Freier Fall

Lass gleichzeitig einen Schlüssel und ein Blatt Papier aus der Hand fallen. Der Schlüssel klirrt fast sofort auf den Boden, das Papier schaukelt noch eine Weile durch die Luft. Fallen schwerere Dinge also schneller? Das glaubte fast zweitausend Jahre lang die Mehrzahl der Gelehrten, angefangen bei Aristoteles. Erst Galileo Galilei fand um 1600 heraus, dass der Unterschied von der Luft kommt. Gäbe es keine, würden Stein, Hammer und Vogelfeder gleich schnell fallen.

Der Legende nach ließ Galileo zum Beweis für seine Studenten vom Schiefen Turm von Pisa zwei verschieden schwere Kugeln fallen. Die Geschichte ist schön, wir kennen sie aber erst von seinem Schüler und Biografen, und Historiker bezweifeln, dass es wirklich so war. Galileo kam in Wirklichkeit durch geduldigere Versuche darauf, zu denen wir noch kommen.

Hammer und Feder auf dem Mond

Auf der Erde lässt sich das schwer zeigen, denn überall um uns ist Luft. Auf dem Mond gibt es aber keine. 1971 ließ dort der Astronaut David Scott von der Mission Apollo 15 vor der Fernsehkamera aus gleicher Höhe einen Geologenhammer und eine Falkenfeder fallen. Die Feder war nicht zufällig gewählt: Die Landefähre der Mission hieß Falcon, auf Deutsch Falke. Beides fiel gleich schnell und schlug im selben Augenblick im Staub auf. Scott fügte trocken hinzu, Mr. Galileo habe recht gehabt.

Links ist der Mond, rechts zum Vergleich die Erde mit Luft.

Die Bewegung eines Körpers, den wir aus der Ruhe loslassen und der dann nur fällt, weil ihn die Erde (oder der Mond) anzieht, ganz ohne Luftwiderstand, nennen wir freien Fall. Auf dem Mond fallen Federn wie Hämmer frei. Auf der Erde kommt ihm ein fallender Stein, ein Schlüssel oder ein Apfel sehr nahe, zumindest solange sie nicht aus großer Höhe fallen. Feder und Papier fallen nicht frei, die bremst die Luft viel zu stark.

Es fällt mit der Beschleunigung g

Galileo entdeckte noch etwas. Die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers wächst gleichmäßig, in jeder Sekunde kommt gleich viel hinzu. Der freie Fall ist damit eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus der Ruhe. Seine Beschleunigung ist für alle Körper an einem Ort gleich, sie heißt Fallbeschleunigung und wird mit g bezeichnet. Das klingt seltsam, der Hammer ist doch viel schwerer als die Feder. Die Erde zieht ihn zwar stärker an, aber er wehrt sich ebenso viel stärker dagegen, in Bewegung gesetzt zu werden, und beides gleicht sich genau aus. Warum das so ist, zeigen erst die Kräfte. Bei uns ist

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Ein frei fallender Stein ist jede Sekunde um 9,81 m/s schneller. Der genaue Wert ist von Ort zu Ort etwas anders: Am Äquator beträgt die Fallbeschleunigung etwa 9,78 m/s², an den Polen 9,83 m/s². Für eine Schätzung im Kopf genügt 10 m/s². Auf dem Mond ist sie ungefähr sechsmal kleiner, und Scotts Hammer und Feder fielen dort deshalb merklich langsamer als ein Stein auf der Erde.

Der Körper fällt auf einer senkrechten Geraden, die positive Richtung wählen wir deshalb nach unten. Beschleunigung und Geschwindigkeit sind dann positiv. Die Formeln der gleichmäßig beschleunigten Bewegung v = v₀ + a · t und $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ vereinfachen sich hier. Der Körper startet aus der Ruhe, die Anfangsgeschwindigkeit ist also v₀ = 0, und die Beschleunigung ist a = g. Den Weg bezeichnen wir mit h als Höhe, weil er angibt, wie viele Meter der Körper fällt. Es bleibt:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Die Zeit t messen wir ab dem Loslassen, v ist die Geschwindigkeit in diesem Augenblick und h die Höhe, um die der Körper in dieser Zeit gesunken ist. In der ersten Sekunde erreicht der Stein die Geschwindigkeit 9,81 m/s und ist 4,9 m gefallen. Nach zwei Sekunden hat er 19,6 m/s und ist 19,6 m gefallen, nach drei hat er 29,4 m/s und liegt schon 44,1 m unter der Stelle, von der wir ihn losgelassen haben.

