Căderea liberă

Scapă deodată din mână niște chei și o foaie de hârtie. Cheile zornăie pe podea aproape imediat, hârtia se mai leagănă o vreme prin aer. Cad deci lucrurile mai grele mai repede? Exact asta au crezut timp de aproape două mii de ani cei mai mulți învățați, începând cu Aristotel. Abia Galileo Galilei a descoperit, la cumpăna dintre secolele al XVI-lea și al XVII-lea, că diferența o face aerul. Dacă nu ar exista aer, piatra, ciocanul și pana unei păsări ar cădea la fel de repede.

Potrivit legendei, ca să le demonstreze studenților, Galileo a lăsat să cadă din Turnul înclinat din Pisa două bile de greutăți diferite. Povestea este frumoasă, dar o știm abia de la elevul și biograful lui, iar istoricii se îndoiesc că s-a petrecut cu adevărat. În realitate, Galileo a ajuns la această concluzie prin experimente mai răbdătoare, la care vom ajunge mai jos.

Ciocanul și pana pe Lună

Pe Pământ este greu de arătat, pentru că aerul este peste tot în jurul nostru. Pe Lună însă aer nu există. În 1971, astronautul David Scott din misiunea Apollo 15 a lăsat să cadă acolo, în fața camerei de televiziune, de la aceeași înălțime un ciocan de geolog și o pană de șoim. Pana nu a fost aleasă la întâmplare: modulul de aselenizare al misiunii purta numele Falcon, în română „șoim”. Ambele au căzut la fel de repede și ambele au atins praful în același moment. Scott a adăugat sec că domnul Galileo avusese dreptate.

În stânga este Luna, în dreapta, pentru comparație, Pământul cu aer.

Mișcarea unui corp pe care îl lăsăm din repaus și care apoi cade doar pentru că îl atrage Pământul (sau Luna), fără nicio rezistență a aerului, o numim cădere liberă. Pe Lună în cădere liberă cad și penele, și ciocanele. Pe Pământ se apropie mult de ea căderea unei pietre, a cheilor sau a unui măr, cel puțin cât timp nu cad de la mare înălțime. Pana și hârtia nu cad liber, pe ele aerul le frânează prea tare.

Corpurile cad cu accelerația g

Galileo a descoperit încă un lucru. Viteza unui corp care cade crește uniform, în fiecare secundă cu aceeași valoare. Căderea liberă este astfel o mișcare uniform accelerată din repaus. Accelerația ei este aceeași pentru toate corpurile în același loc, se numește accelerație gravitațională și se notează g. Sună ciudat, ciocanul este totuși mult mai greu decât pana. Pământul îl atrage mai tare, dar în aceeași măsură se opune și el punerii în mișcare, iar cele două efecte se compensează exact. De ce este așa, vor arăta forțele. La noi este

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Viteza unei pietre care cade liber crește în fiecare secundă cu 9,81 m/s. Valoarea exactă diferă puțin de la un loc la altul: la ecuator accelerația gravitațională este de aproximativ 9,78 m/s², la poli 9,83 m/s². Pentru o estimare din cap ajunge 10 m/s². Pe Lună este de aproximativ șase ori mai mică, iar ciocanul și pana lui Scott au căzut astfel pe Lună vizibil mai încet decât o piatră pe Pământ.

Corpul cade pe o dreaptă verticală, de aceea alegem sensul pozitiv în jos. Accelerația și viteza ies atunci pozitive. Formulele mișcării uniform accelerate v = v₀ + a · t și $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ se simplifică aici. Corpul pornește din repaus, viteza inițială este deci v₀ = 0, iar accelerația este a = g. Distanța o vom nota h ca înălțime, pentru că spune cu câți metri a căzut corpul. Rămâne:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Timpul t îl măsurăm de la lăsarea corpului, v este viteza în acel moment, iar h înălțimea cu care a coborât corpul în acest timp. După prima secundă piatra are viteza 9,81 m/s și a căzut cu 4,9 m. După două secunde are 19,6 m/s și a căzut cu 19,6 m, după trei are 29,4 m/s și se află deja cu 44,1 m sub locul din care am lăsat-o.

Ești tentat să calculezi înălțimea ca viteză ori timp. Dar viteza 19,6 m/s o are piatra abia la sfârșitul celei de-a doua secunde, înainte a căzut mai încet, iar rezultatul ar ieși de două ori mai mare. Tocmai de aceea apare în formulă jumătatea.

Urme lăsate la intervale egale de timp

În figură cade o bilă, cu încetinitorul, ca să se vadă ceva, și după fiecare interval de timp egal, de exemplu după o zecime de secundă, lasă o urmă portocalie. Urmele se depărtează tot mai mult una de alta, pentru că bila devine clipă de clipă mai rapidă. Într-o unitate de timp bila coboară cu o unitate de distanță, în două unități de timp cu 2² = 4 unități, în trei cu 3² = 9 și în patru cu 4² = 16 unități. Segmentele dintre urme măsoară atunci 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 și 16 − 9 = 7 unități. Pătratele consecutive diferă prin numere impare.

Căderea liberă era prea rapidă pentru ceasurile de atunci, așa că Galileo lăsa bilele să ruleze pe un jgheab ușor înclinat, unde totul se petrece mai încet. A găsit exact aceste numere impare, 1 : 3 : 5 : 7.

Cât de adâncă este fântâna?

