Spadek swobodny

Puść jednocześnie z ręki klucze i kartkę papieru. Klucze brzękną o podłogę prawie od razu, a kartka jeszcze chwilę kołysze się w powietrzu. Czy cięższe rzeczy spadają więc szybciej? Właśnie tak przez prawie dwa tysiące lat uważała większość uczonych, począwszy od Arystotelesa. Dopiero Galileusz na przełomie XVI i XVII wieku odkrył, że różnica bierze się z oporu powietrza. Gdyby go nie było, kamień, młotek i ptasie piórko spadałyby tak samo szybko.

Według legendy Galileusz, żeby przekonać studentów, zrzucił z Krzywej Wieży w Pizie dwie kule o różnej masie. To ładna historia, ale znamy ją dopiero od jego ucznia i biografa, a historycy wątpią, czy naprawdę tak było. W rzeczywistości Galileusz doszedł do tego dzięki cierpliwszym doświadczeniom, do których jeszcze wrócimy.

Młotek i piórko na Księżycu

Na Ziemi trudno to pokazać, bo powietrze jest wszędzie wokół nas. Na Księżycu jednak go nie ma. W 1971 roku astronauta David Scott z misji Apollo 15 przed kamerą telewizyjną upuścił z tej samej wysokości młotek geologiczny i sokole piórko. Piórko nie zostało wybrane przypadkiem: lądownik misji nazywał się Falcon, po polsku sokół. Oba przedmioty spadały tak samo szybko i oba uderzyły w pył w tej samej chwili. Scott sucho dodał, że pan Galileusz miał rację.

Po lewej jest Księżyc, po prawej dla porównania Ziemia z powietrzem.

Ruch ciała, które puszczamy ze spoczynku i które potem spada tylko dlatego, że przyciąga je Ziemia (albo Księżyc), bez żadnego oporu powietrza, nazywamy spadkiem swobodnym. Na Księżycu spadkiem swobodnym spadają i piórka, i młotki. Na Ziemi bardzo zbliżony do niego jest ruch spadającego kamienia, kluczy albo jabłka, przynajmniej dopóki nie spadają z dużej wysokości. Ani piórko, ani kartka papieru nie spadają swobodnie, bo powietrze hamuje je zbyt mocno.

Ciało spada z przyspieszeniem g

Galileusz odkrył jeszcze jedną rzecz. Prędkość spadającego ciała rośnie jednostajnie, w każdej sekundzie przybywa jej tyle samo. Spadek swobodny jest więc ruchem jednostajnie przyspieszonym ze spoczynku. Jego przyspieszenie jest dla wszystkich ciał w danym miejscu takie samo, nazywamy je przyspieszeniem ziemskim i oznaczamy g. Brzmi to dziwnie, przecież młotek jest dużo cięższy od piórka. Ziemia przyciąga go wprawdzie mocniej, ale w tym samym stopniu silniej opiera się wprawieniu w ruch, i jedno dokładnie równoważy drugie. Dlaczego tak jest, pokażą dopiero siły. U nas

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Swobodnie spadający kamień co sekundę ma prędkość większą o 9,81 m/s. Dokładna wartość różni się trochę w zależności od miejsca: na równiku przyspieszenie ziemskie wynosi około 9,78 m/s², na biegunach 9,83 m/s². Do szacowania w pamięci wystarczy 10 m/s². Na Księżycu jest mniej więcej sześć razy mniejsze, więc młotek i piórko Scotta spadały tam wyraźnie wolniej niż kamień na Ziemi.

Ciało spada po pionowej prostej, więc zwrot dodatni wybieramy w dół. Przyspieszenie i prędkość wychodzą wtedy dodatnie. Wzory ruchu jednostajnie przyspieszonego v = v₀ + a · t i $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ upraszczają się tutaj. Ciało startuje ze spoczynku, więc prędkość początkowa wynosi v₀ = 0, a przyspieszenie to a = g. Drogę oznaczymy h jak wysokość, bo mówi, o ile metrów ciało spadnie. Zostaje:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Czas t mierzymy od puszczenia, v to prędkość w tej chwili, a h wysokość, o którą ciało w tym czasie opadło. Po pierwszej sekundzie kamień ma prędkość 9,81 m/s i opadł o 4,9 m. Po dwóch sekundach ma 19,6 m/s i opadł o 19,6 m, po trzech ma 29,4 m/s i jest już 44,1 m poniżej miejsca, z którego go puściliśmy.

