Закон збереження імпульсу

Імпульс не виникає з нічого і не зникає безслідно. Його можна лише передати від одного тіла іншому. Чи то два візки зіткнуться, чи двоє людей відштовхнуться одне від одного, одне тіло імпульс отримає, а друге точно такий самий утратить. Сума обох імпульсів лишається такою, якою була. Це називають законом збереження імпульсу, і він належить до найкорисніших законів усієї фізики. Завдяки йому ми обчислюємо, що станеться після зіткнення, не знаючи сил, які під час нього діяли, ані часу їхньої дії.

Замкнена система

Щоб закон діяв, спершу треба сказати, про які тіла ми говоримо. Вибираємо кілька тіл, що нас цікавлять, наприклад, два вагони, і називатимемо їх системою. Сили, якими тіла системи діють одне на одне, — це внутрішні сили. Сили, якими на них діє щось ззовні, наприклад, Земля чи рейки, — це зовнішні сили.

Система замкнена, коли на неї не діють жодні зовнішні сили або коли зовнішні сили компенсують одна одну і їхня рівнодійна нульова. Цілком замкненої системи на Землі не існує, але часто ми до неї дуже наближаємося. Ковзаняра на льоду Земля тягне вниз, а лід утримує його знизу такою самою силою, тож ці дві сили компенсують одна одну. Тертя ковзанів мале, і ми його не враховуємо.

Камінь, що падає зі скелі, натомість замкненою системою не є. Його тягне Земля, це зовнішня сила, тому його імпульс зростає. Але коли до системи додати й Землю, сила між каменем і Землею стає внутрішньою. Камінь тягне Землю до себе з такою самою силою, з якою Земля тягне його, і Земля здобуває імпульс такого самого модуля й протилежного напрямку, лише за своєї величезної маси має мізерну швидкість. Так само з тенісним м'ячем, відбитим від стіни. Імпульс 2,4 кг·м/с, який він утратив, перейняла стіна, а з нею вся Земля, яка через свою масу зрушила непомітно повільно.

Повний імпульс системи — це векторна сума імпульсів усіх її тіл. Для двох тіл:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Коли тіла рухаються по одній прямій, вибираємо додатний напрямок і додаємо імпульси як числа зі знаком. Тіло, що рухається проти додатного напрямку, має від'ємний імпульс.

Чому повний імпульс не змінюється

Візьмімо два тіла замкненої системи, які якийсь час діють одне на одне, чи то зіштовхуються, чи відштовхуються. Інші сили на них не діють або компенсують одна одну, тож імпульс кожного змінює лише сила з боку іншого. Тіло 2 діє на тіло 1 із силою ${\vec{F}}_{1}$ . За третім законом Ньютона тіло 1 діє на тіло 2 із силою такого самого модуля й протилежного напрямку:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Обидві сили виникають в ту саму мить і в ту саму мить зникають, тож діють однаково довго, протягом часу Δt. Імпульс сили дорівнює зміні імпульсу тіла, тому імпульси обох тіл змінюються на

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Зміни імпульсів однакові за модулем і протилежні. Додамо їх:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Повний імпульс не змінився. Що одне тіло здобуло, те друге втратило. Сила під час зіткнення, щоправда, не є сталою, але це не заважає. Усе зіткнення розділимо на крихітні проміжки часу; у кожному з них обидві сили однакові за модулем і протилежні, тож повний імпульс не змінюється в жодному.

Усередині системи тіла можуть зіштовхуватися, тиснути й відштовхуватися як завгодно. Внутрішні сили завжди виникають парами дії та протидії, тому повний імпульс змінити не можуть. Змінити його вміє лише зовнішня сила. Те саме стосується й більшої кількості тіл, кожна пара лише обмінюється імпульсом. Барон Мюнхгаузен, який нібито сам витягнув себе за волосся з болота, отже, вигадував. Рука тягне за волосся, волосся за руку, і обидві сили лишаються всередині барона й не змінюють його повного імпульсу. Так ми вивели закон:

Повний імпульс замкненої системи не змінюється. Імпульси до процесу (без штриха) і після нього (зі штрихом) мають однакову суму:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Зверни увагу: сталою є лише сума. Імпульс окремих тіл змінюватися може, і зазвичай змінюється.

