Vapaa pudotus

Pudota kädestäsi yhtä aikaa avaimet ja paperiarkki. Avaimet kilahtavat lattiaan melkein heti, paperi keinuu ilmassa vielä hetken. Putoavatko raskaammat asiat siis nopeammin? Juuri niin uskoi lähes kaksituhatta vuotta suurin osa oppineista Aristoteleesta alkaen. Vasta Galileo Galilei keksi 1500- ja 1600-lukujen vaihteessa, että eron tekee ilma. Jos ilmaa ei olisi, kivi, vasara ja linnun höyhen putoaisivat yhtä nopeasti.

Tarun mukaan Galileo pudotti todisteeksi opiskelijoilleen Pisan kaltevasta tornista kaksi eri painoista kuulaa. Tarina on hieno, mutta se tunnetaan vasta hänen oppilaansa ja elämäkertansa kirjoittajan kertomana, ja historioitsijat epäilevät, kävikö niin todella. Galileo keksi asian todellisuudessa kärsivällisemmillä kokeilla, joihin palataan vielä.

Vasara ja höyhen Kuussa

Maassa sen näyttäminen on vaikeaa, ilmaa on nimittäin kaikkialla ympärillä. Kuussa sitä ei kuitenkaan ole. Vuonna 1971 Apollo 15 -lennon astronautti David Scott pudotti siellä televisiokameran edessä samalta korkeudelta geologin vasaran ja haukan höyhenen. Höyhen ei ollut valittu sattumalta: tehtävän laskeutumisalus kantoi nimeä Falcon, suomeksi haukka. Molemmat putosivat yhtä nopeasti ja molemmat osuivat pölyyn samalla hetkellä. Scott lisäsi kuivasti, että herra Galileo oli ollut oikeassa.

Vasemmalla on Kuu, oikealla vertailun vuoksi Maa ilmakehineen.

Levosta päästetyn kappaleen liikettä, kun kappale putoaa vain siksi, että Maa (tai Kuu) vetää sitä puoleensa, ilman mitään ilmanvastusta, sanotaan vapaaksi pudotukseksi. Kuussa höyhenet ja vasarat putoavat vapaasti. Maassa sitä lähellä on putoava kivi, avaimet tai omena, ainakin niin kauan kuin ne eivät putoa suuresta korkeudesta. Höyhen tai paperi ei putoa vapaasti, ilma jarruttaa niitä liikaa.

Putoaminen kiihtyvyydellä g

Galileo keksi vielä yhden asian. Putoavan kappaleen nopeus kasvaa tasaisesti, joka sekunti yhtä paljon. Vapaa pudotus on siis levosta alkava tasaisesti kiihtyvä liike. Sen kiihtyvyys on kaikille kappaleille samassa paikassa sama, sitä sanotaan putoamiskiihtyvyydeksi ja se merkitään g. Kuulostaa oudolta, vasarahan on paljon raskaampi kuin höyhen. Maa vetää sitä kyllä enemmän, mutta yhtä lailla enemmän se vastustaa liikkeelle lähtemistä, ja nämä kumoavat toisensa täsmälleen. Miksi näin on, näyttävät vasta voimat. Maan pinnalla

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Vapaasti putoavan kiven nopeus on joka sekunti 9,81 m/s suurempi. Tarkka arvo vaihtelee hieman paikasta toiseen: päiväntasaajalla putoamiskiihtyvyys on noin 9,78 m/s², navoilla 9,83 m/s². Päässälaskettuun arvioon riittää 10 m/s². Kuussa se on suunnilleen kuusi kertaa pienempi, ja Scottin vasara ja höyhen putosivat siksi Kuussa selvästi hitaammin kuin kivi Maassa.

Kappale putoaa pystysuoraa pitkin, joten positiivinen suunta valitaan alaspäin. Kiihtyvyys ja nopeus tulevat silloin positiivisiksi. Tasaisesti kiihtyvän liikkeen kaavat v = v₀ + a · t ja $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ yksinkertaistuvat tässä. Kappale lähtee levosta, joten alkunopeus on v₀ = 0, ja kiihtyvyys on a = g. Matkaa merkitään korkeuden tavoin h, koska se kertoo, kuinka monta metriä kappale putoaa. Jäljelle jää:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Aika t mitataan pudottamisesta, v on nopeus sillä hetkellä ja h korkeus, jonka kappale on sinä aikana pudonnut. Ensimmäisessä sekunnissa kivi saavuttaa nopeuden 9,81 m/s ja on pudonnut 4,9 m. Kahden sekunnin jälkeen sen nopeus on 19,6 m/s ja se on pudonnut 19,6 m, kolmen jälkeen nopeus on 29,4 m/s ja se on jo 44,1 m pudotuspaikan alapuolella.

