Αρχή διατήρησης της ορμής

Η ορμή δεν δημιουργείται από το τίποτα ούτε εξαφανίζεται χωρίς ίχνος. Μπορεί μόνο να μεταφερθεί από ένα σώμα σε άλλο. Είτε συγκρούονται δύο καροτσάκια είτε σπρώχνονται δύο άνθρωποι, το ένα σώμα αποκτά ορμή και το άλλο χάνει ακριβώς ίση. Το άθροισμα των δύο ορμών μένει το ίδιο. Αυτό λέγεται αρχή διατήρησης της ορμής και είναι από τους πιο χρήσιμους νόμους ολόκληρης της φυσικής. Χάρη σε αυτήν υπολογίζουμε τι θα συμβεί μετά από μια σύγκρουση, χωρίς να γνωρίζουμε τις δυνάμεις που ασκήθηκαν κατά τη σύγκρουση ούτε τη διάρκεια της δράσης τους.

Μονωμένο σύστημα

Για να ισχύει η αρχή, πρέπει πρώτα να πούμε για ποια σώματα μιλάμε. Διαλέγουμε μερικά σώματα που μας ενδιαφέρουν, για παράδειγμα δύο βαγόνια, και αυτά θα τα λέμε σύστημα. Οι δυνάμεις που ασκούν τα σώματα του συστήματος το ένα στο άλλο είναι εσωτερικές δυνάμεις. Οι δυνάμεις που ασκεί σε αυτά κάτι απ' έξω, για παράδειγμα η Γη ή οι ράγες, είναι εξωτερικές δυνάμεις.

Ένα σύστημα είναι μονωμένο, όταν δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές δυνάμεις ή όταν οι εξωτερικές δυνάμεις αλληλοαναιρούνται και η συνισταμένη τους είναι μηδέν. Ένα απόλυτα μονωμένο σύστημα στη Γη δεν υπάρχει, πολύ συχνά όμως το πλησιάζουμε αρκετά. Τον παγοδρόμο στον πάγο τον τραβά η Γη προς τα κάτω και ο πάγος τον στηρίζει από κάτω με εξίσου μεγάλη δύναμη, άρα αυτές οι δύο δυνάμεις αλληλοαναιρούνται. Η τριβή των παγοπέδιλων είναι μικρή και την αγνοούμε.

Μια πέτρα που πέφτει από βράχο, αντίθετα, δεν είναι μονωμένο σύστημα. Την έλκει η Γη, και αυτή είναι εξωτερική δύναμη, γι' αυτό η ορμή της αυξάνεται. Όταν όμως προσθέσουμε στο σύστημα και τη Γη, η δύναμη ανάμεσα στην πέτρα και τη Γη γίνεται εσωτερική. Η πέτρα τραβά τη Γη προς το μέρος της με εξίσου μεγάλη δύναμη όση η Γη την πέτρα, και η Γη αποκτά εξίσου μεγάλη ορμή αντίθετης κατεύθυνσης, μόνο που λόγω της τεράστιας μάζας της έχει ελάχιστη ταχύτητα. Παρόμοια είναι τα πράγματα με το μπαλάκι του τένις που αναπηδά από τον τοίχο. Την ορμή 2,4 kg·m/s, που έχασε, την πήρε ο τοίχος και μαζί του ολόκληρη η Γη, που λόγω της μάζας της άρχισε να κινείται ανεπαίσθητα αργά.

Η ολική ορμή ενός συστήματος είναι το διανυσματικό άθροισμα των ορμών όλων των σωμάτων του. Για δύο σώματα:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

Όταν τα σώματα κινούνται πάνω στην ίδια ευθεία, διαλέγουμε θετική φορά και προσθέτουμε τις ορμές ως αριθμούς με πρόσημο. Ένα σώμα που κινείται αντίθετα προς τη θετική φορά έχει αρνητική ορμή.

