Fritt fall

Släpp nycklar och ett pappersark från handen samtidigt. Nycklarna klirrar mot golvet nästan genast, medan pappret en stund gungar omkring i luften. Faller alltså tunga saker snabbare? Det trodde de flesta lärda i nästan två tusen år, med början hos Aristoteles. Det var först Galileo Galilei som i slutet av 1500-talet och början av 1600-talet kom på att det är luften som gör skillnaden. Om det inte fanns någon luft skulle en sten, en hammare och en fågelfjäder falla lika snabbt.

Enligt sägnen släppte Galileo två olika tunga kulor från Pisas lutande torn för att visa sina studenter att han hade rätt. Historien är fin, men vi känner den bara från hans elev och biograf, och historiker tvivlar på att det verkligen hände. Galileo kom egentligen fram till det med mer tålmodiga experiment, som vi kommer till längre fram.

Hammare och fjäder på månen

På jorden är det svårt att visa, eftersom luften finns överallt omkring oss. På månen finns ingen. År 1971 släppte astronauten David Scott från uppdraget Apollo 15 en geologhammare och en falkfjäder från samma höjd framför en tv-kamera. Fjädern var inte vald på måfå: uppdragets månlandare hette Falcon, som betyder falk på svenska. Båda föremålen föll lika snabbt och landade i dammet i samma ögonblick. Scott tillade torrt att herr Galileo hade haft rätt.

Till vänster ser du månen, till höger jorden med luft som jämförelse.

En rörelse där en kropp släpps från vila och sedan faller enbart för att jorden (eller månen) drar i den, helt utan luftmotstånd, kallar vi fritt fall. På månen faller både fjädrar och hammare i fritt fall. På jorden kommer en fallande sten, nycklar eller ett äpple mycket nära fritt fall, åtminstone så länge de inte faller från stor höjd. Fjädern och pappret faller inte i fritt fall, för luften bromsar dem alldeles för mycket.

Fallet har accelerationen g

Galileo upptäckte en sak till. Hastigheten hos en fallande kropp ökar likformigt, lika mycket varje sekund. Fritt fall är alltså en likformigt accelererad rörelse från vila. Accelerationen är densamma för alla kroppar på samma plats, kallas tyngdacceleration och betecknas g. Det låter konstigt, hammaren är ju mycket tyngre än fjädern. Jorden drar visserligen hårdare i den, men den är också mer motsträvig när den ska sättas i rörelse, och de två effekterna tar ut varandra exakt. Varför det är så visar vi först när vi kommer till krafterna. Hos oss är

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Hastigheten hos en fritt fallande sten ökar med 9,81 m/s varje sekund. Det exakta värdet varierar något från plats till plats: vid ekvatorn är tyngdaccelerationen ungefär 9,78 m/s², vid polerna 9,83 m/s². För en överslagsräkning i huvudet räcker 10 m/s². På månen är den ungefär sex gånger mindre, så Scotts hammare och fjäder föll där märkbart långsammare än en sten på jorden.

Kroppen faller längs en lodrät linje, därför väljer vi nedåt som positiv riktning. Både accelerationen och hastigheten blir då positiva. Formlerna för likformigt accelererad rörelse v = v₀ + a · t och $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ blir här enklare. Kroppen startar från vila, så starthastigheten är v₀ = 0, och accelerationen är a = g. Sträckan betecknar vi h som höjd, eftersom den säger hur många meter kroppen har fallit. Kvar blir:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Tiden t mäter vi från det att kroppen släpps, v är hastigheten i det ögonblicket och h den höjd som kroppen har fallit under tiden. Under den första sekunden får stenen hastigheten 9,81 m/s och har fallit 4,9 m. Efter två sekunder har den 19,6 m/s och har fallit 19,6 m, efter tre har den 29,4 m/s och är redan 44,1 m under platsen där vi släppte den.

Du kanske frestas att räkna ut höjden som hastigheten gånger tiden. Men hastigheten 19,6 m/s har stenen först i slutet av den andra sekunden, tidigare föll den långsammare, och resultatet skulle bli dubbelt så stort. Det är därför faktorn en halv står i formeln.

Spår efter lika tidsintervall

På bilden faller en kula, i slow motion för att man ska se något, och efter varje lika långt tidsintervall, till exempel en tiondels sekund, lämnar den ett orange spår efter sig. Spåren hamnar allt längre från varandra, eftersom kulan blir snabbare för varje ögonblick. Under en tidsdel faller kulan en sträckdel, under två tidsdelar 2² = 4 delar, under tre 3² = 9 och under fyra 4² = 16 delar. Sträckorna mellan spåren mäter då 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 och 16 − 9 = 7 delar. Två på varandra följande kvadrattal skiljer sig åt med ett udda tal.

Fritt fall gick för fort för tidens klockor, så Galileo lät kulor rulla längs en svagt lutande ränna, där allt sker långsammare. Där hittade han just de här udda talen, 1 : 3 : 5 : 7.

Hur djup är brunnen?

Vid stugan har du en gammal brunn och vill veta hur långt det är ner till vattenytan. Du släpper en sten i den och mäter med ett stoppur att det plaskar efter 2 s. Först skriver vi upp vad vi vet om fallet:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Stenen faller från vila, så vi sätter direkt in i formeln för höjden:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekunderna i kvadrat förkortas bort och meter blir kvar. Vattenytan ligger ungefär 19,6 m under brunnskanten, riktigt djupt. Som snabb kontroll tar vi avrundat g ≈ 10 m/s²: hälften av tio gånger fyra är tjugo meter. Det stämmer.