Vielleicht kommt dir die Idee, die Höhe als Geschwindigkeit mal Zeit zu berechnen. Aber die Geschwindigkeit 19,6 m/s hat der Stein erst am Ende der zweiten Sekunde, vorher fiel er langsamer, und das Ergebnis wäre doppelt so groß. Genau deshalb steht in der Formel die Hälfte.

Spuren nach gleichen Zeiten

Im Bild fällt eine Kugel, in Zeitlupe, damit man etwas sieht, und nach jedem gleich langen Zeitabschnitt, etwa nach einer Zehntelsekunde, hinterlässt sie eine orangefarbene Spur. Die Spuren rücken immer weiter auseinander, weil die Kugel mit jedem Augenblick schneller wird. In einem Zeitteil sinkt die Kugel um einen Wegteil, in zwei Zeitteilen um 2² = 4 Teile, in drei um 3² = 9 und in vier um 4² = 16 Teile. Die Abschnitte zwischen den Spuren messen dann 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 und 16 − 9 = 7 Teile. Benachbarte Quadratzahlen unterscheiden sich um die ungeraden Zahlen.

Der freie Fall war für die damaligen Uhren zu schnell, und so ließ Galileo Kugeln auf einer leicht geneigten Rinne rollen, wo sich alles langsamer abspielt. Er fand genau diese ungeraden Zahlen, 1 : 3 : 5 : 7.

Wie tief ist der Brunnen?

Am Ferienhaus hast du einen alten Brunnen und willst wissen, wie tief der Wasserspiegel liegt. Du lässt einen Stein hineinfallen und misst mit der Stoppuhr, dass es nach 2 s platscht. Zuerst schreiben wir auf, was wir über den Fall wissen:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Der Stein fällt aus der Ruhe, wir setzen also gleich in die Formel für die Höhe ein:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Die Sekunden zum Quadrat kürzen sich, und es bleiben Meter. Der Wasserspiegel liegt etwa 19,6 m unter dem Brunnenrand, ganz schön tief. Als schnelle Probe nehmen wir gerundet g ≈ 10 m/s²: die Hälfte von zehn mal vier ist zwanzig Meter. Passt.

Die Zeit, die der Schall des Platschens für den Weg nach oben braucht, haben wir vernachlässigt. Der Schall legt zwanzig Meter in etwa sechs Hundertstelsekunden zurück, und das fällt gegen zwei Sekunden kaum ins Gewicht. Auch der Luftwiderstand bremst den Stein auf zwanzig Metern nicht nennenswert.

Die Geschwindigkeit des Steins bildet im Graphen eine Gerade, die jede Sekunde um 9,81 m/s steigt. Ihre Steilheit ist die Fallbeschleunigung g. Den Weg finden wir als Fläche unter dem Graphen, hier als rotes Dreieck mit den Katheten 2 s und 19,6 m/s. Sein Flächeninhalt ist $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, genau wie aus der Formel.

Sprung vom Zehnmeterturm

Die höchste Plattform für Wasserspringer liegt zehn Meter über dem Wasser. Wie lange fällt der Springer, und mit welcher Geschwindigkeit schlägt er im Wasser auf? In Wirklichkeit springt er von der Plattform ab und dreht sich in der Luft, wir vereinfachen aber: Er fällt einfach aus der Ruhe wie ein Stein.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Diesmal kennen wir die Höhe und suchen die Zeit, die wir aus der Formel für die Höhe ausdrücken müssen. Zuerst multiplizieren wir beide Seiten mit zwei, damit der Bruch verschwindet. Dann teilen wir sie durch die Fallbeschleunigung, und auf der rechten Seite bleibt nur die Zeit zum Quadrat:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Bisher haben wir die Zeit zum Quadrat, wir brauchen aber die Zeit selbst. Die Wurzel hilft: Wir ziehen aus beiden Seiten die Wurzel. Ein negatives Ergebnis interessiert uns nicht, die Zeit ab dem Loslassen ist positiv:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Wir setzen ein:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Die Meter kürzen sich, und die Sekunden zum Quadrat wandern vom Nenner in den Zähler. Die Wurzel daraus ergibt dann Sekunden. Die Aufprallgeschwindigkeit erhalten wir aus der Formel für die Geschwindigkeit:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Der Springer fällt knapp anderthalb Sekunden und schlägt mit etwa 14 m/s im Wasser auf, also ungefähr 50 km/h. So schnell fahren Autos in der Stadt.