Віддача гвинтівки

Мисливець стріляє з гвинтівки масою 4 кг. Куля масою 10 г вилітає зі швидкістю 800 м/с. З якою швидкістю гвинтівка відскочить назад? Руки та плече мисливця поки не розглядаємо, гвинтівка просто висить вільно в повітрі.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 г = 0, 01 к г \\ v_{1}^{'} & = 800 м / с \\ m_{2} & = 4 к г \\ v_{2}^{'} & = ? (м / с) \end{aligned}$

Додатний напрямок виберемо за напрямком польоту кулі. Перед пострілом і гвинтівка, і куля стоять, повний імпульс нульовий. Нульовим має бути й після пострілу:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Перенесемо імпульс кулі й поділимо на масу гвинтівки:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Підставимо:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 к г \cdot 800 м / с}{4 к г} = - 2 м / с$

Гвинтівка рушає зі швидкістю 2 м/с, а мінус означає, що назад, проти польоту кулі. Куля і гвинтівка мають імпульс однакового модуля, 8 кг·м/с, лише протилежного напрямку. Але маса гвинтівки у чотириста разів більша, тому вона в чотириста разів повільніша. Імпульс порохових газів, що вилітають зі ствола разом із кулею, ми не враховували.

Два метри за секунду — це понад сім кілометрів на годину. Хто тримає гвинтівку нещільно, отримає прикладом добрячий удар у плече. Тому приклад міцно впирають у плече. Тоді гвинтівка рухається разом зі стрільцем, а імпульс 8 кг·м/с розподіляється на набагато більшу масу. Зі стрільцем масою 80 кг це

$v = \frac{8 к г \cdot м / с}{84 к г} \approx 0, 1 м / с .$

Стрільця це лише легенько штовхне, а якщо він міцно впреться в землю, то й цього не буде.

Дві ковзанярки

На льоду одна проти одної стоять ковзанярки Тетяна та Людмила. Вони впираються долонями в долоні й відштовхуються. Тетяна має масу 50 кг, Людмила — 60 кг. Людмила від'їжджає зі швидкістю 1 м/с. З якою швидкістю від'їде Тетяна?

Додатний напрямок виберемо туди, куди від'їжджає Людмила, а Тетяну позначимо індексом 1. Перед відштовхуванням обидві стоять, тож повний імпульс нульовий, і після нього також:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Виразимо швидкість Тетяни й підставимо:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 к г \cdot 1 м / с}{50 к г} = - 1, 2 м / с \end{aligned}$

Тетяна від'їде зі швидкістю 1,2 м/с в протилежний бік. Перевіримо, що імпульси справді в сумі дають нуль:

$50 к г \cdot (- 1, 2 м / с) + 60 к г \cdot 1 м / с = 0$

Кожна дістала імпульс 60 кг·м/с, кожна в інший бік.

Тетяна (червона) і Людмила (синя) до відштовхування (сірі) та після нього, швидкості v⃗_1' і v⃗_2'

Швидкості ковзанярок відносяться як 1,2:1, тобто 6:5, а це обернене відношення їхніх мас 50:60. Легша ковзанярка від'їжджає швидше. Від того, наскільки сильно вони відштовхувалися, це не залежить. Якби вони відштовхувалися однаково довго вдвічі більшою силою, обидві від'їхали б удвічі швидше, але відношення лишилося б 6:5.

Не залежить це й від того, котра з них штовхала. Може здатися, що коли штовхає лише Тетяна, а Людмила тримає руки міцно, від'їде здебільшого Людмила. Але сили в парі однакові, хто б не штовхав, і легша Тетяна знову від'їде швидше.

На тому самому принципі тримається стрибок із маленького човна на берег. Стрибун відштовхується від човна, а човен від нього, тож поки він летить уперед, човен відпливає назад. Якщо човен легкий, він відпливе далеко, і замість берега стрибун потрапить у воду.

Зіткнення вагонів

На сортувальній станції вагон масою 20 т їде зі швидкістю 2 м/с і врізається в нерухомий вагон тієї самої маси. Автозчепи під час удару спрацьовують, і вагони продовжують рух зчеплені. З якою швидкістю?

