Chute libre

Lâche en même temps des clés et une feuille de papier. Les clés tintent sur le sol presque tout de suite, la feuille se balance encore un moment dans l’air. Les choses plus lourdes tombent donc plus vite ? C’est justement ce qu’ont pensé pendant près de deux mille ans la plupart des savants, à commencer par Aristote. Il a fallu attendre Galilée, au tournant des XVIe et XVIIe siècles, pour comprendre que c’est l’air qui fait la différence. S’il n’y en avait pas, une pierre, un marteau et une plume d’oiseau tomberaient aussi vite.

Selon la légende, Galilée aurait laissé tomber du haut de la tour penchée de Pise deux boules de poids différents pour le prouver à ses étudiants. L’histoire est belle, mais nous ne la connaissons que par son élève et biographe, et les historiens doutent qu’elle se soit vraiment passée ainsi. En réalité, Galilée l’a découvert par des expériences plus patientes, que nous verrons plus loin.

Le marteau et la plume sur la Lune

Sur Terre, c’est difficile à montrer, car l’air est partout autour de nous. Sur la Lune, il n’y en a pas. En 1971, l’astronaute David Scott, de la mission Apollo 15, y a lâché devant la caméra de télévision, de la même hauteur, un marteau de géologue et une plume de faucon. La plume n’avait pas été choisie au hasard : le module d’atterrissage de la mission s’appelait Falcon, ce qui signifie « faucon ». Les deux sont tombés aussi vite et ont touché la poussière au même instant. Scott a commenté avec flegme que monsieur Galilée avait eu raison.

À gauche, la Lune, à droite, pour comparaison, la Terre avec de l’air.

Le mouvement d’un corps que nous lâchons sans vitesse initiale et qui tombe ensuite uniquement parce que la Terre (ou la Lune) l’attire, sans aucune résistance de l’air, s’appelle la chute libre. Sur la Lune, les plumes comme les marteaux tombent en chute libre. Sur Terre, une pierre, des clés ou une pomme qui tombent s’en approchent beaucoup, du moins tant qu’elles ne tombent pas de très haut. Une plume ou une feuille de papier ne tombent pas en chute libre, l’air les freine beaucoup trop.

La chute se fait avec l’accélération g

Galilée a découvert encore autre chose. La vitesse d’un corps qui tombe augmente de façon régulière, de la même quantité à chaque seconde. La chute libre est donc un mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale. Son accélération est la même pour tous les corps en un même endroit, elle porte le nom d’intensité de la pesanteur et se note g. Cela paraît bizarre, le marteau est quand même beaucoup plus lourd que la plume. La Terre l’attire certes plus fort, mais il résiste aussi d’autant plus à la mise en mouvement, et les deux se compensent exactement. C’est l’étude des forces qui montrera pourquoi. Chez nous,

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

La vitesse d’une pierre en chute libre augmente de 9,81 m/s à chaque seconde. La valeur exacte varie un peu d’un endroit à l’autre : à l’équateur, l’intensité de la pesanteur est d’environ 9,78 m/s², aux pôles de 9,83 m/s². Pour une estimation de tête, 10 m/s² suffit. Sur la Lune, elle est environ six fois plus petite, et le marteau comme la plume de Scott sont donc tombés nettement plus lentement qu’une pierre sur Terre.

Le corps tombe suivant une droite verticale, nous choisissons donc le sens positif vers le bas. L’accélération et la vitesse sont alors positives. Les formules du mouvement uniformément accéléré v = v₀ + a · t et $d=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ se simplifient ici. Le corps part du repos, la vitesse initiale est donc v₀ = 0, et l’accélération est a = g. Nous noterons la distance h comme une hauteur, parce qu’elle dit de combien de mètres le corps est tombé. Il reste :

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Le temps t se mesure à partir du moment où on lâche le corps, v est la vitesse à cet instant et h la hauteur dont le corps est descendu pendant ce temps. Pendant la première seconde, la pierre atteint la vitesse 9,81 m/s et est tombée de 4,9 m. Après deux secondes, elle va à 19,6 m/s et est tombée de 19,6 m, après trois elle va à 29,4 m/s et se trouve déjà 44,1 m sous l’endroit d’où nous l’avons lâchée.

