Vrije val

Laat tegelijk een sleutelbos en een vel papier uit je hand vallen. De sleutels kletteren vrijwel meteen op de vloer, het papier wiegt nog even door de lucht. Vallen zwaardere dingen dus sneller? Dat dachten bijna tweeduizend jaar lang de meeste geleerden, te beginnen met Aristoteles. Pas Galileo Galilei kwam rond 1600 erachter dat de lucht het verschil maakt. Als er geen lucht was, zouden een steen, een hamer en een vogelveer even snel vallen.

Volgens de overlevering liet Galileo studenten ter bewijs twee verschillend zware ballen van de scheve toren van Pisa vallen. Het is een mooi verhaal, maar we kennen het pas van zijn leerling en biograaf en historici betwijfelen of het echt zo is gebeurd. Galileo kwam er in werkelijkheid achter met geduldiger proeven, waar we nog op terugkomen.

Hamer en veer op de maan

Op aarde is dat moeilijk te laten zien, want overal om ons heen is lucht. Maar op de maan is er geen. In 1971 liet astronaut David Scott van de missie Apollo 15 daar voor een televisiecamera vanaf dezelfde hoogte een geologenhamer en een valkenveer vallen. De veer was niet toevallig gekozen: de maanlander van de missie droeg de naam Falcon, in het Nederlands valk. Beide vielen even snel en beide kwamen op hetzelfde moment in het stof terecht. Scott voegde er droogjes aan toe dat meneer Galileo gelijk had.

Links is de maan, rechts ter vergelijking de aarde met lucht.

De beweging van een voorwerp dat we uit stilstand loslaten en dat daarna alleen valt doordat de aarde (of de maan) het aantrekt, zonder enige luchtweerstand, noemen we vrije val. Op de maan vallen veren en hamers in vrije val. Op aarde komt een vallende steen, een sleutelbos of een appel er heel dicht bij, althans zolang ze niet van grote hoogte vallen. Een veer of een vel papier valt niet in vrije val, die worden te sterk door de lucht afgeremd.

Vallen met versnelling g

Galileo ontdekte nog iets. De snelheid van een vallend voorwerp neemt eenparig toe, elke seconde komt er evenveel bij. Vrije val is dus een eenparig versnelde beweging uit stilstand. De versnelling ervan is voor alle voorwerpen op één plek gelijk, heet valversnelling en wordt geschreven als g. Het klinkt vreemd, een hamer is toch veel zwaarder dan een veer. De aarde trekt hem weliswaar harder aan, maar hij verzet zich in dezelfde mate sterker tegen het in beweging komen, en beide heffen elkaar precies op. Waarom dat zo is, laten pas de krachten zien. Bij ons is

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Een vrij vallende steen heeft elke seconde een snelheid die 9,81 m/s groter is. De precieze waarde verschilt een beetje van plek tot plek: op de evenaar is de valversnelling ongeveer 9,78 m/s², op de polen 9,83 m/s². Voor een schatting uit het hoofd volstaat 10 m/s². Op de maan is ze ongeveer zes keer zo klein, en Scotts hamer en veer vielen op de maan dan ook merkbaar langzamer dan een steen op aarde.

Het voorwerp valt langs een verticale rechte lijn, de positieve richting kiezen we daarom omlaag. Versnelling en snelheid komen dan positief uit. De formules van eenparig versnelde beweging v = v₀ + a · t en $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ worden hier eenvoudiger. Het voorwerp start uit stilstand, de beginsnelheid is dus v₀ = 0, en de versnelling is a = g. De afgelegde weg noteren we als h van hoogte, want hij zegt hoeveel meter het voorwerp valt. Er blijft over:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

De tijd t meten we vanaf het loslaten, v is de snelheid op dat moment en h de hoogte waarover het voorwerp in die tijd is gedaald. In de eerste seconde krijgt de steen een snelheid van 9,81 m/s en is hij 4,9 m gevallen. Na twee seconden heeft hij 19,6 m/s en is hij 19,6 m gevallen, na drie heeft hij 29,4 m/s en is hij al 44,1 m onder de plek vanwaar we hem lieten vallen.

Je zou op het idee kunnen komen de hoogte uit te rekenen als snelheid keer tijd. Maar de snelheid 19,6 m/s heeft de steen pas aan het einde van de tweede seconde, daarvoor viel hij langzamer, en het resultaat zou twee keer zo groot uitkomen. Juist daarom staat er een helft in de formule.

Sporen na gelijke tijden

In de afbeelding valt een balletje, vertraagd, zodat er iets te zien is, en na elk even lang tijdsinterval, bijvoorbeeld na een tiende seconde, laat het een oranje spoor achter. De sporen liggen steeds verder uit elkaar, omdat het balletje met elk moment sneller wordt. In één tijdsdeel daalt het balletje één wegdeel, in twee tijdsdelen 2² = 4 delen, in drie 3² = 9 en in vier 4² = 16 delen. De stukken tussen de sporen meten dan 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 en 16 − 9 = 7 delen. Opeenvolgende kwadraten verschillen telkens een oneven getal.

Vrije val was voor de klokken van toen te snel, en daarom liet Galileo balletjes langs een licht hellende goot rollen, waar alles langzamer gaat. Hij vond precies deze oneven getallen, 1 : 3 : 5 : 7.

Hoe diep is de put?

Bij het vakantiehuisje heb je een oude put en je wilt weten hoe diep het wateroppervlak ligt. Je laat er een steen in vallen en meet met een stopwatch dat hij na 2 s plonst. Eerst schrijven we op wat we over de val weten:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

De steen valt uit stilstand, dus we vullen meteen in de formule voor de hoogte in:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

De seconden in het kwadraat vallen weg en er blijven meters over. Het wateroppervlak ligt ongeveer 19,6 m onder de rand van de put, behoorlijk diep. Als snelle controle nemen we afgerond g ≈ 10 m/s²: de helft van tien keer vier is twintig meter. Klopt.