Зіткнення, після якого тіла лишаються з'єднаними й рухаються разом, називають непружним ударом. Додатний напрямок виберемо за напрямком руху першого вагона.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 т = 20 000 к г \\ v_{1} & = 2 м / с \\ v_{2} & = 0 м / с \\ v^{'} & = ? (м / с) \end{aligned}$

Після зіткнення обидва вагони мають однакову швидкість v', тож їхній імпульс — це імпульс одного тіла масою m₁ + m₂. Закон збереження імпульсу:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

До зіткнення імпульс має лише перший вагон:

$20 000 к г \cdot 2 м / с = 40 000 к г \cdot м / с$

Такий самий імпульс мають мати після зіткнення обидва вагони разом. Поділимо його на їхню загальну масу:

$v^{'} = \frac{40 000 к г \cdot м / с}{40 000 к г} = 1 м / с$

Зчеплені вагони їдуть зі швидкістю 1 м/с, тобто вдвічі повільніше за початкову. Маса подвоїлася, а імпульс лишився тим самим, тож швидкість мусила зменшитися вдвічі. Якби вагон врізався в нерухому пару зчеплених вагонів, той самий імпульс розподілився б на втричі більшу масу 60 000 кг, і всі три їхали б утричі повільніше, зі швидкістю приблизно 0,67 м/с.

Вагон врізається в нерухомий вагон, і зчеплені вагони рухаються вдвічі повільніше

Помаранчеві позначки показують, де був перед червоного вагона через однакові проміжки часу. Поки червоний вагон їде сам, вони розташовані на однаковій відстані одна від одної. Після зчеплення із синім вагоном проміжки лишаються однаковими, лише вдвічі меншими.

Тепер підступніший випадок. Другий вагон не стоїть, а їде назустріч першому зі швидкістю 1 м/с. Проти додатного напрямку, тож v₂ = −1 м/с. Помилкою було б додати імпульси обох вагонів без огляду на напрямок, тоді зчеплені вагони мали б швидкість 1,5 м/с. Тому швидкість другого вагона підставимо зі знаком мінус:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 к г \cdot 2 м / с + 20 000 к г \cdot (- 1 м / с)}{40 000 к г} \\ = \frac{20 000 к г \cdot м / с}{40 000 к г} = 0, 5 м / с \end{aligned}$

Зчеплені вагони поїдуть зі швидкістю 0,5 м/с у напрямку, в якому їхав перший вагон. Якби вони їхали назустріч із однаковою швидкістю, то зупинилися б на місці.

Вагони все ж не є замкненою системою, колеса труться об рейки. Але ці зовнішні сили малі, а зіткнення триває лише частку секунди, тож за цей час вони змінюють імпульс вагонів нехтовно мало. Сили між вагонами, що зіштовхуються, у багато разів більші. Тому закон збереження імпульсу можна застосовувати до зіткнень, навіть коли система не зовсім замкнена.

Ракета

Ракета стоїть у космосі далеко від планет, і її повний імпульс разом із паливом нульовий. Двигун спалює паливо й викидає гарячі гази соплом назад з величезною швидкістю. Гази таким чином дістають імпульс назад, і щоб повний імпульс ракети з газами лишався нульовим, ракета мусить набрати такий самий за модулем імпульс уперед. Ракета, по суті, є гвинтівкою, яка щосекунди випускає назад величезну кількість дрібних «куль» і щоразу сама трохи прискорюється вперед.

На систему з ракети й газів не обов'язково щось діє ззовні, ракеті не потрібні ні земля, ні повітря, і вона прискорюється й у безповітряному просторі. Вона відштовхується від газів, які сама несе й сама викидає. Що більше газу за секунду вона викине і що швидше, то більший імпульс йому передасть і то більше прискориться сама.

Імпульс під час зіткнення лише перетікає від тіла до тіла. Сила, яка рух справді забирає і зрештою зупиняє майже все, що ковзає по землі, — це тертя. Про нього наступна стаття, Тертя.

« Попередня: Імпульс тіла та імпульс сили

Наступна: Тертя »