Lagen om rörelsemängdens bevarande

Rörelsemängd uppstår inte ur ingenting och försvinner inte spårlöst. Den kan bara föras över från en kropp till en annan. Om två vagnar krockar, eller två personer knuffar ifrån varandra, får den ena rörelsemängd och den andra förlorar exakt lika mycket. Summan av de båda rörelsemängderna förblir densamma. Det kallas lagen om rörelsemängdens bevarande, och den hör till de mest användbara lagarna i hela fysiken. Tack vare den kan vi beräkna vad som händer efter en krock utan att känna till de krafter som verkade under den, eller hur länge de verkade.

Isolerat system

För att lagen ska gälla måste vi först säga vilka kroppar vi talar om. Vi väljer ut några kroppar som vi är intresserade av, till exempel två vagnar, och kallar dem ett system. De krafter som systemets kroppar verkar på varandra med är inre krafter. De krafter som något utifrån verkar på dem med, till exempel jorden eller rälsen, är yttre krafter.

Ett system är isolerat när inga yttre krafter verkar på det, eller när de yttre krafterna tar ut varandra så att resultanten är noll. Ett helt isolerat system finns inte på jorden, men ofta kommer vi det mycket nära. Jorden drar en skridskoåkare på isen nedåt och isen håller emot underifrån med lika stor kraft, så de två krafterna tar ut varandra. Friktionen mot skridskorna är liten och vi bortser från den.

En sten som faller från ett berg är däremot inte ett isolerat system. Jorden drar i den, och det är en yttre kraft, så stenens rörelsemängd växer. Men om vi tar med jorden i systemet blir kraften mellan stenen och jorden en inre kraft. Stenen drar jorden mot sig med lika stor kraft som jorden drar i stenen, och jorden får lika stor rörelsemängd i motsatt riktning, men på grund av sin enorma massa med en försvinnande liten hastighet. På samma sätt är det med en tennisboll som studsar mot en vägg. Rörelsemängden 2,4 kg·m/s som bollen förlorade tog väggen över, och med den hela jorden, som på grund av sin massa började röra sig omärkligt långsamt.

Totala rörelsemängden hos ett system är vektorsumman av rörelsemängden hos alla dess kroppar. För två kroppar:

$\vec{p} = {\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2}$

När kropparna rör sig längs en rät linje väljer vi en positiv riktning och adderar rörelsemängderna som tal med tecken. En kropp som rör sig motsatt den positiva riktningen har negativ rörelsemängd.

Varför den totala rörelsemängden inte ändras

Vi tar två kroppar i ett isolerat system som verkar på varandra en stund, antingen genom att krocka eller genom att knuffa ifrån varandra. Inga andra krafter verkar på dem, eller så tar de ut varandra, så rörelsemängden hos var och en ändras bara av kraften från den andra. Kropp 2 verkar på kropp 1 med kraften ${\vec{F}}_{1}$ . Enligt Newtons tredje lag verkar kropp 1 på kropp 2 med en lika stor kraft i motsatt riktning:

${\vec{F}}_{2} = - {\vec{F}}_{1}$

Båda krafterna uppstår i samma ögonblick och försvinner i samma ögonblick, så de verkar lika länge, tiden Δt. Impulsen är lika med ändringen av rörelsemängden, därför ändras rörelsemängden hos de båda kropparna med

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{2} \cdot Δ t = - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \end{aligned}$

Ändringarna av rörelsemängden är lika stora och motsatta. Vi adderar dem:

$\begin{aligned} Δ {\vec{p}}_{1} + Δ {\vec{p}}_{2} & = {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t - {\vec{F}}_{1} \cdot Δ t \\ = \vec{0} \end{aligned}$

Den totala rörelsemängden har inte ändrats. Det den ena kroppen fick förlorade den andra. Kraften vid en krock är visserligen inte konstant, men det gör ingenting. Vi delar upp hela krocken i mycket korta ögonblick. I vart och ett av dem är de båda krafterna lika stora och motsatta, så den totala rörelsemängden ändras inte i något av dem.

Inuti systemet kan kropparna krocka, trycka och stöta bort varandra hur de vill. Inre krafter uppträder alltid i par av kraft och motkraft, så de kan aldrig ändra den totala rörelsemängden. Det kan bara en yttre kraft göra. Detsamma gäller för fler kroppar, varje par byter bara rörelsemängd med varandra. Baron Münchhausen, som påstås ha dragit upp sig själv ur ett kärr i håret, har alltså diktat ihop det. Handen drar i håret, håret drar i handen, och båda krafterna stannar inuti baronen och ändrar inte hans totala rörelsemängd. Därmed har vi härlett lagen:

Den totala rörelsemängden hos ett isolerat system ändras inte. Rörelsemängderna före händelsen (utan prim) och efter den (med prim) har samma summa:

${\vec{p}}_{1} + {\vec{p}}_{2} = {\vec{p}}_{1}^{'} + {\vec{p}}_{2}^{'}$

Observera att det bara är summan som är konstant. Rörelsemängden hos de enskilda kropparna kan ändras, och gör det oftast.

