Ελεύθερη πτώση

Άσε ταυτόχρονα από το χέρι σου κλειδιά και ένα φύλλο χαρτί. Τα κλειδιά κουδουνίζουν στο πάτωμα σχεδόν αμέσως, το χαρτί κουνιέται για λίγο ακόμη στον αέρα. Τα βαρύτερα πράγματα λοιπόν πέφτουν πιο γρήγορα; Αυτό ακριβώς πίστευε για σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια η πλειονότητα των λογίων, ξεκινώντας από τον Αριστοτέλη. Μόλις στο γύρισμα του 16ου προς τον 17ο αιώνα ο Γαλιλαίος Γαλιλέι κατάλαβε ότι τη διαφορά την κάνει ο αέρας. Αν δεν υπήρχε αέρας, μια πέτρα, ένα σφυρί και ένα φτερό πουλιού θα έπεφταν εξίσου γρήγορα.

Σύμφωνα με τον θρύλο, ο Γαλιλαίος για απόδειξη στους φοιτητές του έριξε από τον Κεκλιμένο Πύργο της Πίζας δύο σφαίρες διαφορετικού βάρους. Η ιστορία είναι ωραία, τη γνωρίζουμε όμως μόνο από τον μαθητή και βιογράφο του και οι ιστορικοί αμφιβάλλουν ότι πράγματι έγινε. Ο Γαλιλαίος στην πραγματικότητα το κατάλαβε με πιο υπομονετικά πειράματα, στα οποία θα φτάσουμε ακόμη.

Σφυρί και φτερό στη Σελήνη

Στη Γη αυτό φαίνεται δύσκολα, επειδή ο αέρας βρίσκεται παντού γύρω μας. Στη Σελήνη όμως δεν υπάρχει. Το 1971 ο αστροναύτης Ντέιβιντ Σκοτ της αποστολής Apollo 15 άφησε εκεί μπροστά στην τηλεοπτική κάμερα από το ίδιο ύψος ένα γεωλογικό σφυρί και ένα φτερό γερακιού. Το φτερό δεν ήταν επιλεγμένο τυχαία: η σεληνάκατος της αποστολής έφερε το όνομα Falcon, στα ελληνικά γεράκι. Και τα δύο έπεφταν εξίσου γρήγορα και έφτασαν και τα δύο στη σεληνιακή σκόνη την ίδια στιγμή. Ο Σκοτ σχολίασε ξερά ότι ο κύριος Γαλιλαίος είχε δίκιο.

Αριστερά είναι η Σελήνη, δεξιά για σύγκριση η Γη με αέρα.

Την κίνηση ενός σώματος που το αφήνουμε από την ηρεμία και που μετά πέφτει μόνο επειδή το έλκει η Γη (ή η Σελήνη), χωρίς καμία αντίσταση του αέρα, την ονομάζουμε ελεύθερη πτώση. Στη Σελήνη σε ελεύθερη πτώση πέφτουν και τα φτερά και τα σφυριά. Στη Γη πολύ κοντά σε αυτήν είναι η πτώση μιας πέτρας, των κλειδιών ή ενός μήλου, τουλάχιστον όσο δεν πέφτουν από μεγάλο ύψος. Το φτερό και το χαρτί σε ελεύθερη πτώση δεν πέφτουν, αυτά ο αέρας τα φρενάρει υπερβολικά.

Η πτώση γίνεται με επιτάχυνση g

Ο Γαλιλαίος ανακάλυψε και κάτι ακόμη. Η ταχύτητα ενός σώματος που πέφτει αυξάνεται ομοιόμορφα, κάθε δευτερόλεπτο προστίθεται το ίδιο. Η ελεύθερη πτώση είναι έτσι μια ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση από την ηρεμία. Η επιτάχυνσή της είναι για όλα τα σώματα στο ίδιο μέρος ίδια, ονομάζεται επιτάχυνση της βαρύτητας και συμβολίζεται g. Ακούγεται παράξενο, αφού το σφυρί είναι πολύ βαρύτερο από το φτερό. Η Γη το έλκει μεν περισσότερο, αλλά και αυτό αντιστέκεται περισσότερο στο να τεθεί σε κίνηση, και τα δύο εξισορροπούνται ακριβώς. Γιατί συμβαίνει αυτό, θα το δείξουν οι δυνάμεις. Στα μέρη μας είναι

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

Μια πέτρα που πέφτει ελεύθερα έχει κάθε δευτερόλεπτο ταχύτητα μεγαλύτερη κατά 9,81 m/s. Η ακριβής τιμή διαφέρει λίγο από τόπο σε τόπο: στον ισημερινό η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι περίπου 9,78 m/s², στους πόλους 9,83 m/s². Για μια εκτίμηση με το μυαλό αρκεί το 10 m/s². Στη Σελήνη είναι περίπου έξι φορές μικρότερη, και έτσι το σφυρί και το φτερό του Σκοτ έπεφταν στη Σελήνη αισθητά πιο αργά από μια πέτρα στη Γη.

