Fritt fall

Slipp nøkler og et ark papir samtidig fra hånden. Nøklene klirrer mot gulvet nesten med en gang, papiret svever fortsatt en stund i luften. Faller tyngre ting altså fortere? Det trodde de fleste lærde i nesten to tusen år, helt fra Aristoteles av. Først ved overgangen mellom 1500- og 1600-tallet kom Galileo Galilei på at det er luften som gjør forskjellen. Hvis det ikke fantes luft, ville en stein, en hammer og en fugles fjær falt like fort.

Ifølge sagnet slapp Galileo to ulikt tunge kuler fra det skjeve tårnet i Pisa for å bevise det for studentene sine. Det er en fin historie, men vi kjenner den bare fra eleven og biografen hans, og historikere tviler på at det virkelig skjedde. I virkeligheten kom Galileo fram til det gjennom mer tålmodige forsøk, som vi kommer til.

Hammer og fjær på Månen

På Jorda er det vanskelig å vise det, for luft er det overalt rundt oss. På Månen finnes det ingen. I 1971 slapp astronauten David Scott fra oppdraget Apollo 15 foran et TV-kamera en geologhammer og en falkefjær fra samme høyde. Fjæren var ikke valgt tilfeldig: landingsfartøyet til oppdraget het Falcon, på norsk falk. Begge falt like fort og begge landet i støvet i samme øyeblikk. Scott la tørt til at herr Galileo hadde rett.

Til venstre er Månen, til høyre til sammenligning Jorda med luft.

Bevegelsen til et legeme som vi slipper fra ro, og som deretter faller bare fordi Jorda (eller Månen) trekker i det, uten noen som helst luftmotstand, kaller vi fritt fall. På Månen faller både fjær og hammer i fritt fall. På Jorda kommer en fallende stein, nøkler eller et eple det ganske nær, i hvert fall så lenge de ikke faller fra stor høyde. Fjær og papir faller ikke i fritt fall, dem bremser luften altfor mye.

Fallet har akselerasjonen g

Galileo oppdaget enda en ting. Farten til et legeme som faller, vokser jevnt, like mye hvert sekund. Fritt fall er dermed en bevegelse med konstant akselerasjon fra ro. Akselerasjonen er den samme for alle legemer på samme sted, den heter tyngdeakselerasjon og skrives g. Det høres rart ut, hammeren er jo mye tyngre enn fjæren. Jorda trekker riktignok hardere i den, men den motsetter seg også like mye mer å bli satt i bevegelse, og de to tingene utligner hverandre nøyaktig. Hvorfor det er slik, ser vi først når vi kommer til krefter. Hos oss er

$$g\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2.$$

En stein som faller fritt, har hvert sekund 9,81 m/s større fart. Den nøyaktige verdien varierer litt fra sted til sted: ved ekvator er tyngdeakselerasjonen omtrent 9,78 m/s², ved polene 9,83 m/s². Til et overslag i hodet holder 10 m/s². På Månen er den omtrent seks ganger mindre, og Scotts hammer og fjær falt derfor merkbart langsommere på Månen enn en stein på Jorda.

Legemet faller langs en loddrett linje, så vi velger positiv retning nedover. Akselerasjon og fart blir da positive. Formlene for bevegelse med konstant akselerasjon v = v₀ + a · t og $s=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2$ blir her enklere. Legemet starter fra ro, så startfarten er v₀ = 0, og akselerasjonen er a = g. Strekningen skriver vi som h for høyde, fordi den sier hvor mange meter legemet faller. Det som blir igjen:

$$v=g\cdot t$$

$$h=\frac{1}{2}g{t}^2$$

Tiden t måler vi fra slippet, v er farten i det øyeblikket og h høyden legemet har falt i løpet av den tiden. I løpet av det første sekundet får steinen farten 9,81 m/s og har falt 4,9 m. Etter to sekunder har den 19,6 m/s og har falt 19,6 m, etter tre har den 29,4 m/s og er allerede 44,1 m under stedet vi slapp den fra.

Det ligger nær å regne ut høyden som fart ganger tid. Men farten 19,6 m/s har steinen først på slutten av det andre sekundet, før det falt den langsommere, og resultatet ville blitt dobbelt så stort. Nettopp derfor står det en halv i formelen.

Spor etter like tidsrom

På bildet faller en kule, i sakte film for at vi skal se noe, og etter hvert like lange tidsrom, for eksempel en tidel av et sekund, etterlater den et oransje spor. Sporene kommer stadig lenger fra hverandre, fordi kulen blir raskere for hvert øyeblikk. På én del tid faller kulen én del strekning, på to deler tid 2² = 4 deler, på tre 3² = 9 og på fire 4² = 16 deler. Avstandene mellom sporene blir da 1, 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5 og 16 − 9 = 7 deler. To nabokvadrater skiller seg fra hverandre med et oddetall.

Fritt fall var for raskt for datidens klokker, og derfor lot Galileo kuler rulle langs en svakt skrånende renne, der alt skjer langsommere. Han fant nettopp disse oddetallene, 1 : 3 : 5 : 7.

Hvor dyp er brønnen?