Może przyjść ci do głowy obliczyć wysokość jako prędkość razy czas. Ale prędkość 19,6 m/s kamień ma dopiero na końcu drugiej sekundy, wcześniej spadał wolniej, i wynik wyszedłby dwa razy za duży. Właśnie dlatego we wzorze stoi połowa.

Ślady po równych odstępach czasu

Na rysunku spada kulka, w zwolnionym tempie, żeby cokolwiek było widać, i po każdym równym odstępie czasu, na przykład co dziesiątą część sekundy, zostawia za sobą pomarańczowy ślad. Ślady oddalają się od siebie coraz bardziej, bo kulka z każdą chwilą jest szybsza. W ciągu jednej jednostki czasu kulka opada o jedną jednostkę drogi, w ciągu dwóch jednostek czasu o 2² = 4 jednostki, w ciągu trzech o 3² = 9, a w ciągu czterech o 4² = 16 jednostek. Odcinki między śladami mają więc 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 i 16 − 9 = 7 jednostek. Sąsiednie kwadraty różnią się o liczby nieparzyste.

Spadek swobodny był dla ówczesnych zegarów zbyt szybki, więc Galileusz puszczał kulki po lekko nachylonej rynnie, gdzie wszystko dzieje się wolniej. Znalazł dokładnie te liczby nieparzyste, 1 : 3 : 5 : 7.

Jak głęboka jest studnia?

Przy domku na wsi masz starą studnię i chcesz wiedzieć, jak głęboko jest lustro wody. Wrzucasz do niej kamień i stoperem mierzysz, że plusnął po 2 s. Najpierw wypiszmy, co wiemy o spadku:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Kamień spada ze spoczynku, więc od razu podstawiamy do wzoru na wysokość:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekundy do kwadratu się skracają i zostają metry. Lustro wody leży około 19,6 m poniżej krawędzi studni, porządnie głęboko. Dla szybkiego sprawdzenia przyjmijmy w zaokrągleniu g ≈ 10 m/s²: połowa z dziesięciu razy cztery to dwadzieścia metrów. Zgadza się.

Czas, którego dźwięk plusku potrzebuje na drogę z powrotem w górę, pominęliśmy. Dźwięk pokonuje dwadzieścia metrów mniej więcej w sześć setnych sekundy, a to wobec dwóch sekund prawie nie ma znaczenia. Również opór powietrza na dwudziestu metrach nie wyhamuje kamienia zbyt mocno.

Prędkość kamienia tworzy na wykresie prostą, która co sekundę wznosi się o 9,81 m/s. Jej nachylenie to przyspieszenie ziemskie g. Drogę znajdujemy jako pole pod wykresem, tutaj jako czerwony trójkąt o przyprostokątnych 2 s i 19,6 m/s. Jego pole wynosi $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, dokładnie tak, jak wyszło nam ze wzoru.

Skok z dziesięciometrowej wieży

Najwyższa platforma do skoków do wody znajduje się dziesięć metrów nad lustrem wody. Jak długo skoczek spada i z jaką prędkością uderzy w wodę? W rzeczywistości odbija się od platformy i obraca się w powietrzu, ale uprośćmy to sobie: po prostu spada ze spoczynku jak kamień.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Tym razem znamy wysokość i szukamy czasu, który musimy wyznaczyć ze wzoru na wysokość. Najpierw mnożymy obie strony przez dwa, dzięki czemu znika ułamek. Potem dzielimy je przez przyspieszenie ziemskie i po prawej stronie zostaje sam kwadrat czasu:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Na razie mamy kwadrat czasu, a potrzebujemy samego czasu. Pomoże pierwiastek: pierwiastkujemy obie strony. Wynik ujemny nas nie interesuje, czas od puszczenia jest dodatni:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Podstawiamy:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Metry się skracają, a sekundy do kwadratu przechodzą z mianownika do licznika. Pierwiastek z nich daje sekundy. Prędkość w chwili uderzenia wychodzi ze wzoru na prędkość:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Skoczek spada niecałe półtorej sekundy i uderza w wodę z prędkością około 14 m/s, czyli mniej więcej 50 km/h. Tak szybko jeżdżą samochody w mieście.

