Conservation de la quantité de mouvement

La quantité de mouvement ne naît pas de rien et ne disparaît pas sans laisser de trace. Elle peut seulement être transmise d’un corps à un autre. Que deux chariots se heurtent ou que deux personnes se repoussent, l’un gagne de la quantité de mouvement et l’autre en perd exactement autant. La somme des deux reste ce qu’elle était. C’est ce qu’on appelle la conservation de la quantité de mouvement, et c’est l’une des lois les plus utiles de toute la physique. Grâce à elle, nous calculons ce qui se passe après un choc sans connaître les forces qui se sont exercées pendant celui-ci, ni la durée de leur action.

Système isolé

Pour que la loi s’applique, nous devons d’abord dire de quels corps nous parlons. Nous choisissons quelques corps qui nous intéressent, par exemple deux wagons, et nous les appellerons un système. Les forces avec lesquelles les corps du système agissent les uns sur les autres sont des forces intérieures. Les forces que quelque chose d’extérieur exerce sur eux, par exemple la Terre ou les rails, sont des forces extérieures.

Un système est isolé quand aucune force extérieure ne s’exerce sur lui, ou quand les forces extérieures s’annulent et que leur résultante est nulle. Un système parfaitement isolé n’existe pas sur la Terre, mais on s’en approche souvent beaucoup. Une patineuse sur la glace est tirée vers le bas par la Terre et la glace la soutient par en dessous avec une force de même valeur, ces deux forces s’annulent donc. Les frottements des patins sont faibles et nous les négligeons.

Une pierre qui tombe d’une falaise, en revanche, n’est pas un système isolé. La Terre la tire, c’est une force extérieure, et sa quantité de mouvement augmente donc. Mais si nous ajoutons la Terre au système, la force entre la pierre et la Terre devient une force intérieure. La pierre tire la Terre vers elle avec la même force que la Terre la tire, et la Terre acquiert une quantité de mouvement de même valeur et de sens opposé, mais avec sa masse énorme, à une vitesse minuscule. Il en va de même pour la balle de tennis qui rebondit sur un mur. La quantité de mouvement de 2,4 kg·m/s qu’elle a perdue a été reprise par le mur et avec lui par toute la Terre, qui, à cause de sa masse, s’est mise en mouvement avec une lenteur imperceptible.

La quantité de mouvement totale d’un système est la somme vectorielle des quantités de mouvement de tous ses corps. Pour deux corps :

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Quand les corps se déplacent sur une même droite, nous choisissons un sens positif et nous additionnons les quantités de mouvement comme des nombres avec leur signe. Un corps qui va contre le sens positif a une quantité de mouvement négative.

Pourquoi la quantité de mouvement totale ne change pas

Prenons deux corps d’un système isolé qui agissent l’un sur l’autre pendant un moment, qu’ils se heurtent ou qu’ils se repoussent. Aucune autre force ne s’exerce sur eux, ou elles s’annulent, et la quantité de mouvement de chacun ne varie donc que sous l’effet de la force de l’autre. Le corps 2 agit sur le corps 1 avec une force ${\vec{F}}_{1}$ . D’après la troisième loi de Newton, le corps 1 agit sur le corps 2 avec une force de même valeur et de sens opposé :

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Les deux forces apparaissent au même instant et disparaissent au même instant, elles agissent donc pendant la même durée Δt. L’impulsion d’une force est égale à la variation de la quantité de mouvement, c’est pourquoi les quantités de mouvement des deux corps varient de

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Les variations de la quantité de mouvement ont la même valeur et sont opposées. Additionnons-les :

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

La quantité de mouvement totale n’a pas changé. Ce qu’un corps a gagné, l’autre l’a perdu. La force lors d’un choc n’est certes pas constante, mais cela ne gêne pas. Nous découpons le choc en tout petits instants ; dans chacun d’eux, les deux forces ont la même valeur et sont opposées, la quantité de mouvement totale ne change donc dans aucun.