La casa de la țară ai o fântână veche și vrei să afli la ce adâncime se află apa. Lași să cadă în ea o piatră și măsori cu cronometrul că plescăitul se aude după 2 s. Mai întâi scriem ce știm despre cădere:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Piatra cade din repaus, așa că înlocuim direct în formula înălțimii:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Secundele la pătrat se simplifică și rămân metri. Nivelul apei se află la aproximativ 19,6 m sub marginea fântânii, destul de adânc. Ca verificare rapidă luăm rotunjit g ≈ 10 m/s²: jumătate din zece ori patru este douăzeci de metri. Se potrivește.

Timpul de care are nevoie sunetul plescăitului ca să urce înapoi l-am neglijat. Sunetul parcurge douăzeci de metri în aproximativ șase sutimi de secundă, ceea ce, față de două secunde, aproape că nu contează. Nici rezistența aerului nu frânează prea tare piatra pe douăzeci de metri.

Viteza pietrei formează în grafic o dreaptă care urcă în fiecare secundă cu 9,81 m/s. Panta ei este accelerația gravitațională g. Distanța este aria de sub grafic, aici aria triunghiului roșu cu catetele 2 s și 19,6 m/s. Aria lui este $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, exact cum ne-a ieșit din formulă.

Săritura de pe turnul de zece metri

Cea mai înaltă platformă pentru sărituri în apă este la zece metri deasupra suprafeței. Cât timp cade săritorul și cu ce viteză lovește apa? În realitate se desprinde de pe platformă și se rotește în aer, dar simplificăm: pur și simplu cade din repaus ca o piatră.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

De data aceasta cunoaștem înălțimea și căutăm timpul, iar pe acesta trebuie să-l exprimăm din formula înălțimii. Mai întâi înmulțim ambele părți cu doi, ceea ce face să dispară fracția. Apoi le împărțim la accelerația gravitațională și în partea dreaptă rămâne doar timpul la pătrat:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Deocamdată avem timpul la pătrat, dar ne trebuie timpul însuși. Ne ajută radicalul: extragem radicalul din ambele părți. Rezultatul negativ nu ne interesează, timpul de la lăsarea corpului este pozitiv:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Înlocuim:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Metrii se simplifică, iar secundele la pătrat trec de la numitor la numărător. Radicalul din ele dă apoi secunde. Viteza la impact rezultă din formula vitezei:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Săritorul cade puțin sub o secundă și jumătate și lovește apa cu viteza de aproximativ 14 m/s, adică aproximativ 50 km/h. Cu această viteză circulă mașinile prin oraș.

Viteza la impact se poate afla și fără timp. Din relația $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$, cu viteza inițială nulă, accelerația g și distanța h, rezultă $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. După înlocuire avem $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, la fel ca înainte.

Atenție la o capcană. De la o înălțime dublă săritorul nu cade de două ori mai mult. Înălțimea este în formulă sub radical, așa că de la douăzeci de metri ar cădea doar aproximativ 2,02 s. Se potrivește cu fântâna: în două secunde piatra a căzut cu aproape douăzeci de metri.

Aceeași formulă servește și la un experiment distractiv. Un prieten ține o riglă pe verticală, iar tu ai degetul mare și arătătorul desfăcute în jurul capătului ei de jos. Prietenul o lasă fără avertisment, iar tu o prinzi cât poți de repede. Dacă rigla apucă să cadă cu 20 cm, a căzut timp de $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, iar acesta este timpul tău de reacție.

Rezistența aerului și parașutistul

Dacă nu ar exista aer, un parașutist ar avea după cincisprezece secunde de cădere viteza v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, mai mult de 500 km/h, și ar accelera în continuare. Atât de repede nu cade însă niciodată, pentru că aerul opune corpului care cade o rezistență, cu atât mai mare cu cât se mișcă mai repede.

Imediat după săritura din avion parașutistul are viteză mică, rezistența aerului este mică și cade aproape în cădere liberă. Odată cu viteza însă rezistența crește, viteza sporește tot mai încet, până când nu mai crește deloc. Parașutistul cade atunci cu viteză constantă, numită viteză limită. Întins pe burtă atinge aproximativ 200 km/h. Parașuta deschisă mărește brusc rezistența, iar viteza scade la câțiva metri pe secundă, cu care se poate ateriza în siguranță.

Aerul ajută și la ploaie. O picătură dintr-un nor aflat la doi kilometri înălțime ar ajunge jos, fără rezistența aerului, cu viteza $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2.000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, peste 700 km/h, viteza unui avion. În realitate însă chiar și picăturile mari cad doar cu aproximativ 9 m/s.

Pana și foaia de hârtie au viteza limită foarte mică, o ating aproape imediat, și de aceea coboară atât de încet. De ce contează atât de mult forma și masa, va arăta dinamica. Piatra lăsată să cadă în fântână sau săritorul de pe turn au viteze de cel mult în jur de șaptezeci de kilometri pe oră, iar la acestea rezistența aerului este încă mică, de aceea formulele căderii libere se potrivesc bine.

Calculatorul căderii libere

Completează durata căderii, iar calculatorul îți spune de la ce înălțime a căzut corpul și cu ce viteză a lovit solul. Calculează cu g = 9,81 m/s² și fără rezistența aerului.

Și invers: introdu înălțimea, iar calculatorul stabilește cât timp cade corpul și cu ce viteză ajunge jos.

O piatră care cade face o singură mișcare, verticală în jos. Adesea însă un corp face mai multe mișcări deodată: o barcă ce se îndreaptă spre malul opus este dusă de curent, iar picăturile de ploaie, care cad vertical, se văd dintr-o mașină în mers căzând oblic. Unde ajunge barca și încotro trebuie să țintească pentru a acosta exact vizavi, vom calcula în articolul următor, Compunerea mișcărilor.