Tu as peut-être envie de calculer la hauteur comme la vitesse fois le temps. Mais la pierre n’a la vitesse 19,6 m/s qu’à la fin de la deuxième seconde, avant elle tombait plus lentement, et le résultat serait deux fois trop grand. C’est justement pour cela qu’il y a un demi dans la formule.

Des traces à intervalles de temps égaux

Sur la figure, une bille tombe, au ralenti pour qu’on puisse voir quelque chose, et après chaque intervalle de temps de même durée, par exemple un dixième de seconde, elle laisse derrière elle une trace orange. Les traces s’éloignent de plus en plus les unes des autres, car la bille est de plus en plus rapide à chaque instant. En une unité de temps, la bille descend d’une unité de distance, en deux unités de temps de 2² = 4 unités, en trois de 3² = 9 et en quatre de 4² = 16 unités. Les tronçons entre les traces mesurent alors 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 et 16 − 9 = 7 unités. Deux carrés consécutifs diffèrent d’un nombre impair.

La chute libre était trop rapide pour les horloges de l’époque, et Galilée laissait donc rouler des billes le long d’une gouttière légèrement inclinée, où tout se passe plus lentement. Il a trouvé exactement ces nombres impairs, 1 : 3 : 5 : 7.

Quelle est la profondeur du puits ?

Dans ta maison de campagne, tu as un vieux puits et tu veux savoir à quelle profondeur est la surface de l’eau. Tu y lâches une pierre et tu mesures au chronomètre qu’elle touche l’eau au bout de 2 s. D’abord, nous écrivons ce que nous savons de la chute :

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

La pierre part du repos, nous remplaçons donc directement dans la formule de la hauteur :

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Les secondes au carré se simplifient et il reste des mètres. La surface de l’eau se trouve à environ 19,6 m sous le bord du puits, c’est bien profond. Comme vérification rapide, nous prenons en arrondissant g ≈ 10 m/s² : la moitié de dix fois quatre fait vingt mètres. Ça concorde.

Nous avons négligé le temps dont le son du plouf a besoin pour remonter. Le son parcourt vingt mètres en six centièmes de seconde environ, et cela ne se remarque presque pas par rapport à deux secondes. La résistance de l’air ne freine pas non plus beaucoup la pierre sur vingt mètres.

La vitesse de la pierre forme dans le graphique une droite qui monte de 9,81 m/s à chaque seconde. Sa pente est l’intensité de la pesanteur g. Nous trouvons la distance comme l’aire sous le graphique, ici le triangle rouge dont les côtés de l’angle droit sont 2 s et 19,6 m/s. Son aire est $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, exactement comme nous l’avons obtenu avec la formule.

Le saut du plongeoir de dix mètres

La plus haute plateforme pour les plongeons est à dix mètres au-dessus de l’eau. Combien de temps le plongeur tombe-t-il et à quelle vitesse frappe-t-il l’eau ? En réalité, il s’élance de la plateforme et tourne dans l’air, mais nous simplifions : il tombe simplement sans vitesse initiale, comme une pierre.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Cette fois, nous connaissons la hauteur et nous cherchons le temps, et nous devons l’isoler dans la formule de la hauteur. Nous multiplions d’abord les deux côtés par deux, ce qui fait disparaître la fraction. Ensuite nous les divisons par l’intensité de la pesanteur et, du côté droit, il ne reste que le temps au carré :

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Pour l’instant, nous avons le temps au carré, mais il nous faut le temps lui-même. La racine carrée nous y aide : nous prenons la racine carrée des deux côtés. Le résultat négatif ne nous intéresse pas, le temps depuis le lâcher est positif :

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Nous remplaçons :

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Les mètres se simplifient et les secondes au carré passent du dénominateur au numérateur. La racine carrée de celles-ci donne alors des secondes. La vitesse d’impact découle ensuite de la formule de la vitesse :

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Le plongeur tombe pendant moins d’une seconde et demie et frappe l’eau à la vitesse d’environ 14 m/s, donc à peu près 50 km/h. C’est la vitesse à laquelle roulent les voitures en ville.