À l’intérieur du système, les corps peuvent se heurter, se pousser et se repousser comme ils veulent. Les forces intérieures viennent toujours par paires action-réaction, elles ne peuvent donc pas changer la quantité de mouvement totale. Seule une force extérieure en est capable. Il en va de même pour un plus grand nombre de corps, chaque paire de corps ne fait qu’échanger de la quantité de mouvement. Le baron de Münchhausen, qui se serait tiré lui-même d’un marécage par les cheveux, a donc tout inventé. La main tire les cheveux, les cheveux tirent la main, et les deux forces restent à l’intérieur du baron et ne changent pas sa quantité de mouvement totale. Nous avons ainsi déduit la loi :

La quantité de mouvement totale d’un système isolé ne change pas. Les quantités de mouvement avant le phénomène (sans prime) et après (avec prime) ont la même somme :

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Attention, seule la somme est constante. La quantité de mouvement de chaque corps peut changer, et en général elle change.

Le recul d’un fusil

Un chasseur tire avec un fusil de masse 4 kg. Une balle de masse 10 g part à 800 m/s. À quelle vitesse le fusil recule-t-il ? Nous ne tenons pas compte pour l’instant des mains ni de l’épaule du chasseur, le fusil est simplement suspendu librement dans l’air.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Nous choisissons comme sens positif le sens de vol de la balle. Avant le tir, le fusil et la balle sont immobiles, la quantité de mouvement totale est nulle. Elle doit l’être aussi après le tir :

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Nous retranchons la quantité de mouvement de la balle et nous divisons par la masse du fusil :

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Nous remplaçons :

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Le fusil part à 2 m/s et le moins indique que c’est vers l’arrière, contre le sens de vol de la balle. La balle et le fusil ont des quantités de mouvement de même valeur, 8 kg·m/s, mais de sens opposés. Le fusil a toutefois une masse quatre cents fois plus grande, il est donc quatre cents fois plus lent. Nous avons négligé la quantité de mouvement des gaz de combustion qui sortent du canon avec la balle.

Deux mètres par seconde, c’est plus de sept kilomètres par heure. Celui qui ne tient le fusil que mollement reçoit un bon coup de crosse dans l’épaule. C’est pourquoi la crosse s’appuie fermement contre l’épaule. Le fusil recule alors avec le tireur et la quantité de mouvement de 8 kg·m/s se répartit sur une masse bien plus grande. Avec un tireur de masse 80 kg, cela donne

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Le tireur est à peine poussé, et s’il s’arc-boute fermement sur le sol, même pas.

Deux patineuses

Sur la glace, les patineuses Camille et Lucie se font face. Elles appuient paume contre paume et se repoussent. Camille a une masse de 50 kg, Lucie de 60 kg. Lucie s’éloigne à 1 m/s. À quelle vitesse Camille s’éloigne-t-elle ?

Nous choisissons comme sens positif le sens dans lequel Lucie s’éloigne et nous notons Camille avec l’indice 1. Avant la poussée, toutes deux sont immobiles, la quantité de mouvement totale est donc nulle, et après aussi :

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Nous exprimons la vitesse de Camille et nous remplaçons :

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Camille s’éloigne à 1,2 m/s dans le sens opposé. Vérifions que les quantités de mouvement s’annulent bien :

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Chacune a reçu une quantité de mouvement de 60 kg·m/s, chacune dans une direction différente.

Camille (en rouge) et Lucie (en bleu) avant la poussée (en gris) et après, vitesses v⃗_1' et v⃗_2'

Les vitesses des patineuses sont dans le rapport 1,2:1, soit 6:5, et c’est l’inverse du rapport de leurs masses 50:60. La patineuse la plus légère s’éloigne plus vite. La force avec laquelle elles se sont repoussées n’y change rien. Si elles s’étaient repoussées pendant la même durée avec une force deux fois plus grande, elles seraient parties toutes les deux deux fois plus vite, mais le rapport resterait 6:5.

Et peu importe aussi laquelle des deux a poussé. On est tenté de penser que si seule Camille pousse et que Lucie garde les bras raides, c’est surtout Lucie qui part. Mais les deux forces d’une paire action-réaction ont la même valeur, quelle que soit celle qui pousse, et c’est de nouveau Camille, plus légère, qui part plus vite.