Το σώμα πέφτει κατά μήκος μιας κατακόρυφης ευθείας, και γι' αυτό τη θετική φορά την επιλέγουμε προς τα κάτω. Η επιτάχυνση και η ταχύτητα βγαίνουν τότε θετικές. Οι τύποι της ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης υ = υ₀ + α · t και $s={\upsilon }_0\cdot t+\frac{1}{2}\alpha t^2$ απλοποιούνται εδώ. Το σώμα ξεκινά από την ηρεμία, η αρχική ταχύτητα είναι λοιπόν υ₀ = 0, και η επιτάχυνση είναι α = g. Το διάστημα θα το συμβολίζουμε h ως ύψος, επειδή λέει πόσα μέτρα έπεσε το σώμα. Μένει:

$$\upsilon =g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Τον χρόνο t τον μετράμε από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα, το υ είναι η ταχύτητα εκείνη τη στιγμή και το h το ύψος κατά το οποίο έπεσε το σώμα στο μεταξύ. Μετά το πρώτο δευτερόλεπτο η πέτρα έχει ταχύτητα 9,81 m/s και έχει πέσει κατά 4,9 m. Μετά από δύο δευτερόλεπτα έχει 19,6 m/s και έχει πέσει κατά 19,6 m, μετά από τρία έχει 29,4 m/s και βρίσκεται ήδη 44,1 m κάτω από το σημείο όπου την αφήσαμε.

Ίσως σου έρθει στο μυαλό να υπολογίσεις το ύψος ως ταχύτητα επί χρόνο. Την ταχύτητα 19,6 m/s όμως η πέτρα την έχει μόνο στο τέλος του δεύτερου δευτερολέπτου, πριν από αυτό έπεφτε πιο αργά, και το αποτέλεσμα θα έβγαινε διπλάσιο. Γι' αυτόν ακριβώς τον λόγο στον τύπο υπάρχει το μισό.

Ίχνη ανά ίσους χρόνους

Στο σχήμα πέφτει μια μπίλια, σε αργή κίνηση, για να φαίνεται κάτι, και μετά από κάθε ίσο χρονικό διάστημα, για παράδειγμα ένα δέκατο του δευτερολέπτου, αφήνει πίσω της ένα πορτοκαλί ίχνος. Τα ίχνη απομακρύνονται όλο και περισσότερο μεταξύ τους, επειδή η μπίλια γίνεται κάθε στιγμή ταχύτερη. Σε ένα τμήμα του χρόνου η μπίλια πέφτει κατά ένα τμήμα του διαστήματος, σε δύο τμήματα του χρόνου κατά 2² = 4 τμήματα, σε τρία κατά 3² = 9 και σε τέσσερα κατά 4² = 16 τμήματα. Τα τμήματα ανάμεσα στα ίχνη έχουν λοιπόν μήκος 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 και 16 − 9 = 7 τμήματα. Τα διαδοχικά τετράγωνα διαφέρουν κατά περιττούς αριθμούς.

Η ελεύθερη πτώση ήταν για τα τότε ρολόγια υπερβολικά γρήγορη, και γι' αυτό ο Γαλιλαίος άφηνε μπίλιες να κυλούν σε ένα ελαφρά κεκλιμένο αυλάκι, όπου όλα συμβαίνουν πιο αργά. Βρήκε ακριβώς αυτούς τους περιττούς αριθμούς, 1 : 3 : 5 : 7.

Πόσο βαθύ είναι το πηγάδι;

Στο εξοχικό σου έχεις ένα παλιό πηγάδι και θέλεις να μάθεις πόσο βαθιά βρίσκεται η επιφάνεια του νερού. Ρίχνεις μέσα μια πέτρα και με το χρονόμετρο μετράς ότι πέφτει στο νερό σε 2 s. Πρώτα γράφουμε τι ξέρουμε για την πτώση:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Η πέτρα πέφτει από την ηρεμία, άρα αντικαθιστούμε κατευθείαν στον τύπο του ύψους:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Τα δευτερόλεπτα στο τετράγωνο απλοποιούνται και μένουν μέτρα. Η επιφάνεια του νερού βρίσκεται περίπου 19,6 m κάτω από το χείλος του πηγαδιού, αρκετά βαθιά. Για γρήγορο έλεγχο παίρνουμε με στρογγυλοποίηση g ≈ 10 m/s²: το μισό του δέκα επί τέσσερα κάνει είκοσι μέτρα. Βγαίνει σωστά.

