor totală:

$v^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Vagoanele cuplate merg cu viteza 1 m/s, jumătate din viteza inițială. Masa s-a dublat, iar impulsul a rămas același, deci viteza a trebuit să scadă la jumătate. Dacă vagonul s-ar fi lovit de o pereche de vagoane cuplate, aflate pe loc, același impuls s-ar fi împărțit la masa triplă 60.000 kg și toate trei ar merge cu o treime din viteză, aproximativ 0,67 m/s.

Un vagon se lovește de un vagon aflat pe loc, iar vagoanele cuplate merg mai departe cu jumătate din viteză

Marcajele portocalii arată unde era partea din față a vagonului roșu după intervale egale de timp. Cât timp vagonul roșu merge singur, ele sunt egal depărtate între ele. După cuplarea cu vagonul albastru, intervalele sunt tot egale, doar de două ori mai mici.

Acum urmează cazul mai înșelător. Al doilea vagon nu stă pe loc, ci merge în întâmpinarea primului cu viteza 1 m/s. Împotriva sensului pozitiv, deci v₂ = −1 m/s. Ar fi o greșeală să adunăm impulsurile ambelor vagoane fără să ținem cont de sens, vagoanele cuplate ar ieși atunci cu viteza 1,5 m/s. Viteza celui de-al doilea vagon o înlocuim deci cu tot cu semnul minus:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Vagoanele cuplate vor merge cu viteza 0,5 m/s în sensul în care mergea primul vagon. Dacă ar merge unul spre altul la fel de repede, s-ar opri pe loc.

Vagoanele totuși nu sunt un sistem izolat, roțile se freacă de șine. Aceste forțe exterioare sunt însă mici, iar ciocnirea durează doar o fracțiune de secundă, așa că în acest timp schimbă impulsul vagoanelor neglijabil. Forțele dintre vagoanele care se ciocnesc sunt de multe ori mai mari. De aceea putem folosi legea conservării impulsului la ciocniri, chiar dacă sistemul nu este complet izolat.

Racheta

Racheta stă în spațiu, departe de planete, iar impulsul ei total este, împreună cu combustibilul, nul. Motorul arde combustibil și aruncă gaze fierbinți prin duză înapoi, cu o viteză uriașă. Gazele primesc astfel impuls înapoi, iar pentru ca impulsul total al rachetei cu gazele să rămână nul, racheta trebuie să capete un impuls la fel de mare înainte. Racheta este de fapt o pușcă care trage în fiecare secundă înapoi o cantitate uriașă de „gloanțe” mărunte și de fiecare dată accelerează puțin înainte.

Asupra sistemului rachetă și gaze nu trebuie să acționeze nimic din exterior, racheta nu are nevoie de sol sau aer și accelerează și în vid. Se împinge de gazele pe care le poartă singură și le aruncă singură. Cu cât aruncă mai mult gaz pe secundă și cu cât mai repede, cu atât îi dă mai mult impuls și cu atât accelerează ea mai tare.

Impulsul se transferă la ciocnire doar de la un corp la altul. Forța care îl scade într-adevăr și până la urmă oprește aproape tot ce alunecă pe sol este frecarea. Despre ea este articolul următor, Frecarea.

« Anterior: Impulsul și impulsul forței

Următor: Frecarea »