Gevärets rekyl

En jägare skjuter med ett gevär med massan 4 kg. Kulan med massan 10 g lämnar geväret med hastigheten 800 m/s. Hur snabbt rör sig geväret bakåt? Jägarens händer och axel bortser vi från för tillfället, geväret hänger helt enkelt fritt i luften.

$\begin{aligned} m_{1} & = 10 g = 0, 01 kg \\ v_{1}^{'} & = 800 m / s \\ m_{2} & = 4 kg \\ v_{2}^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Vi väljer kulans färdriktning som positiv riktning. Före skottet står både geväret och kulan stilla, så den totala rörelsemängden är noll. Den måste vara noll också efter skottet:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vi subtraherar kulans rörelsemängd och dividerar med gevärets massa:

$v_{2}^{'} = - \frac{m_{1} \cdot v_{1}^{'}}{m_{2}}$

Vi sätter in värdena:

$v_{2}^{'} = - \frac{0, 01 kg \cdot 800 m / s}{4 kg} = - 2 m / s$

Geväret rör sig med hastigheten 2 m/s, och minustecknet säger att det rör sig bakåt, motsatt kulans färdriktning. Kulan och geväret har lika stor rörelsemängd, 8 kg·m/s, bara i motsatta riktningar. Men geväret har fyrahundra gånger större massa och är därför fyrahundra gånger långsammare. Rörelsemängden hos de förbränningsgaser som kommer ut ur pipan tillsammans med kulan har vi bortsett från.

Två meter per sekund är över sju kilometer i timmen. Den som håller geväret löst får en rejäl smäll av kolven mot axeln. Därför trycker man kolven hårt mot axeln. Geväret rör sig då tillsammans med skytten, och rörelsemängden 8 kg·m/s fördelas på en mycket större massa. Med en skytt på 80 kg blir det

$v = \frac{8 kg \cdot m / s}{84 kg} \approx 0, 1 m / s .$

Skytten knuffas bara lätt, och om skytten tar spjärn hårt mot marken, inte ens det.

Två skridskoåkare

På isen står skridskoåkarna Maja och Lucia mitt emot varandra. De lägger handflatorna mot varandras och knuffar ifrån. Maja har massan 50 kg, Lucia 60 kg. Lucia glider iväg med hastigheten 1 m/s. Hur snabbt glider Maja iväg?

Vi väljer den riktning som Lucia glider åt som positiv och ger Maja index 1. Före knuffen står båda stilla, så den totala rörelsemängden är noll, och den är noll också efteråt:

$m_{1} \cdot v_{1}^{'} + m_{2} \cdot v_{2}^{'} = 0$

Vi löser ut Majas hastighet och sätter in värdena:

$\begin{aligned} v_{1}^{'} & = - \frac{m_{2} \cdot v_{2}^{'}}{m_{1}} \\ = - \frac{60 kg \cdot 1 m / s}{50 kg} = - 1, 2 m / s \end{aligned}$

Maja glider iväg med hastigheten 1,2 m/s åt andra hållet. Vi kontrollerar att rörelsemängderna verkligen tar ut varandra till noll:

$50 kg \cdot (- 1, 2 m / s) + 60 kg \cdot 1 m / s = 0$

Var och en fick rörelsemängden 60 kg·m/s, var och en åt sitt håll.

Maja (rött) och Lucia (blått) före knuffen (grått) och efter den, hastigheterna v⃗_1' och v⃗_2'

Skridskoåkarnas hastigheter förhåller sig som 1,2:1, alltså 6:5, och det är det omvända förhållandet mellan deras massor 50:60. Den lättare åkaren glider iväg snabbare. Hur hårt de knuffade ifrån spelar ingen roll. Om de under lika lång tid hade knuffat med dubbelt så stor kraft, hade båda glidit dubbelt så fort, men förhållandet skulle fortfarande vara 6:5.

Det spelar inte heller någon roll vem av dem som trycker. Det är lätt att tro att om bara Maja trycker och Lucia håller händerna stilla, så glider mest Lucia iväg. Men krafterna i ett par är lika stora vem som än trycker, och den lättare Maja glider ändå iväg snabbare.

På samma princip bygger ett hopp från en liten båt upp på land. Hopparen skjuter ifrån båten och båten ifrån hopparen, så medan han eller hon flyger framåt glider båten bakåt. Om båten är lätt glider den undan en bit, och hopparen landar i vattnet i stället för på land.

