Queda livre

Solte ao mesmo tempo da mão as chaves e uma folha de papel. As chaves batem no chão quase de imediato, o papel ainda fica um tempinho balançando no ar. As coisas mais pesadas, então, caem mais depressa? Foi exatamente isso que, por quase dois mil anos, a maioria dos estudiosos pensou, a começar por Aristóteles. Só Galileu Galilei, na virada do século 16 para o 17, descobriu que quem faz a diferença é o ar. Se não houvesse ar, uma pedra, um martelo e uma pena de pássaro cairiam com a mesma rapidez.

Segundo a lenda, Galileu, para provar isso aos estudantes, teria deixado cair da Torre Inclinada de Pisa duas esferas de pesos diferentes. A história é bonita, mas só a conhecemos por um aluno e biógrafo dele, e os historiadores duvidam de que ela tenha realmente acontecido. Galileu chegou a isso, na verdade, por experimentos mais pacientes, que veremos mais adiante.

O martelo e a pena na Lua

Na Terra isso é difícil de mostrar, porque o ar está em toda parte à nossa volta. Mas na Lua não há ar nenhum. Em 1971, lá, o astronauta David Scott, da missão Apollo 15, diante de uma câmera de televisão, soltou da mesma altura um martelo de geólogo e uma pena de falcão. A pena não foi escolhida por acaso: o módulo de pouso da missão se chamava Falcon, que quer dizer falcão. Os dois caíram com a mesma rapidez e os dois chegaram à poeira no mesmo instante. Scott acrescentou, secamente, que o senhor Galileu tinha razão.

À esquerda está a Lua e, à direita, para comparação, a Terra com ar.

Chamamos de queda livre o movimento de um corpo que soltamos do repouso e que depois cai apenas porque a Terra (ou a Lua) o atrai, sem nenhuma resistência do ar. Na Lua, caem em queda livre tanto penas quanto martelos. Na Terra, chegam bem perto dela uma pedra, as chaves ou uma maçã, pelo menos enquanto não caem de uma grande altura. Uma pena ou uma folha de papel não caem em queda livre, o ar as freia demais.

Os corpos caem com aceleração g

Galileu descobriu ainda outra coisa. A velocidade de um corpo em queda cresce uniformemente, a cada segundo aumenta na mesma medida. A queda livre é, assim, um movimento uniformemente variado a partir do repouso. A aceleração dele é igual para todos os corpos num mesmo lugar, se chama aceleração da gravidade e se indica por g. Parece estranho, o martelo é muito mais pesado que a pena. A Terra realmente o atrai mais, mas ele também resiste mais a ser posto em movimento, e as duas coisas se compensam exatamente. Só as forças mostrarão por que é assim. Aqui, vale

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Uma pedra em queda livre tem, a cada segundo, uma velocidade 9,81 m/s maior. O valor exato muda um pouco de lugar para lugar: no equador a aceleração da gravidade é de cerca de 9,78 m/s² e nos polos, 9,83 m/s². Para uma estimativa de cabeça basta 10 m/s². Na Lua ela é cerca de seis vezes menor, e por isso o martelo e a pena de Scott caíram na Lua de modo bem mais lento do que uma pedra na Terra.

O corpo cai ao longo de uma reta vertical, então escolhemos o sentido positivo para baixo. A aceleração e a velocidade saem, assim, positivas. As fórmulas do movimento uniformemente variado v = v₀ + a · t e $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ se simplificam aqui. O corpo parte do repouso, então a velocidade inicial é v₀ = 0, e a aceleração é a = g. Indicaremos a distância por h, como altura, porque ela diz quantos metros o corpo cai. Sobra:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Medimos o tempo t desde a soltura, v é a velocidade nesse momento e h a altura que o corpo desceu nesse tempo. No primeiro segundo a pedra ganha velocidade de 9,81 m/s e cai 4,9 m. Depois de dois segundos tem 19,6 m/s e caiu 19,6 m, depois de três tem 29,4 m/s e já está 44,1 m abaixo do lugar de onde a soltamos.

Pode ocorrer a você calcular a altura como velocidade vezes tempo. Mas a pedra só tem a velocidade de 19,6 m/s no fim do segundo segundo, antes caía mais devagar, e o resultado sairia duas vezes maior. É justamente por isso que a fórmula tem o fator um meio.

Marcas em tempos iguais

Na figura cai uma bolinha, em câmera lenta, para que se veja alguma coisa, e depois de cada intervalo de tempo igual, por exemplo um décimo de segundo, ela deixa atrás de si uma marca laranja. As marcas se afastam cada vez mais umas das outras, porque a bolinha fica a cada instante mais rápida. Em uma parte do tempo, a bolinha desce uma parte da distância, em duas partes do tempo 2² = 4 partes, em três 3² = 9 e em quatro 4² = 16 partes. Os trechos entre as marcas medem então 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 e 16 − 9 = 7 partes. Os quadrados vizinhos diferem por números ímpares.

A queda livre era rápida demais para os relógios da época, e por isso Galileu soltava bolinhas por uma calha levemente inclinada, onde tudo acontece mais devagar. Ele encontrou exatamente esses números ímpares, 1 : 3 : 5 : 7.

Qual é a profundidade do poço?

