Caduta libera

Lascia cadere nello stesso momento le chiavi e un foglio di carta. Le chiavi tintinnano sul pavimento quasi subito, il foglio dondola ancora un po’ nell’aria. Le cose più pesanti cadono dunque più in fretta? Proprio questo pensò per quasi duemila anni la maggior parte degli studiosi, a cominciare da Aristotele. Solo Galileo Galilei, a cavallo tra Cinquecento e Seicento, capì che la differenza la fa l’aria. Se non ce ne fosse, un sasso, un martello e una piuma d’uccello cadrebbero con la stessa rapidità.

Secondo la leggenda, per dimostrarlo agli studenti Galileo lasciò cadere dalla torre pendente di Pisa due sfere di peso diverso. È una bella storia, ma la conosciamo solo da un suo allievo e biografo, e gli storici dubitano che sia accaduta davvero. In realtà Galileo ci arrivò con esperimenti più pazienti, di cui parleremo tra poco.

Martello e piuma sulla Luna

Sulla Terra è difficile mostrarlo, perché l’aria è dappertutto intorno a noi. Sulla Luna invece non ce n’è. Nel 1971 l’astronauta David Scott della missione Apollo 15 davanti alla telecamera lasciò cadere lassù, dalla stessa altezza, un martello da geologo e una piuma di falco. La piuma non era stata scelta a caso: il modulo di allunaggio della missione si chiamava Falcon, in italiano falco. Entrambi caddero con la stessa rapidità ed entrambi toccarono la polvere nello stesso istante. Scott commentò laconico che il signor Galileo aveva ragione.

A sinistra c’è la Luna, a destra, per confronto, la Terra con l’aria.

Il moto di un corpo che lasciamo andare da fermo e che poi cade solo perché la Terra (o la Luna) lo attira, senza alcuna resistenza dell’aria, si chiama caduta libera. Sulla Luna in caduta libera cadono sia le piume sia i martelli. Sulla Terra vi si avvicinano molto un sasso che cade, le chiavi o una mela, almeno finché non cadono da grande altezza. Una piuma o un foglio di carta non sono in caduta libera: l’aria li frena troppo.

Si cade con accelerazione g

Galileo scoprì anche un’altra cosa. La velocità di un corpo che cade cresce in modo uniforme, a ogni secondo aumenta della stessa quantità. La caduta libera è quindi un moto uniformemente accelerato a partire da fermo. La sua accelerazione è la stessa per tutti i corpi in uno stesso luogo, si chiama accelerazione di gravità e si indica con g. Sembra strano: il martello è molto più pesante della piuma. La Terra lo attira di più, è vero, ma il martello oppone anche più resistenza a mettersi in moto, e le due cose si compensano esattamente. Perché sia così lo mostreranno le forze. Da noi vale

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Un sasso in caduta libera aumenta la sua velocità di 9,81 m/s ogni secondo. Il valore preciso varia un po’ da luogo a luogo: all’equatore l’accelerazione di gravità è circa 9,78 m/s², ai poli 9,83 m/s². Per una stima a mente bastano 10 m/s². Sulla Luna è circa sei volte minore, e il martello e la piuma di Scott sulla Luna cadevano perciò sensibilmente più lentamente di un sasso sulla Terra.

Il corpo cade lungo una retta verticale, quindi scegliamo come verso positivo quello verso il basso. Accelerazione e velocità risultano allora positive. Le formule del moto uniformemente accelerato v = v₀ + a · t e $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ qui si semplificano. Il corpo parte da fermo, la velocità iniziale è quindi v₀ = 0, e l’accelerazione è a = g. Lo spazio lo indicheremo con h come altezza, perché dice di quanti metri il corpo è caduto. Restano:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Il tempo t lo misuriamo dal momento in cui lasciamo andare il corpo, v è la velocità in quell’istante e h l’altezza di cui il corpo è sceso nel frattempo. Nel primo secondo il sasso raggiunge la velocità di 9,81 m/s ed è caduto di 4,9 m. Dopo due secondi ha 19,6 m/s ed è caduto di 19,6 m, dopo tre ha 29,4 m/s ed è già 44,1 m sotto il punto da cui lo abbiamo lasciato.

Ti verrebbe da calcolare l’altezza come velocità per tempo. Ma la velocità di 19,6 m/s il sasso la raggiunge solo alla fine del secondo secondo, prima cadeva più piano, e il risultato verrebbe il doppio. È proprio per questo che nella formula c’è un mezzo.

Tracce a intervalli di tempo uguali

Nella figura cade una pallina, al rallentatore perché si veda qualcosa, e dopo ogni intervallo di tempo uguale, per esempio un decimo di secondo, lascia dietro di sé una traccia arancione. Le tracce si allontanano sempre di più l’una dall’altra, perché la pallina a ogni istante è più veloce. In un’unità di tempo la pallina scende di un’unità di spazio, in due unità di tempo di 2² = 4 unità, in tre di 3² = 9 e in quattro di 4² = 16 unità. I tratti tra le tracce misurano allora 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 e 16 − 9 = 7 unità. Due quadrati consecutivi differiscono di un numero dispari.

La caduta libera era troppo rapida per gli orologi di allora, e così Galileo faceva rotolare le palline lungo una guida leggermente inclinata, dove tutto avviene più lentamente. Trovò proprio questi numeri dispari, 1 : 3 : 5 : 7.

Quanto è profondo il pozzo?