On peut trouver la vitesse d’impact aussi sans le temps. De la relation $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot d$ avec une vitesse initiale nulle, l’accélération g et la distance h, on obtient $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Après remplacement, nous avons $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, la même chose que précédemment.

Attention à un piège. Pour une hauteur double, le plongeur ne tombe pas deux fois plus longtemps. La hauteur est sous la racine dans la formule, donc depuis vingt mètres il ne tomberait que pendant environ 2,02 s. Cela concorde avec le puits : en deux secondes, la pierre est tombée de presque vingt mètres.

La même formule sert aussi à une expérience amusante. Un camarade tient une règle à la verticale et toi, tu as le pouce et l’index écartés autour de son extrémité inférieure. Le camarade lâche la règle sans prévenir et tu l’attrapes le plus vite possible. Si la règle a eu le temps de descendre de 20 cm, elle est tombée pendant $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, et c’est ton temps de réaction.

La résistance de l’air et le parachutiste

S’il n’y avait pas d’air, un parachutiste aurait au bout de quinze secondes de chute la vitesse v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, plus de 500 km/h, et il accélérerait encore. Mais il ne tombe jamais aussi vite, parce que l’air oppose au corps qui tombe une résistance, d’autant plus grande qu’il va vite.

Juste après le saut de l’avion, le parachutiste est lent, la résistance de l’air est faible et il tombe presque en chute libre. Mais avec la vitesse, la résistance augmente, la vitesse augmente de plus en plus lentement, jusqu’à ne plus augmenter du tout. Le parachutiste tombe alors à vitesse constante, que nous appelons la vitesse limite. À plat ventre, il atteint environ 200 km/h. Un parachute ouvert augmente brusquement la résistance et la vitesse tombe à quelques mètres par seconde, avec lesquelles on peut atterrir en sécurité.

L’air est utile aussi les jours de pluie. Une goutte tombant d’un nuage à deux kilomètres de hauteur arriverait, sans résistance de l’air, à la vitesse $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, plus de 700 km/h, la vitesse d’un avion. Mais en réalité, même les grosses gouttes ne tombent qu’à environ 9 m/s.

Une plume et une feuille de papier ont une vitesse limite très faible, elles l’atteignent presque instantanément, et c’est pourquoi elles descendent si lentement. C’est la dynamique qui montrera pourquoi la forme et la masse comptent autant. Une pierre lâchée dans un puits ou un plongeur du plongeoir ont des vitesses d’au plus soixante-dix kilomètres par heure environ, et à ces vitesses la résistance de l’air est encore faible, les formules de la chute libre conviennent donc bien.

Calculatrice de la chute libre

Saisis la durée de la chute et la calculatrice te dira de quelle hauteur le corps est tombé et à quelle vitesse il a touché le sol. Elle calcule avec g = 9,81 m/s² et sans résistance de l’air.

Et dans l’autre sens : saisis la hauteur et la calculatrice détermine combien de temps le corps tombe et à quelle vitesse il arrive.

Une pierre qui tombe n’effectue qu’un seul mouvement, verticalement vers le bas. Mais souvent un corps effectue plusieurs mouvements à la fois : un bateau qui se dirige vers la rive opposée est emporté par le courant, et les gouttes de pluie qui tombent à la verticale filent en oblique, vues d’une voiture qui roule. Où le bateau arrive et comment il doit viser pour aborder juste en face, nous le calculerons dans l’article suivant, Composition des mouvements.