Τον χρόνο που χρειάζεται ο ήχος του πλατσουρίσματος για να ανέβει πίσω επάνω τον αγνοήσαμε. Ο ήχος διανύει είκοσι μέτρα περίπου σε έξι εκατοστά του δευτερολέπτου, και αυτό μπροστά σε δύο δευτερόλεπτα σχεδόν δεν φαίνεται. Ούτε η αντίσταση του αέρα φρενάρει ιδιαίτερα την πέτρα στα είκοσι μέτρα.

Η ταχύτητα της πέτρας σχηματίζει στη γραφική παράσταση μια ευθεία, που κάθε δευτερόλεπτο ανεβαίνει κατά 9,81 m/s. Η κλίση της είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας g. Το διάστημα το βρίσκουμε ως εμβαδόν κάτω από τη γραφική παράσταση, εδώ ως κόκκινο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 2 s και 19,6 m/s. Το εμβαδόν του είναι $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, ακριβώς όπως μας βγήκε από τον τύπο.

Βουτιά από πλατφόρμα δέκα μέτρων

Η ψηλότερη πλατφόρμα για καταδύσεις βρίσκεται δέκα μέτρα πάνω από το νερό. Πόση ώρα πέφτει ο καταδύτης και με ποια ταχύτητα χτυπά στο νερό; Στην πραγματικότητα σπρώχνεται από την πλατφόρμα και στον αέρα στριφογυρίζει, εμείς όμως το απλοποιούμε: απλώς πέφτει από την ηρεμία σαν πέτρα.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ \upsilon & =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Αυτή τη φορά ξέρουμε το ύψος και ζητάμε τον χρόνο, και αυτόν πρέπει να τον εκφράσουμε από τον τύπο του ύψους. Πολλαπλασιάζουμε πρώτα και τα δύο μέλη με δύο, οπότε εξαφανίζεται το κλάσμα. Μετά τα διαιρούμε με την επιτάχυνση της βαρύτητας και στο δεύτερο μέλος μένει μόνο ο χρόνος στο τετράγωνο:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Προς το παρόν έχουμε τον χρόνο στο τετράγωνο, χρειαζόμαστε όμως τον ίδιο τον χρόνο. Βοηθά η τετραγωνική ρίζα: παίρνουμε ρίζα και στα δύο μέλη. Το αρνητικό αποτέλεσμα δεν μας ενδιαφέρει, ο χρόνος από τη στιγμή που αφήνουμε το σώμα είναι θετικός:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Αντικαθιστούμε:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Τα μέτρα απλοποιούνται και τα δευτερόλεπτα στο τετράγωνο περνούν από τον παρονομαστή στον αριθμητή. Η ρίζα τους δίνει μετά δευτερόλεπτα. Την ταχύτητα πρόσκρουσης τη βρίσκουμε από τον τύπο της ταχύτητας:

$$\begin{array}{rl}\upsilon & =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Ο καταδύτης πέφτει λιγότερο από ενάμισι δευτερόλεπτο και χτυπά στο νερό με ταχύτητα περίπου 14 m/s, δηλαδή περίπου 50 km/h. Τόσο γρήγορα κινούνται τα αυτοκίνητα μέσα στην πόλη.

Την ταχύτητα πρόσκρουσης μπορούμε να τη βρούμε και χωρίς τον χρόνο. Από τη σχέση ${\upsilon }^2={\upsilon }_0^2+2\cdot \alpha \cdot s$ με μηδενική αρχική ταχύτητα, επιτάχυνση g και διάστημα h προκύπτει $\upsilon =\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Μετά την αντικατάσταση έχουμε $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, το ίδιο όπως πριν.

Προσοχή σε μία παγίδα. Από διπλάσιο ύψος ο καταδύτης δεν πέφτει διπλάσιο χρόνο. Το ύψος βρίσκεται στον τύπο κάτω από τη ρίζα, και γι' αυτό από είκοσι μέτρα θα έπεφτε μόνο περίπου 2,02 s. Συμφωνεί με το πηγάδι: σε δύο δευτερόλεπτα η πέτρα έπεσε σχεδόν είκοσι μέτρα.