Nella casa di campagna hai un vecchio pozzo e vuoi sapere a che profondità si trova l’acqua. Ci lasci cadere un sasso e con il cronometro misuri che tocca l’acqua dopo 2 s. Prima scriviamo che cosa sappiamo sulla caduta:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Il sasso cade da fermo, quindi sostituiamo direttamente nella formula dell’altezza:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

I secondi al quadrato si semplificano e restano i metri. Il livello dell’acqua si trova a circa 19,6 m sotto il bordo del pozzo, bello profondo. Come controllo veloce prendiamo g ≈ 10 m/s² arrotondato: la metà di dieci per quattro fa venti metri. Torna.

Il tempo che il suono del tonfo impiega a tornare su l’abbiamo trascurato. Il suono percorre venti metri in circa sei centesimi di secondo, e rispetto ai due secondi è quasi trascurabile. Nemmeno la resistenza dell’aria frena molto il sasso su venti metri.

La velocità del sasso nel grafico forma una retta che a ogni secondo sale di 9,81 m/s. La sua pendenza è l’accelerazione di gravità g. Lo spazio lo troviamo come area sotto il grafico, qui come triangolo rosso con cateti di 2 s e 19,6 m/s. La sua area è $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, esattamente come ci è venuto dalla formula.

Tuffo da una torre di dieci metri

La piattaforma più alta per i tuffi è a dieci metri sopra il pelo dell’acqua. Quanto dura la caduta del tuffatore e a che velocità colpisce l’acqua? In realtà si stacca dalla piattaforma e in aria ruota, ma semplifichiamo: cade da fermo come un sasso.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Questa volta conosciamo l’altezza e cerchiamo il tempo, che dobbiamo ricavare dalla formula dell’altezza. Prima moltiplichiamo entrambi i membri per due, così sparisce la frazione. Poi li dividiamo per l’accelerazione di gravità e a destra resta solo il tempo al quadrato:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Per ora abbiamo il tempo al quadrato, ma ci serve il tempo stesso. Aiuta la radice: estraiamo la radice di entrambi i membri. Il risultato negativo non ci interessa, il tempo dal rilascio è positivo:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Sostituiamo:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

I metri si semplificano e i secondi al quadrato passano dal denominatore al numeratore. La radice di questi dà poi i secondi. La velocità d’impatto viene allora dalla formula della velocità:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Il tuffatore cade per meno di un secondo e mezzo e colpisce l’acqua a circa 14 m/s, cioè a circa 50 km/h. È la velocità delle auto in città.

La velocità d’impatto si può trovare anche senza il tempo. Dalla relazione $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ con velocità iniziale nulla, accelerazione g e spazio h si ottiene $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Sostituendo, $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lo stesso di prima.

Attenzione a un tranello. Da un’altezza doppia il tuffatore non cade per un tempo doppio. L’altezza nella formula è sotto la radice, quindi da venti metri cadrebbe per circa 2,02 s. Concorda con il pozzo: in due secondi il sasso è caduto di poco meno di venti metri.

La stessa formula serve anche a un esperimento divertente. Un amico tiene un righello in verticale e tu hai pollice e indice aperti attorno alla sua estremità inferiore. L’amico lo lascia andare senza avvisare e tu lo afferri il più in fretta possibile. Se il righello fa in tempo a scendere di 20 cm, è caduto per $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, e questo è il tuo tempo di reazione.

Resistenza dell’aria e paracadutista

Se non ci fosse l’aria, un paracadutista dopo quindici secondi di caduta avrebbe una velocità v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, più di 500 km/h, e continuerebbe ad accelerare. Così veloce però non cade mai, perché l’aria oppone al corpo in caduta una resistenza, tanto maggiore quanto più va veloce.

Subito dopo il lancio dall’aereo il paracadutista è lento, la resistenza dell’aria è piccola e cade quasi in caduta libera. Ma con la velocità cresce anche la resistenza, la velocità aumenta sempre più lentamente, finché smette del tutto di crescere. Il paracadutista cade allora a velocità costante, che chiamiamo velocità limite. Disteso a pancia in giù raggiunge circa 200 km/h. Il paracadute aperto aumenta di colpo la resistenza e la velocità scende a pochi metri al secondo, con cui si può atterrare in sicurezza.

L’aria è utile anche quando piove. Una goccia da una nuvola a due chilometri di altezza, senza la resistenza dell’aria, arriverebbe a una velocità di $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, oltre 700 km/h, la velocità di un aereo. In realtà anche le gocce grandi cadono a circa 9 m/s.

Una piuma e un foglio di carta hanno una velocità limite piccolissima, la raggiungono quasi subito, ed è per questo che scendono così lentamente. Perché contino tanto forma e massa lo mostrerà la dinamica. Un sasso nel pozzo o un tuffatore dalla torre hanno velocità al massimo intorno ai settanta chilometri all’ora e a queste la resistenza dell’aria è ancora piccola, quindi le formule della caduta libera funzionano bene.

Calcolatrice della caduta libera

Inserisci il tempo di caduta e la calcolatrice ti dice da che altezza è caduto il corpo e a che velocità ha toccato terra. Calcola con g = 9,81 m/s² e senza la resistenza dell’aria.

E al contrario: inserisci l’altezza e la calcolatrice determina quanto dura la caduta del corpo e a che velocità arriva.

Un sasso che cade compie un solo moto, verticalmente verso il basso. Spesso però un corpo compie più moti insieme: una barca che punta alla riva opposta è portata via dalla corrente, e le gocce di pioggia che cadono in verticale volano in diagonale viste da un’auto in corsa. Dove approderà la barca e come deve puntare per approdare proprio di fronte lo calcoleremo nel prossimo articolo, Composizione dei moti.