Le saut d’un petit bateau vers la rive repose sur le même principe. Le sauteur s’appuie sur le bateau et le bateau sur lui, de sorte que pendant qu’il file vers l’avant, le bateau recule. Quand il est léger, il lui file sous les pieds et, au lieu d’atteindre la rive, le sauteur retombe dans l’eau.

Choc de wagons

Dans une gare de triage, un wagon de masse 20 t roule à 2 m/s et heurte un wagon immobile de même masse. Les attelages automatiques se verrouillent au choc et les wagons continuent accrochés. À quelle vitesse ?

Un choc après lequel les corps restent accrochés et continuent ensemble s’appelle un choc inélastique. Nous choisissons comme sens positif le sens de marche du premier wagon.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Après le choc, les deux wagons ont la même vitesse v', leur quantité de mouvement est donc celle d’un seul corps de masse m₁ + m₂. Conservation de la quantité de mouvement :

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Avant le choc, seul le premier wagon a une quantité de mouvement :

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Les deux wagons ensemble doivent avoir la même quantité de mouvement après le choc. Nous la divisons par leur masse totale :

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

Les wagons accrochés roulent à 1 m/s, la moitié de la vitesse initiale. La masse a doublé et la quantité de mouvement est restée la même, la vitesse a donc dû être divisée par deux. Si le wagon heurtait deux wagons accrochés et immobiles, la même quantité de mouvement se répartirait sur une masse triple de 60 000 kg et les trois rouleraient au tiers de la vitesse, environ 0,67 m/s.

Un wagon heurte un wagon immobile et les wagons accrochés continuent à la moitié de la vitesse

Les repères orange montrent où se trouvait l’avant du wagon rouge après des durées égales. Tant que le wagon rouge roule seul, ils sont à égale distance les uns des autres. Après l’accrochage avec le wagon bleu, les écarts restent égaux, mais moitié plus petits.

Voici maintenant un cas plus traître. Le deuxième wagon n’est pas immobile, il roule à 1 m/s en sens inverse du premier. Contre le sens positif, donc v₂ = −1 m/s. Ce serait une erreur d’additionner les quantités de mouvement des deux wagons sans tenir compte du sens, les wagons accrochés rouleraient alors à 1,5 m/s. Nous remplaçons donc la vitesse du deuxième wagon avec son signe moins :

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Les wagons accrochés rouleront à 0,5 m/s dans le sens où roulait le premier wagon. S’ils roulaient l’un vers l’autre à la même vitesse, ils s’arrêteraient sur place.

À vrai dire, les wagons ne forment pas un système isolé, les roues frottent sur les rails. Mais ces forces extérieures sont faibles et le choc ne dure qu’une fraction de seconde, elles ne changent donc que de façon négligeable la quantité de mouvement des wagons pendant ce temps. Les forces entre les wagons qui se heurtent sont, elles, bien des fois plus grandes. C’est pourquoi nous pouvons utiliser la conservation de la quantité de mouvement pour les chocs, même si le système n’est pas tout à fait isolé.

La fusée

Une fusée est dans l’espace, loin des planètes, et sa quantité de mouvement totale, carburant compris, est nulle. Le moteur brûle le carburant et expulse par la tuyère des gaz chauds vers l’arrière à une vitesse énorme. Les gaz reçoivent ainsi une quantité de mouvement vers l’arrière et, pour que la quantité de mouvement totale de la fusée et des gaz reste nulle, la fusée doit en prendre autant vers l’avant. La fusée est en fait un fusil qui tire chaque seconde vers l’arrière une énorme quantité de minuscules « balles » et qui accélère chaque fois un peu vers l’avant.

Rien d’extérieur n’a besoin d’agir sur le système formé par la fusée et les gaz, la fusée n’a besoin d’aucun sol ni d’aucun air et accélère même dans le vide. Elle s’appuie sur les gaz qu’elle emporte et qu’elle éjecte elle-même. Plus elle éjecte de gaz par seconde et plus vite, plus elle leur transmet de quantité de mouvement et plus elle accélère elle-même.

Lors d’un choc, la quantité de mouvement ne fait que passer d’un corps à l’autre. La force qui retire vraiment du mouvement et finit par arrêter presque tout ce qui glisse sur le sol, ce sont les frottements. L’article suivant leur est consacré : Frottements.

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