No sítio você tem um poço antigo e quer saber a que profundidade fica a superfície da água. Você solta nele uma pedra e mede com o cronômetro que ela faz “splash” em 2 s. Primeiro listamos o que sabemos sobre a queda:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

A pedra cai do repouso, então substituímos direto na fórmula da altura:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Os segundos ao quadrado se cancelam e ficam os metros. A água está a cerca de 19,6 m abaixo da borda do poço, bem fundo. Como teste rápido tomamos, arredondando, g ≈ 10 m/s²: metade de dez vezes quatro é vinte metros. Confere.

Desprezamos o tempo de que o som do splash precisa para subir de volta. O som percorre vinte metros em cerca de seis centésimos de segundo, e isso, diante de dois segundos, quase não aparece. Nem a resistência do ar freia muito a pedra em vinte metros.

A velocidade da pedra forma no gráfico uma reta que a cada segundo sobe 9,81 m/s. A inclinação dela é a aceleração da gravidade g. Encontramos a distância como a área sob o gráfico, aqui como o triângulo vermelho com catetos de 2 s e 19,6 m/s. A área dele é $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, exatamente como saiu da fórmula.

Salto da plataforma de dez metros

A plataforma mais alta para saltos na água fica a dez metros acima da superfície. Quanto tempo o saltador leva caindo e com que velocidade ele bate na água? Na realidade ele se impulsiona da plataforma e gira no ar, mas vamos simplificar: ele simplesmente cai do repouso como uma pedra.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Desta vez conhecemos a altura e procuramos o tempo, e precisamos isolá-lo na fórmula da altura. Primeiro multiplicamos os dois lados por dois, e assim desaparece a fração. Depois os dividimos pela aceleração da gravidade e, no lado direito, sobra só o tempo ao quadrado:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Até agora temos o tempo ao quadrado, mas precisamos do tempo em si. Ajuda a raiz quadrada: extraímos a raiz dos dois lados. O resultado negativo não nos interessa, o tempo desde a soltura é positivo:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Substituímos:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Os metros se cancelam e os segundos ao quadrado passam do denominador para o numerador. A raiz quadrada deles dá, então, segundos. A velocidade de impacto sai então da fórmula da velocidade:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

O saltador cai por menos de um segundo e meio e bate na água com velocidade de cerca de 14 m/s, ou seja, mais ou menos 50 km/h. É a velocidade com que os carros andam na cidade.

A velocidade de impacto também pode ser descoberta sem o tempo. Da relação $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ com velocidade inicial nula, aceleração g e distância h sai $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Substituindo, temos $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, o mesmo que antes.

Atenção para uma pegadinha. De uma altura duas vezes maior, o saltador não cai por um tempo duas vezes maior. A altura está na fórmula sob a raiz quadrada, então de vinte metros ele cairia só por cerca de 2,02 s. Isso combina com o poço: em dois segundos a pedra caiu quase vinte metros.

A mesma fórmula serve também para um experimento divertido. Um amigo segura uma régua na vertical e você tem o polegar e o indicador abertos em volta da extremidade de baixo dela. O amigo a solta sem avisar e você a agarra o mais depressa possível. Se a régua conseguir descer 20 cm, ela caiu por $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, e esse é o seu tempo de reação.

Resistência do ar e o paraquedista

Se não houvesse ar, o paraquedista depois de quinze segundos de queda teria velocidade v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, mais de 500 km/h, e continuaria acelerando. Mas nunca cai tão depressa, porque o ar opõe resistência ao corpo que cai, e tanto maior quanto mais depressa ele se move.

Logo depois de pular do avião, o paraquedista é lento, a resistência do ar é pequena e ele cai quase em queda livre. Com a velocidade, porém, a resistência aumenta, a velocidade cresce cada vez mais devagar, até parar de crescer de vez. O paraquedista passa então a cair com velocidade constante, que chamamos de velocidade limite. Esticado de barriga para baixo, ele atinge cerca de 200 km/h. O paraquedas aberto aumenta bruscamente a resistência e a velocidade cai para alguns metros por segundo, com os quais é possível pousar com segurança.

O ar também é útil na chuva. Uma gota de uma nuvem a dois quilômetros de altura chegaria, sem a resistência do ar, com velocidade de $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2.000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, mais de 700 km/h, a velocidade de um avião. Na realidade, porém, até as gotas grandes caem só a cerca de 9 m/s.

Uma pena e uma folha de papel têm velocidade limite muito pequena, atingem-na quase de imediato e, por isso, descem tão devagar. A dinâmica mostrará por que a forma e a massa importam tanto. Uma pedra no poço ou um saltador da plataforma têm velocidades de no máximo uns setenta quilômetros por hora e, nelas, a resistência do ar ainda é pequena, e as fórmulas da queda livre, por isso, funcionam bem.

Calculadora da queda livre

Preencha o tempo de queda e a calculadora diz de que altura o corpo caiu e com que velocidade chegou. Ela calcula com g = 9,81 m/s² e sem resistência do ar.

E ao contrário: digite a altura e a calculadora determina quanto tempo o corpo cai e com que velocidade chega.

Uma pedra que cai executa um único movimento, verticalmente para baixo. Muitas vezes, porém, o corpo executa vários movimentos ao mesmo tempo: um barquinho que aponta para a margem oposta é arrastado pela correnteza, e as gotas de chuva, que caem na vertical, atingem o carro em movimento obliquamente. No próximo artigo, Composição de movimentos, calcularemos aonde o barquinho chega e como ele precisa apontar para chegar bem em frente.