Die Aufprallgeschwindigkeit lässt sich auch ohne die Zeit bestimmen. Aus der Beziehung $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ mit der Anfangsgeschwindigkeit null, der Beschleunigung g und dem Weg h ergibt sich $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Nach dem Einsetzen haben wir $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dasselbe wie vorher.

Vorsicht, eine Falle: Aus doppelter Höhe fällt der Springer nicht doppelt so lange. Die Höhe steht in der Formel unter der Wurzel, aus zwanzig Metern würde er nur etwa 2,02 s fallen. Das passt zum Brunnen: In zwei Sekunden ist der Stein knapp zwanzig Meter gefallen.

Dieselbe Formel eignet sich auch für einen lustigen Versuch. Ein Freund hält ein Lineal senkrecht, und du hast Daumen und Zeigefinger um sein unteres Ende gespreizt. Der Freund lässt es ohne Warnung los, und du fängst es so schnell wie möglich. Wenn das Lineal 20 cm durchrutschen konnte, ist es $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$ gefallen, und das ist deine Reaktionszeit.

Luftwiderstand und Fallschirmspringer

Gäbe es keine Luft, hätte ein Fallschirmspringer nach fünfzehn Sekunden Fall die Geschwindigkeit v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, mehr als 500 km/h, und würde weiter beschleunigen. So schnell fällt er aber nie, weil die Luft dem fallenden Körper Widerstand entgegensetzt, und zwar umso mehr, je schneller er sich bewegt.

Gleich nach dem Absprung aus dem Flugzeug ist der Fallschirmspringer langsam, der Luftwiderstand ist klein, und er fällt fast im freien Fall. Mit der Geschwindigkeit wächst aber der Widerstand, die Geschwindigkeit nimmt immer langsamer zu, bis sie gar nicht mehr wächst. Der Springer fällt dann mit konstanter Geschwindigkeit, die wir Endgeschwindigkeit nennen. Flach auf dem Bauch erreicht er ungefähr 200 km/h. Ein geöffneter Fallschirm vergrößert den Widerstand schlagartig, und die Geschwindigkeit sinkt auf wenige Meter pro Sekunde, mit denen man sicher landen kann.

Die Luft ist auch bei Regen nützlich. Ein Tropfen aus einer Wolke in zwei Kilometern Höhe käme ohne Luftwiderstand mit der Geschwindigkeit $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2.000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$ an, über 700 km/h, so schnell wie ein Flugzeug. In Wirklichkeit fallen aber auch große Tropfen nur mit etwa 9 m/s.

Feder und Papierblatt haben eine sehr kleine Endgeschwindigkeit, sie erreichen sie fast sofort, und deshalb schweben sie so langsam herab. Warum Form und Masse so wichtig sind, zeigt die Dynamik. Ein Stein, der in den Brunnen fällt, oder ein Turmspringer haben Geschwindigkeiten von höchstens etwa siebzig Kilometern pro Stunde, und dabei ist der Luftwiderstand noch klein, die Formeln des freien Falls passen deshalb gut.

Rechner für den freien Fall

Gib die Fallzeit ein, und der Rechner sagt dir, aus welcher Höhe der Körper gefallen ist und mit welcher Geschwindigkeit er aufgeschlagen ist. Er rechnet mit g = 9,81 m/s² und ohne Luftwiderstand.

Und umgekehrt: Gib die Höhe ein, und der Rechner bestimmt, wie lange der Körper fällt und mit welcher Geschwindigkeit er aufschlägt.

Ein fallender Stein führt nur eine einzige Bewegung aus, senkrecht nach unten. Oft führt ein Körper aber mehrere Bewegungen gleichzeitig aus: Ein Boot, das auf das gegenüberliegende Ufer zuhält, wird von der Strömung abgetrieben, und Regentropfen, die senkrecht fallen, fliegen aus einem fahrenden Auto gesehen schräg. Wo das Boot ankommt und wie es zielen muss, um genau gegenüber anzulegen, rechnen wir im nächsten Artikel aus, Überlagerung von Bewegungen.