Γιατί η ολική ορμή δεν αλλάζει

Πάρε δύο σώματα ενός μονωμένου συστήματος, που για λίγο ασκούν δυνάμεις το ένα στο άλλο, είτε συγκρούονται είτε σπρώχνει το ένα το άλλο. Άλλες δυνάμεις δεν ασκούνται σε αυτά ή αλληλοαναιρούνται, οπότε την ορμή του καθενός την αλλάζει μόνο η δύναμη του άλλου. Το σώμα 2 ασκεί στο σώμα 1 δύναμη ${\vec{F}}_{1}$ . Σύμφωνα με τον τρίτο νόμο του Νεύτωνα το σώμα 1 ασκεί στο σώμα 2 εξίσου μεγάλη δύναμη αντίθετης κατεύθυνσης:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Και οι δύο δυνάμεις εμφανίζονται την ίδια στιγμή και την ίδια στιγμή εξαφανίζονται, άρα ασκούνται για τον ίδιο χρόνο Δt. Η ώθηση της δύναμης ισούται με τη μεταβολή της ορμής, γι' αυτό οι ορμές των δύο σωμάτων αλλάζουν κατά

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Οι μεταβολές της ορμής είναι ίσες και αντίθετες. Τις προσθέτουμε:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Η ολική ορμή δεν άλλαξε. Ό,τι απέκτησε το ένα σώμα, το έχασε το άλλο. Η δύναμη στη σύγκρουση δεν είναι σταθερή, αυτό όμως δεν πειράζει. Χωρίζουμε ολόκληρη τη σύγκρουση σε πολύ μικρές στιγμές· σε καθεμία οι δύο δυνάμεις είναι ίσες και αντίθετες, άρα η ολική ορμή δεν αλλάζει σε καμία.

Μέσα στο σύστημα τα σώματα μπορούν να συγκρούονται, να σπρώχνονται και να απωθούνται όπως θέλουν. Οι εσωτερικές δυνάμεις εμφανίζονται πάντα σε ζεύγη δράσης και αντίδρασης, άρα δεν μπορούν να αλλάξουν την ολική ορμή. Μόνο μια εξωτερική δύναμη μπορεί να την αλλάξει. Το ίδιο ισχύει για περισσότερα σώματα, κάθε ζεύγος απλώς ανταλλάσσει ορμή. Ο βαρόνος Μινχάουζεν, που υποτίθεται ότι τράβηξε τον εαυτό του από τα μαλλιά έξω από τον βάλτο, το επινόησε λοιπόν. Το χέρι τραβά τα μαλλιά, τα μαλλιά το χέρι και οι δύο δυνάμεις μένουν μέσα στον βαρόνο και δεν αλλάζουν την ολική ορμή του. Έτσι αποδείξαμε την αρχή:

Η ολική ορμή ενός μονωμένου συστήματος σωμάτων διατηρείται σταθερή. Οι ορμές πριν από το φαινόμενο (χωρίς τόνο) και μετά από αυτό (με τόνο) έχουν το ίδιο άθροισμα:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Πρόσεξε, σταθερό είναι μόνο το άθροισμα. Η ορμή των επιμέρους σωμάτων μπορεί να αλλάζει και συνήθως αλλάζει.

Ανάκρουση του όπλου

Ένας κυνηγός πυροβολεί με όπλο μάζας 4 kg. Μια σφαίρα μάζας 10 g φεύγει με ταχύτητα 800 m/s. Πόσο γρήγορα κινείται το όπλο προς τα πίσω; Τα χέρια και τον ώμο του κυνηγού προς το παρόν δεν τα λαμβάνουμε υπόψη, το όπλο απλώς κρέμεται ελεύθερο στον αέρα.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ υ_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ υ_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Θετική φορά διαλέγουμε τη φορά πτήσης της σφαίρας. Πριν από τον πυροβολισμό το όπλο και η σφαίρα ακινητούν, η ολική ορμή είναι μηδέν. Μηδέν πρέπει να είναι και μετά τον πυροβολισμό:

$m_{1} \cdot υ_{1}^{'} + m_{2} \cdot υ_{2}^{'} = 0$

Αφαιρούμε την ορμή της σφαίρας και διαιρούμε με τη μάζα του όπλου:

$υ_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot υ_{1}^{'}}{m_{2}}$

Αντικαθιστούμε:

$υ_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Το όπλο ξεκινά με ταχύτητα 2 m/s και το μείον λέει ότι προς τα πίσω, αντίθετα προς την πτήση της σφαίρας. Η σφαίρα και το όπλο έχουν ορμή ίδιου μέτρου, 8 kg·m/s, μόνο αντίθετης κατεύθυνσης. Το όπλο όμως έχει τετρακόσιες φορές μεγαλύτερη μάζα, και γι' αυτό είναι τετρακόσιες φορές πιο αργό. Την ορμή των αερίων της καύσης που βγαίνουν από την κάνη μαζί με τη σφαίρα την αγνοήσαμε.

Δύο μέτρα ανά δευτερόλεπτο είναι πάνω από επτά χιλιόμετρα την ώρα. Όποιος κρατά το όπλο μόνο χαλαρά, θα φάει από το κοντάκι ένα γερό χτύπημα στον ώμο. Γι' αυτό το κοντάκι στηρίζεται σταθερά στον ώμο. Το όπλο τότε κινείται μαζί με τον σκοπευτή και η ορμή 8 kg·m/s μοιράζεται σε πολύ μεγαλύτερη μάζα. Με σκοπευτή μάζας 80 kg είναι

$υ = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Τον σκοπευτή αυτό τον σπρώχνει μόνο ελαφρά, και αν στηριχτεί γερά στο έδαφος, ούτε αυτό.

Δύο παγοδρόμοι

Στον πάγο στέκονται αντίκρυ η μία στην άλλη οι παγοδρόμοι Κατερίνα και Λουκία. Ακουμπούν παλάμη με παλάμη και σπρώχνονται. Η Κατερίνα έχει μάζα 50 kg, η Λουκία 60 kg. Η Λουκία απομακρύνεται με ταχύτητα 1 m/s. Πόσο γρήγορα απομακρύνεται η Κατερίνα;

Θετική φορά διαλέγουμε τη φορά προς την οποία φεύγει η Λουκία και την Κατερίνα τη σημειώνουμε με δείκτη 1. Πριν από το σπρώξιμο στέκονται και οι δύο, άρα η ολική ορμή είναι μηδέν και μετά:

$m_{1} \cdot υ_{1}^{'} + m_{2} \cdot υ_{2}^{'} = 0$

Εκφράζουμε την ταχύτητα της Κατερίνας και αντικαθιστούμε:

$\begin{aligned} υ_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot υ_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Η Κατερίνα απομακρύνεται με ταχύτητα 1,2 m/s προς την αντίθετη κατεύθυνση. Επαληθεύουμε ότι οι ορμές πράγματι δίνουν άθροισμα μηδέν:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Καθεμία πήρε ορμή 60 kg·m/s, αλλά με αντίθετη φορά.

Η Κατερίνα (με κόκκινο) και η Λουκία (με μπλε) πριν από το σπρώξιμο (με γκρι) και μετά από αυτό, ταχύτητες υ⃗_1' και υ⃗_2'

Οι ταχύτητες των παγοδρόμων έχουν λόγο 1,2:1, δηλαδή 6:5, και αυτός είναι ο αντίστροφος λόγος των μαζών τους 50:60. Η ελαφρύτερη παγοδρόμος απομακρύνεται ταχύτερα. Το πόσο δυνατά σπρώχτηκαν δεν παίζει ρόλο. Αν είχαν σπρωχτεί για τον ίδιο χρόνο με διπλάσια δύναμη, θα απομακρύνονταν και οι δύο με διπλάσια ταχύτητα, ο λόγος όμως θα έμενε 6:5.