Prędkość w chwili uderzenia da się wyznaczyć także bez czasu. Z zależności $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ z zerową prędkością początkową, przyspieszeniem g i drogą h wychodzi $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Po podstawieniu mamy $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, to samo co wcześniej.

Uwaga na jedną pułapkę. Z dwa razy większej wysokości skoczek nie spada dwa razy dłużej. Wysokość jest we wzorze pod pierwiastkiem, więc z dwudziestu metrów spadałby tylko około 2,02 s. Zgadza się to ze studnią: w ciągu dwóch sekund kamień spadł o niecałe dwadzieścia metrów.

Ten sam wzór przyda się do zabawnego doświadczenia. Kolega trzyma pionowo linijkę, a ty masz kciuk i palec wskazujący rozchylone wokół jej dolnego końca. Kolega bez ostrzeżenia ją puszcza, a ty jak najszybciej ją łapiesz. Jeśli linijka zdąży opaść o 20 cm, spadała przez $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, i to jest twój czas reakcji.

Opór powietrza i spadochroniarz

Gdyby nie było powietrza, spadochroniarz po piętnastu sekundach spadania miałby prędkość v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, ponad 500 km/h, i przyspieszałby dalej. Tak szybko jednak nigdy nie spada, bo powietrze stawia spadającemu ciału opór, i to tym większy, im szybciej ciało się porusza.

Zaraz po wyskoczeniu z samolotu spadochroniarz porusza się jeszcze powoli, opór powietrza jest mały i spada prawie swobodnie. Wraz z prędkością opór jednak rośnie, prędkości przybywa coraz wolniej, aż w końcu przestaje rosnąć zupełnie. Spadochroniarz spada wtedy ze stałą prędkością, którą nazywamy prędkością graniczną. Rozpłaszczony na brzuchu osiąga mniej więcej 200 km/h. Otwarty spadochron gwałtownie zwiększa opór i prędkość spada do kilku metrów na sekundę, z którymi da się bezpiecznie wylądować.

Powietrze przydaje się też w czasie deszczu. Kropla z chmury na wysokości dwóch kilometrów bez oporu powietrza uderzyłaby w ziemię z prędkością $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ponad 700 km/h, z prędkością samolotu. W rzeczywistości nawet duże krople spadają tylko z prędkością około 9 m/s.

Piórko i kartka papieru mają bardzo małą prędkość graniczną, osiągają ją prawie natychmiast i dlatego opadają tak powoli. Dlaczego tak bardzo liczy się kształt i masa, pokaże dynamika. Kamień wrzucony do studni albo skoczek z wieży mają prędkości najwyżej około siedemdziesięciu kilometrów na godzinę, a przy nich opór powietrza jest jeszcze mały, więc wzory spadku swobodnego dobrze się sprawdzają.

Kalkulator spadku swobodnego

Wpisz czas spadania, a kalkulator powie ci, z jakiej wysokości ciało spadło i z jaką prędkością uderzyło w ziemię. Liczy z g = 9,81 m/s² i bez oporu powietrza.

I odwrotnie: wpisz wysokość, a kalkulator wyznaczy, jak długo ciało spada i z jaką prędkością uderzy w ziemię.

Spadający kamień wykonuje jeden ruch, pionowo w dół. Często jednak ciało wykonuje kilka ruchów naraz: łódkę, która płynie w stronę przeciwległego brzegu, znosi nurt, a krople deszczu, które spadają pionowo, z jadącego samochodu wydają się lecieć ukośnie. Gdzie dopłynie łódka i jak musi płynąć, żeby przybić dokładnie naprzeciwko, obliczymy w następnym artykule, Składanie ruchów.