Mieleen voi tulla laskea korkeus nopeus kertaa aika. Mutta nopeuden 19,6 m/s kivi saavuttaa vasta toisen sekunnin lopussa, sitä ennen se putosi hitaammin, ja tulos olisi kaksi kertaa liian suuri. Juuri siksi kaavassa on puolikas.

Jäljet yhtä pitkien aikojen jälkeen

Kuvassa kuula putoaa hidastettuna, jotta jotain näkyisi, ja jättää jokaisen yhtä pitkän ajanjakson, vaikka kymmenesosasekunnin, jälkeen oranssin jäljen. Jäljet etääntyvät toisistaan yhä enemmän, koska kuula on joka hetki nopeampi. Yhdessä aikaosassa kuula putoaa yhden matkaosan, kahdessa aikaosassa 2² = 4 osaa, kolmessa 3² = 9 ja neljässä 4² = 16 osaa. Jälkien väliset osuudet ovat silloin 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 ja 16 − 9 = 7 osaa. Peräkkäisten neliölukujen erotukset ovat parittomia lukuja.

Vapaa pudotus oli silloisille kelloille liian nopea, ja siksi Galileo laski kuulia vähän kaltevaa kourua pitkin, jossa kaikki tapahtuu hitaammin. Hän löysi juuri nämä parittomat luvut, 1 : 3 : 5 : 7.

Kuinka syvä kaivo on?

Mökillä on vanha kaivo ja haluat tietää, kuinka syvällä vesi on. Pudotat siihen kiven ja mittaat sekuntikellolla, että se molskahtaa ajassa 2 s. Kirjoitetaan ensin ylös, mitä putoamisesta tiedetään:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Kivi putoaa levosta, joten sijoitetaan suoraan korkeuden kaavaan:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekunnin neliöt supistuvat ja jäljelle jäävät metrit. Vesi on noin 19,6 m kaivon reunan alapuolella, melkoisen syvällä. Nopeana kokeena otetaan pyöristettynä g ≈ 10 m/s²: puolet kymmenestä kertaa neljä on kaksikymmentä metriä. Täsmää.

Aika, jonka molskahduksen ääni tarvitsee matkaan takaisin ylös, jätettiin huomiotta. Ääni kulkee kaksikymmentä metriä suunnilleen kuudessa sadasosasekunnissa, mikä ei kahteen sekuntiin verrattuna juuri näy. Ei ilmanvastuskaan kiveä kahdessakymmenessä metrissä juuri jarruta.

Kiven nopeus muodostaa kuvaajaan suoran, joka nousee joka sekunti 9,81 m/s. Sen jyrkkyys on putoamiskiihtyvyys g. Matka löytyy kuvaajan alla olevana alana, tässä punaisena kolmiona, jonka kateetit ovat 2 s ja 19,6 m/s. Sen ala on $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, täsmälleen kuten kaavasta saatiin.

Hyppy kymmenen metrin tornista

Uimahyppyjen korkein lava on kymmenen metrin korkeudessa vedenpinnasta. Kuinka kauan hyppääjä putoaa ja millä nopeudella hän iskeytyy veteen? Todellisuudessa hän ponnistaa lavalta ja pyörii ilmassa, mutta yksinkertaistetaan: hän putoaa levosta kuin kivi.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Tällä kertaa tunnetaan korkeus ja etsitään aikaa, ja se täytyy ratkaista korkeuden kaavasta. Molemmat puolet kerrotaan ensin kahdella, jolloin murtoluku katoaa. Sitten ne jaetaan putoamiskiihtyvyydellä ja oikealle puolelle jää vain aika toiseen potenssiin:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Toistaiseksi saatiin aika toiseen potenssiin, mutta tarvitaan itse aika. Neliöjuuri auttaa: otetaan neliöjuuri molemmilta puolilta. Negatiivinen tulos ei kiinnosta, aika pudottamisesta on positiivinen:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Sijoitetaan:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Metrit supistuvat ja sekunnin neliöt siirtyvät nimittäjästä osoittajaan. Niiden neliöjuuri antaa sekunteja. Iskeytymisnopeus tulee sitten nopeuden kaavasta:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Hyppääjä putoaa vajaat puolitoista sekuntia ja iskeytyy veteen nopeudella noin 14 m/s, eli suunnilleen 50 km/h. Niin nopeasti autot ajavat kaupungissa.