Krock mellan godsvagnar

På en rangerbangård rullar en vagn med massan 20 t med hastigheten 2 m/s och krockar med en stillastående vagn med samma massa. De automatiska kopplen hakar i vid stöten och vagnarna fortsätter hopkopplade. Hur snabbt?

En stöt där kropparna hänger ihop efteråt och fortsätter tillsammans kallas fullständigt oelastisk stöt. Vi väljer den första vagnens färdriktning som positiv riktning.

$\begin{aligned} m_{1} & = m_{2} = 20 t = 20 000 kg \\ v_{1} & = 2 m / s \\ v_{2} & = 0 m / s \\ v^{'} & = ? (m / s) \end{aligned}$

Efter krocken har båda vagnarna samma hastighet v', så deras rörelsemängd är rörelsemängden hos en kropp med massan m₁ + m₂. Lagen om rörelsemängdens bevarande:

$m_{1} \cdot v_{1} + m_{2} \cdot v_{2} = (m_{1} + m_{2}) \cdot v^{'}$

Före krocken är det bara den första vagnen som har rörelsemängd:

$20 000 kg \cdot 2 m / s = 40 000 kg \cdot m / s$

Samma rörelsemängd måste de båda vagnarna ha tillsammans efter krocken. Vi dividerar den med deras sammanlagda massa:

$v^{'} = \frac{40 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 1 m / s$

De hopkopplade vagnarna rullar med hastigheten 1 m/s, hälften av den ursprungliga hastigheten. Massan fördubblades och rörelsemängden förblev densamma, så hastigheten måste ha sjunkit till hälften. Om vagnen i stället hade krockat med två stillastående hopkopplade vagnar, hade samma rörelsemängd fördelats på den tredubbla massan 60 000 kg och alla tre hade rullat med en tredjedel av hastigheten, ungefär 0,67 m/s.

En vagn krockar med en stillastående vagn och de hopkopplade vagnarna fortsätter med halva hastigheten

De orangea markeringarna visar var den röda vagnens front var efter lika långa tidsintervall. Så länge den röda vagnen rullar ensam ligger de lika långt från varandra. Efter att den har kopplats ihop med den blå vagnen är avstånden fortfarande lika, bara hälften så stora.

Nu kommer ett lurigare fall. Den andra vagnen står inte still utan rullar mot den första med hastigheten 1 m/s. Motsatt den positiva riktningen, alltså v₂ = −1 m/s. Det vore ett fel att addera vagnarnas rörelsemängder utan hänsyn till riktningen, för då skulle de hopkopplade vagnarna få hastigheten 1,5 m/s. Hastigheten hos den andra vagnen sätter vi därför in med minustecken:

$\begin{aligned} v^{'} & = \frac{20 000 kg \cdot 2 m / s + 20 000 kg \cdot (- 1 m / s)}{40 000 kg} \\ = \frac{20 000 kg \cdot m / s}{40 000 kg} = 0, 5 m / s \end{aligned}$

De hopkopplade vagnarna rullar med hastigheten 0,5 m/s i den riktning som den första vagnen hade. Om de hade rullat mot varandra med samma hastighet, hade de stannat på stället.

Vagnarna är förstås inte något isolerat system, hjulen gnider mot rälsen. Men de yttre krafterna är små och krocken varar bara en bråkdel av en sekund, så under den tiden ändrar de vagnarnas rörelsemängd försumbart. Krafterna mellan de krockande vagnarna är många gånger större. Därför kan vi använda lagen om rörelsemängdens bevarande vid krockar även om systemet inte är helt isolerat.

Raketen

En raket står i rymden långt från planeterna, och dess totala rörelsemängd är noll, bränslet inräknat. Motorn förbränner bränsle och kastar ut heta gaser bakåt genom munstycket med enorm hastighet. Gaserna får därmed rörelsemängd bakåt, och för att raketens och gasernas totala rörelsemängd ska förbli noll måste raketen få lika stor rörelsemängd framåt. Raketen är egentligen ett gevär som varje sekund avfyrar en enorm mängd små ”kulor” bakåt och själv accelererar ett litet stycke framåt varje gång.

På systemet raket och gaser behöver ingenting utifrån verka, raketen behöver varken mark eller luft och accelererar även i vakuum. Den skjuter ifrån de gaser som den själv bär med sig och själv kastar ut. Ju mer gas den kastar ut per sekund och ju snabbare, desto större rörelsemängd ger den gasen och desto mer accelererar raketen själv.

Vid en krock flödar rörelsemängden bara över från en kropp till en annan. Den kraft som på riktigt tar bort rörelse och till slut stoppar nästan allt som glider längs marken är friktionen. Om den handlar nästa artikel, Friktion.

« Föregående: Rörelsemängd och impuls

Nästa: Friktion »