Και δεν παίζει ρόλο ούτε ποια από τις δύο έσπρωξε. Είναι δελεαστικό να σκεφτεί κανείς ότι αν σπρώχνει μόνο η Κατερίνα και η Λουκία κρατά τα χέρια της σταθερά, θα φύγει κυρίως η Λουκία. Οι δυνάμεις στο ζεύγος όμως είναι ίσες, όποια κι αν σπρώχνει, και η ελαφρύτερη Κατερίνα απομακρύνεται πάλι ταχύτερα.

Στην ίδια αρχή στηρίζεται το πήδημα από μια μικρή βάρκα στην ακτή. Ο άνθρωπος που πηδά σπρώχνει τη βάρκα και η βάρκα εκείνον, οπότε ενώ αυτός πετά προς τα μπροστά, η βάρκα φεύγει προς τα πίσω. Όταν είναι ελαφριά, απομακρύνεται και ο άνθρωπος αντί για την ακτή προσγειώνεται στο νερό.

Σύγκρουση βαγονιών

Σε έναν σταθμό διαλογής κινείται ένα βαγόνι μάζας 20 t με ταχύτητα 2 m/s και χτυπά σε ένα ακίνητο βαγόνι ίδιας μάζας. Οι αυτόματοι σύνδεσμοι κουμπώνουν κατά τη σύγκρουση και τα βαγόνια συνεχίζουν ενωμένα. Με ποια ταχύτητα;

Μια σύγκρουση, μετά την οποία τα σώματα μένουν ενωμένα και συνεχίζουν μαζί, τη λέμε πλαστική κρούση. Θετική φορά διαλέγουμε τη φορά κίνησης του πρώτου βαγονιού.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20.000 kg \\ υ_{1} & = 2 m / s \\ υ_{2} & = 0 m / s \\ υ^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Μετά τη σύγκρουση και τα δύο βαγόνια έχουν την ίδια ταχύτητα υ', άρα η ορμή τους είναι η ορμή ενός σώματος μάζας m₁ + m₂. Η αρχή διατήρησης της ορμής:

$m_{1} \cdot υ_{1} + m_{2} \cdot υ_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot υ^{'}$

Πριν από τη σύγκρουση ορμή έχει μόνο το πρώτο βαγόνι:

$20.000 kg \cdot 2 m / s = 40.000 kg \cdot m / s$

Την ίδια ορμή πρέπει να έχουν μετά τη σύγκρουση τα δύο βαγόνια μαζί. Τη διαιρούμε με τη συνολική μάζα τους:

$υ^{'} = \frac{40.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 1 m / s$

Τα ενωμένα βαγόνια κινούνται με ταχύτητα 1 m/s, το μισό της αρχικής ταχύτητας. Η μάζα διπλασιάστηκε και η ορμή έμεινε ίδια, άρα η ταχύτητα έπρεπε να πέσει στο μισό. Αν το βαγόνι χτυπούσε σε δύο συνδεδεμένα ακίνητα βαγόνια, η ίδια ορμή θα μοιραζόταν σε τριπλάσια μάζα 60.000 kg και τα τρία θα κινούνταν με το ένα τρίτο της ταχύτητας, περίπου 0,67 m/s.

Ένα βαγόνι χτυπά σε ακίνητο βαγόνι και τα ενωμένα βαγόνια συνεχίζουν με μισή ταχύτητα

Τα πορτοκαλί σημάδια δείχνουν πού βρισκόταν το μπροστινό μέρος του κόκκινου βαγονιού σε ίσα χρονικά διαστήματα. Όσο το κόκκινο βαγόνι κινείται μόνο του, τα σημάδια ισαπέχουν. Μετά την ένωση με το μπλε βαγόνι οι αποστάσεις είναι ακόμη ίσες, μόνο μισές.