Den tid som ljudet av plasket behöver för att färdas upp igen har vi försummat. Ljudet tillryggalägger tjugo meter på ungefär sex hundradels sekund, och det märks knappt jämfört med två sekunder. Inte heller luftmotståndet bromsar stenen särskilt mycket på tjugo meter.

Stenens hastighet bildar i grafen en rät linje som stiger 9,81 m/s varje sekund. Dess lutning är tyngdaccelerationen g. Sträckan hittar vi som arean under grafen, här som den röda triangeln med kateterna 2 s och 19,6 m/s. Dess area är $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, precis som vi fick med formeln.

Hopp från tiometerstornet

Den högsta plattformen för simhopp ligger tio meter över vattenytan. Hur länge faller simhopparen, och med vilken hastighet slår han i vattnet? I verkligheten trycker han ifrån mot plattformen och snurrar i luften, men vi förenklar: han faller bara från vila som en sten.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Den här gången känner vi höjden och söker tiden, och den måste vi lösa ut ur formeln för höjden. Först multiplicerar vi båda leden med två, så att bråket försvinner. Sedan delar vi med tyngdaccelerationen, och i högerledet blir bara tiden i kvadrat kvar:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Nu har vi tiden i kvadrat, men vi behöver själva tiden. Då hjälper roten ur: vi tar roten ur båda leden. Det negativa resultatet är ointressant, tiden från det att kroppen släpps är positiv:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Vi sätter in:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Metrarna förkortas bort, och sekunderna i kvadrat flyttas från nämnaren till täljaren. Roten ur dem ger sekunder. Hastigheten vid nedslaget får vi sedan ur formeln för hastigheten:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Simhopparen faller knappt en och en halv sekund och slår i vattnet med en hastighet på ungefär 14 m/s, alltså omkring 50 km/h. Så fort kör bilar inne i en stad.

Hastigheten vid nedslaget kan man hitta även utan tiden. Ur sambandet $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ med starthastigheten noll, accelerationen g och sträckan h får vi $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Efter insättning har vi $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, samma som förut.

Se upp för en fälla. Från dubbel höjd faller hopparen inte dubbelt så länge. Höjden står under rottecknet i formeln, så från tjugo meter skulle han falla bara ungefär 2,02 s. Det stämmer med brunnen: på två sekunder föll stenen knappt tjugo meter.

Samma formel kan användas till ett roligt experiment. En kompis håller en linjal lodrätt, och du har tummen och pekfingret öppna runt dess nedre ände. Kompisen släpper linjalen utan förvarning och du fångar den så snabbt du kan. Om linjalen hinner falla 20 cm, har den fallit $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, och det är din reaktionstid.

Luftmotstånd och fallskärmshoppare

Om det inte fanns någon luft skulle en fallskärmshoppare efter femton sekunders fall ha hastigheten v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, mer än 500 km/h, och hon skulle fortsätta accelerera. Så fort faller hon aldrig, eftersom luften ger en fallande kropp ett motstånd, och det blir större ju snabbare kroppen rör sig.

Direkt efter hoppet ur flygplanet är fallskärmshopparen långsam, luftmotståndet är litet och hon faller nästan fritt. Med hastigheten växer dock motståndet, hastigheten ökar allt långsammare och slutar till sist helt att öka. Fallskärmshopparen faller då med konstant hastighet, som vi kallar gränshastighet. Utsträckt på mage når hon ungefär 200 km/h. En öppen fallskärm ökar luftmotståndet kraftigt, och hastigheten sjunker till några meter per sekund, som man kan landa säkert med.

Luften kommer också till nytta när det regnar. En droppe från ett moln på två kilometers höjd skulle utan luftmotstånd slå ner med hastigheten $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, över 700 km/h, lika fort som ett flygplan. I verkligheten faller dock även stora droppar bara ungefär 9 m/s.

Fjädern och pappersarket har en mycket liten gränshastighet, som de når nästan direkt, och därför singlar de ner så långsamt. Varför form och massa spelar så stor roll visar dynamiken. Stenen i brunnen eller simhopparen från tornet har hastigheter på högst omkring sjuttio kilometer i timmen, och vid dem är luftmotståndet fortfarande litet, så formlerna för fritt fall stämmer bra.

Miniräknare för fritt fall

Fyll i falltiden, så talar miniräknaren om från vilken höjd kroppen har fallit och med vilken hastighet den slår ner. Den räknar med g = 9,81 m/s² och utan luftmotstånd.

Och tvärtom: skriv in höjden, så bestämmer miniräknaren hur länge kroppen faller och med vilken hastighet den slår ner.

En fallande sten utför bara en enda rörelse, lodrätt nedåt. Ofta utför en kropp ändå flera rörelser samtidigt: en liten båt som styr mot den motsatta stranden förs med av strömmen, och regndroppar som faller lodrätt flyger snett sett från en bil i rörelse. Vart båten kommer och hur den måste styra för att landa rakt mitt emot räknar vi ut i nästa artikel, Sammansatt rörelse.