Iskeytymisnopeuden voi selvittää myös ilman aikaa. Yhtälöstä $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ saadaan nollalla alkunopeudella, kiihtyvyydellä g ja matkalla h tulos $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Sijoittamalla saadaan $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, saman kuin äsken.

Varo yhtä salakavalaa kohtaa. Kaksinkertaisesta korkeudesta hyppääjä ei putoa kaksi kertaa pidempään. Korkeus on kaavassa neliöjuuren alla, joten kahdestakymmenestä metristä hän putoaisi vain noin 2,02 s. Se sopii yhteen kaivon kanssa: kahdessa sekunnissa kivi putosi vajaat kaksikymmentä metriä.

Samalla kaavalla voi tehdä hauskan kokeen. Kaveri pitää viivoitinta pystysuorassa ja sinulla on peukalo ja etusormi auki sen alapään ympärillä. Kaveri päästää sen varoittamatta irti ja sinä yrität napata sen mahdollisimman nopeasti. Jos viivoitin ehtii pudota 20 cm, se putosi $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, ja se on sinun reaktioaikasi.

Ilmanvastus ja laskuvarjohyppääjä

Jos ilmaa ei olisi, laskuvarjohyppääjän nopeus viidentoista sekunnin pudotuksen jälkeen olisi v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, enemmän kuin 500 km/h, ja hän kiihtyisi edelleen. Niin nopeasti hän ei koskaan putoa, koska ilma vastustaa putoavaa kappaletta, sitä enemmän mitä nopeammin se liikkuu.

Heti lentokoneesta hypättyään hyppääjä on hidas, ilmanvastus on pieni ja hän putoaa melkein vapaasti. Nopeuden myötä vastus kuitenkin kasvaa, nopeus lisääntyy yhä hitaammin, kunnes se lakkaa kasvamasta kokonaan. Hyppääjä putoaa silloin vakionopeudella, jota sanotaan rajanopeudeksi. Vatsallaan raajat levitettyinä hän saavuttaa suunnilleen 200 km/h. Avattu laskuvarjo kasvattaa vastusta jyrkästi ja nopeus laskee muutamaan metriin sekunnissa, millä voi laskeutua turvallisesti.

Ilmasta on hyötyä myös sateella. Kaksi kilometriä korkeudella olevasta pilvestä sadepisara osuisi ilman ilmanvastusta maahan nopeudella $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, yli 700 km/h, lentokoneen vauhdilla. Todellisuudessa kuitenkin suuretkin pisarat putoavat vain noin 9 m/s.

Höyhenen ja paperiarkin rajanopeus on hyvin pieni, ne saavuttavat sen lähes heti, ja siksi ne leijuvat alas niin hitaasti. Miksi muodolla ja massalla on niin suuri merkitys, näyttää dynamiikka. Kaivoon pudotetun kiven tai tornista hyppäävän nopeudet ovat korkeintaan noin seitsemänkymmentä kilometriä tunnissa, ja niillä ilmanvastus on vielä pieni, joten vapaan pudotuksen kaavat sopivat hyvin.

Vapaan pudotuksen laskuri

Täytä pudotuksen kesto, niin laskuri kertoo, miltä korkeudelta kappale putosi ja millä nopeudella se iskeytyi. Laskuri käyttää arvoa g = 9,81 m/s² ja jättää ilmanvastuksen huomiotta.

Ja toisinpäin: anna korkeus, niin laskuri määrittää, kuinka kauan kappale putoaa ja millä nopeudella se iskeytyy.

Putoava kivi tekee vain yhden liikkeen, suoraan alas. Usein kappale kuitenkin tekee useita liikkeitä yhtä aikaa: venettä, joka tähtää vastarannalle, virta kuljettaa mukanaan, ja sadepisarat, jotka putoavat pystysuoraan, lentävät ajavasta autosta katsottuna vinosti. Minne vene päätyy ja mihin sen täytyy tähdätä, jotta se rantautuisi suoraan vastapäätä, lasketaan seuraavassa artikkelissa, Liikkeiden yhdistäminen.