Ο ίδιος τύπος χρησιμεύει και σε ένα διασκεδαστικό πείραμα. Ένας φίλος κρατά έναν χάρακα κατακόρυφα και εσύ έχεις τον αντίχειρα και τον δείκτη ανοιχτά γύρω από το κάτω άκρο του. Ο φίλος τον αφήνει χωρίς προειδοποίηση και εσύ τον πιάνεις όσο πιο γρήγορα μπορείς. Αν ο χάρακας προλάβει να πέσει κατά 20 cm, έπεφτε $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, και αυτός είναι ο χρόνος αντίδρασής σου.

Αντίσταση του αέρα και αλεξιπτωτιστής

Αν δεν υπήρχε αέρας, ένας αλεξιπτωτιστής θα είχε μετά από δεκαπέντε δευτερόλεπτα πτώσης ταχύτητα υ = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, περισσότερο από 500 km/h, και θα συνέχιζε να επιταχύνεται. Τόσο γρήγορα όμως δεν πέφτει ποτέ, επειδή ο αέρας ασκεί στο σώμα που πέφτει αντίσταση, και μάλιστα τόσο μεγαλύτερη όσο πιο γρήγορα κινείται.

Αμέσως μετά το πήδημα από το αεροπλάνο ο αλεξιπτωτιστής κινείται αργά, η αντίσταση του αέρα είναι μικρή και πέφτει σχεδόν σε ελεύθερη πτώση. Με την ταχύτητα όμως η αντίσταση δυναμώνει, η ταχύτητα αυξάνεται όλο και πιο αργά, ώσπου παύει να αυξάνεται εντελώς. Ο αλεξιπτωτιστής πέφτει τότε με σταθερή ταχύτητα, που την ονομάζουμε οριακή ταχύτητα. Απλωμένος μπρούμυτα φτάνει περίπου τα 200 km/h. Το ανοιχτό αλεξίπτωτο αυξάνει απότομα την αντίσταση και η ταχύτητα πέφτει σε λίγα μέτρα το δευτερόλεπτο, με τα οποία μπορούμε να προσγειωθούμε με ασφάλεια.

Ο αέρας είναι χρήσιμος και στη βροχή. Μια σταγόνα από ένα σύννεφο σε ύψος δύο χιλιομέτρων θα έφτανε χωρίς αντίσταση του αέρα με ταχύτητα $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2.000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, πάνω από 700 km/h, με ταχύτητα αεροπλάνου. Στην πραγματικότητα όμως και οι μεγάλες σταγόνες πέφτουν μόνο με περίπου 9 m/s.

Το φτερό και το φύλλο χαρτί έχουν πολύ μικρή οριακή ταχύτητα, τη φτάνουν σχεδόν αμέσως, και γι' αυτό κατεβαίνουν τόσο αργά. Γιατί παίζουν τόσο μεγάλο ρόλο το σχήμα και η μάζα, θα το δείξει η δυναμική. Μια πέτρα στο πηγάδι ή ένας καταδύτης από την πλατφόρμα έχουν ταχύτητες το πολύ γύρω στα εβδομήντα χιλιόμετρα την ώρα, και σε αυτές η αντίσταση του αέρα είναι ακόμη μικρή, γι' αυτό οι τύποι της ελεύθερης πτώσης ισχύουν με καλή ακρίβεια.

Αριθμομηχανή ελεύθερης πτώσης

Συμπλήρωσε τον χρόνο πτώσης και η αριθμομηχανή θα σου πει από ποιο ύψος έπεσε το σώμα και με ποια ταχύτητα έφτασε. Υπολογίζει με g = 9,81 m/s² και χωρίς αντίσταση του αέρα.

Και αντίστροφα: δώσε το ύψος και η αριθμομηχανή θα βρει πόση ώρα πέφτει το σώμα και με ποια ταχύτητα φτάνει.

Μια πέτρα που πέφτει εκτελεί μία μόνο κίνηση, κατακόρυφα προς τα κάτω. Συχνά όμως ένα σώμα εκτελεί πολλές κινήσεις ταυτόχρονα: ένα βαρκάκι που κατευθύνεται προς την απέναντι όχθη το παρασύρει το ρεύμα, και οι σταγόνες της βροχής, που πέφτουν κατακόρυφα, φαίνονται από το κινούμενο αυτοκίνητο να πέφτουν λοξά. Πού θα βγει το βαρκάκι και πώς πρέπει να κατευθύνεται, για να βγει ακριβώς απέναντι, θα το υπολογίσουμε στο επόμενο άρθρο, Σύνθεση κινήσεων.