De tijd die het geluid van de plons nodig heeft om weer omhoog te komen, hebben we verwaarloosd. Geluid legt twintig meter af in ongeveer zes honderdsten seconde, en dat is naast twee seconden bijna niet merkbaar. Ook de luchtweerstand remt de steen over twintig meter niet noemenswaardig af.

De snelheid van de steen vormt in de grafiek een rechte lijn die elke seconde 9,81 m/s stijgt. De steilheid ervan is de valversnelling g. De afgelegde weg vinden we als oppervlakte onder de grafiek, hier als rode driehoek met rechthoekszijden 2 s en 19,6 m/s. De oppervlakte ervan is $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, precies zoals uit de formule kwam.

Een sprong van de tienmetertoren

Het hoogste platform voor schoonspringen is tien meter boven het water. Hoe lang valt de schoonspringer en met welke snelheid raakt hij het water? In werkelijkheid zet hij zich af van het platform en draait hij in de lucht rond, maar we vereenvoudigen het: hij valt gewoon uit stilstand als een steen.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Deze keer kennen we de hoogte en zoeken we de tijd, en die moeten we uit de formule voor de hoogte halen. Eerst vermenigvuldigen we beide kanten met twee, waardoor de breuk verdwijnt. Daarna delen we ze door de valversnelling en aan de rechterkant blijft alleen de tijd in het kwadraat over:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Tot nu toe hebben we de tijd in het kwadraat, maar we hebben de tijd zelf nodig. De wortel helpt: we nemen de wortel van beide kanten. Een negatief resultaat interesseert ons niet, de tijd vanaf het loslaten is positief:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

We vullen in:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

De meters vallen weg en de seconden in het kwadraat gaan van de noemer naar de teller. De wortel daaruit geeft seconden. De snelheid bij het neerkomen volgt dan uit de formule voor de snelheid:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

De springer valt nog geen anderhalve seconde en raakt het water met een snelheid van ongeveer 14 m/s, dus ongeveer 50 km/h. Zo snel rijden auto's door de stad.

De snelheid bij het neerkomen kun je ook zonder tijd bepalen. Uit het verband $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ met beginsnelheid nul, versnelling g en afgelegde weg h komt $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Na invullen hebben we $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, hetzelfde als daarnet.

Pas op voor een valstrik. Vanaf een twee keer zo grote hoogte valt de springer niet twee keer zo lang. De hoogte staat in de formule onder de wortel, dus vanaf twintig meter zou hij maar ongeveer 2,02 s vallen. Dat komt overeen met de put: in twee seconden viel de steen bijna twintig meter.

Dezelfde formule dient ook voor een leuk experiment. Een vriend houdt een liniaal verticaal en jij houdt duim en wijsvinger open rond zijn onderste uiteinde. De vriend laat hem zonder waarschuwing los en jij grijpt hem zo snel mogelijk. Als de liniaal 20 cm weet te vallen, viel hij $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, en dat is jouw reactietijd.

Luchtweerstand en de parachutist

Als er geen lucht was, zou een parachutist na vijftien seconden vallen een snelheid hebben van v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, meer dan 500 km/h, en zou hij blijven versnellen. Zo snel valt hij echter nooit, omdat de lucht een vallend voorwerp tegenwerkt, en wel meer naarmate het sneller beweegt.

Direct na het uitspringen uit het vliegtuig is de parachutist langzaam, de luchtweerstand is klein en hij valt bijna in vrije val. Met de snelheid neemt de weerstand echter toe, de snelheid groeit steeds langzamer, tot ze helemaal niet meer toeneemt. De parachutist valt dan met een constante snelheid, die we de eindsnelheid noemen. Plat op zijn buik bereikt hij ongeveer 200 km/h. Een geopende parachute vergroot de weerstand sterk en de snelheid daalt tot een paar meter per seconde, waarmee je veilig kunt landen.

De lucht komt ook bij regen van pas. Een regendruppel uit een wolk op twee kilometer hoogte zou zonder luchtweerstand neerkomen met een snelheid van $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, meer dan 700 km/h, de snelheid van een vliegtuig. In werkelijkheid vallen echter zelfs grote druppels maar met ongeveer 9 m/s.

Een veer en een vel papier hebben een heel kleine eindsnelheid, ze bereiken die bijna meteen, en daarom dalen ze zo langzaam. Waarom vorm en massa zo veel uitmaken, laat de dynamica zien. De steen in de put of de springer van de toren hebben snelheden van hooguit rond de zeventig kilometer per uur en daarbij is de luchtweerstand nog klein, de formules voor vrije val kloppen daarom goed.

Rekenmachine voor vrije val

Vul de valtijd in en de rekenmachine vertelt je van welke hoogte het voorwerp viel en met welke snelheid het neerkwam. Ze rekent met g = 9,81 m/s² en zonder luchtweerstand.

En andersom: vul de hoogte in en de rekenmachine bepaalt hoe lang het voorwerp valt en met welke snelheid het neerkomt.

Een vallende steen voert maar één beweging uit, verticaal omlaag. Vaak voert een voorwerp echter meerdere bewegingen tegelijk uit: een bootje dat op de overkant afstevent, wordt door de stroom meegevoerd, en regendruppels die verticaal vallen, vliegen vanuit een rijdende auto schuin voorbij. Waar het bootje aankomt en hoe het moet sturen om precies recht tegenover te landen, rekenen we uit in het volgende artikel, Samengestelde bewegingen.