Τώρα έρχεται μια πιο ύπουλη περίπτωση. Το δεύτερο βαγόνι δεν στέκεται, αλλά κινείται αντίθετα προς το πρώτο με ταχύτητα 1 m/s. Αντίθετα προς τη θετική φορά, άρα υ₂ = −1 m/s. Λάθος θα ήταν να προσθέσουμε τις ορμές των δύο βαγονιών χωρίς να λάβουμε υπόψη την κατεύθυνση, γιατί τότε τα ενωμένα βαγόνια θα έβγαιναν με ταχύτητα 1,5 m/s. Την ταχύτητα του δεύτερου βαγονιού αντικαθιστούμε λοιπόν με το πρόσημο μείον:

$\begin{aligned} υ^{'} & = \frac{20.000 kg \cdot 2 m / s + 20.000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40.000 kg} \\ = \frac{20.000 kg \cdot m / s}{40.000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

Τα ενωμένα βαγόνια θα κινηθούν με ταχύτητα 0,5 m/s με τη φορά που κινούνταν το πρώτο βαγόνι. Αν κινούνταν το ένα προς το άλλο με ίσες ταχύτητες, θα σταματούσαν επί τόπου.

Τα βαγόνια πάντως δεν είναι μονωμένο σύστημα, οι τροχοί τρίβονται στις ράγες. Αυτές οι εξωτερικές δυνάμεις όμως είναι μικρές και η σύγκρουση διαρκεί μόνο κλάσμα του δευτερολέπτου, άρα στο διάστημα αυτό αλλάζουν την ορμή των βαγονιών αμελητέα. Οι δυνάμεις ανάμεσα στα βαγόνια που συγκρούονται είναι πολλές φορές μεγαλύτερες. Γι' αυτό μπορούμε να χρησιμοποιούμε την αρχή διατήρησης της ορμής στις συγκρούσεις, ακόμη κι όταν το σύστημα δεν είναι απόλυτα μονωμένο.

Πύραυλος

Ο πύραυλος στέκεται στο διάστημα μακριά από τους πλανήτες και η ολική ορμή του μαζί με το καύσιμο είναι μηδέν. Ο κινητήρας καίει καύσιμο και εκτοξεύει θερμά αέρια από το ακροφύσιο προς τα πίσω με τεράστια ταχύτητα. Τα αέρια αποκτούν έτσι ορμή προς τα πίσω και για να μείνει μηδέν η ολική ορμή του πυραύλου με τα αέρια, ο πύραυλος πρέπει να αποκτήσει εξίσου μεγάλη ορμή προς τα μπροστά. Ο πύραυλος είναι ουσιαστικά ένα όπλο, που κάθε δευτερόλεπτο εκτοξεύει προς τα πίσω τεράστιο αριθμό μικροσκοπικών «σφαιρών» και κάθε φορά επιταχύνεται ο ίδιος λίγο προς τα μπροστά.

Στο σύστημα πύραυλος και αέρια δεν χρειάζεται να ασκείται απ' έξω τίποτα, ο πύραυλος δεν χρειάζεται ούτε έδαφος ούτε αέρα και επιταχύνεται και στο κενό. Απωθείται από τα αέρια που κουβαλά και εκτοξεύει ο ίδιος. Όσο περισσότερο αέριο εκτοξεύει ανά δευτερόλεπτο και όσο ταχύτερα, τόσο μεγαλύτερη ορμή του μεταδίδει και τόσο περισσότερο επιταχύνεται ο ίδιος.

Η ορμή σε μια σύγκρουση απλώς μεταφέρεται από σώμα σε σώμα. Η δύναμη που πράγματι αφαιρεί κίνηση και τελικά σταματά σχεδόν όλα όσα γλιστρούν πάνω στο έδαφος είναι η τριβή. Σε αυτήν είναι αφιερωμένο το επόμενο άρθρο, Τριβή.

« Προηγούμενο: Ορμή και ώθηση

Επόμενο: Τριβή »