Ved hytta har du en gammel brønn, og du vil vite hvor dypt vannflaten ligger. Du slipper en stein nedi og måler med stoppeklokke at den plasker etter 2 s. Først skriver vi opp hva vi vet om fallet:

$$\begin{array}{rl}t& =2\mathrm{s}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ h& =?(\mathrm{m})\end{array}$$

Steinen faller fra ro, så vi setter rett inn i formelen for høyde:

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{1}{2}\cdot g\cdot t^2=\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot (2\mathrm{s}{)}^2\\ & =\frac{1}{2}\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 4{\mathrm{s}}^2\approx 19,6\mathrm{m}\end{array}$$

Sekundene i andre forkortes, og meter blir igjen. Vannflaten ligger omtrent 19,6 m under kanten av brønnen, skikkelig dypt. Som en rask kontroll tar vi avrundet g ≈ 10 m/s²: halvparten av ti ganger fire er tjue meter. Det stemmer.

Tiden lyden av plasket bruker på veien opp igjen, har vi sett bort fra. Lyden kommer tjue meter på omtrent seks hundredeler av et sekund, og det merkes nesten ikke mot to sekunder. Heller ikke luftmotstanden bremser steinen særlig på tjue meter.

Farten til steinen danner i grafen en rett linje som stiger 9,81 m/s per sekund. Stigningstallet er tyngdeakselerasjonen g. Strekningen finner vi som arealet under grafen, her som den røde trekanten med katetene 2 s og 19,6 m/s. Arealet er $\frac{1}{2}\cdot 2\mathrm{s}\cdot 19,6\mathrm{m}/\mathrm{s}=19,6\mathrm{m}$, nøyaktig som vi fikk av formelen.

Stup fra ti meter

Den høyeste plattformen for stup er ti meter over vannflaten. Hvor lenge faller stuperen, og med hvilken fart treffer han vannet? I virkeligheten hopper han av plattformen og snurrer i luften, men vi forenkler: han faller rett og slett fra ro som en stein.

$$\begin{array}{rl}h& =10\mathrm{m}\\ g& =9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\\ t& =?(\mathrm{s})\\ v& =?(\mathrm{m}/\mathrm{s})\end{array}$$

Denne gangen kjenner vi høyden og leter etter tiden, og den må vi løse ut av formelen for høyde. Først multipliserer vi begge sider med to, slik at brøken forsvinner. Deretter deler vi dem på tyngdeakselerasjonen, og på høyre side blir det bare tiden i andre igjen:

$$\begin{array}{rcl}h& =& \frac{1}{2}g{t}^2/\cdot 2\\ 2h& =& g{t}^2/:g\\ \frac{2h}{g}& =& t^2\end{array}$$

Nå har vi tiden i andre, men vi trenger tiden selv. Kvadratroten hjelper: vi tar kvadratroten av begge sider. Et negativt resultat interesserer oss ikke, tiden fra slippet er positiv:

$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Vi setter inn:

$$\begin{array}{rl}t& =\sqrt{\frac{2\cdot 10\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx \sqrt{2,04{\mathrm{s}}^2}\\ & \approx 1,43\mathrm{s}\end{array}$$

Meterne forkortes, og sekunder i andre flyttes fra nevneren til telleren. Kvadratroten av dem gir så sekunder. Farten ved nedslaget får vi fra formelen for fart:

$$\begin{array}{rl}v& =g\cdot t\approx 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 1,43\mathrm{s}\\ & \approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx 50\mathrm{km}/\mathrm{h}\end{array}$$

Stuperen faller i knapt halvannet sekund og treffer vannet med en fart på omtrent 14 m/s, altså omtrent 50 km/h. Så fort kjører biler i byen.

Farten ved nedslaget kan vi også finne uten tid. Fra sammenhengen $v^2=v_0^2+2\cdot a\cdot s$ med startfart null, akselerasjonen g og strekningen h får vi $v=\sqrt{2\cdot g\cdot h}$. Etter innsetting har vi $\sqrt{196,2{\mathrm{m}}^2{/\mathrm{s}}^2}\approx 14\mathrm{m}/\mathrm{s}$, det samme som før.

Pass på en felle. Fra dobbelt så stor høyde faller ikke stuperen dobbelt så lenge. Høyden står under rottegnet i formelen, så fra tjue meter ville han falt bare omtrent 2,02 s. Det stemmer med brønnen: på to sekunder falt steinen knapt tjue meter.

Den samme formelen kan brukes til et morsomt forsøk. En venn holder en linjal loddrett, og du har tommel og pekefinger åpne rundt den nederste enden. Vennen slipper den uten varsel, og du griper den så raskt du kan. Når linjalen rekker å falle 20 cm, har den falt i $\sqrt{\frac{2\cdot 0,2\mathrm{m}}{9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2}}\approx 0,2\mathrm{s}$, og det er reaksjonstiden din.

Luftmotstand og fallskjermhopper

Hvis det ikke fantes luft, ville en fallskjermhopper etter femten sekunders fall hatt farten v = 9,81 m/s² · 15 s ≈ 147 m/s, mer enn 500 km/h, og han ville akselerert videre. Så fort faller han aldri, for luften yter motstand mot et legeme som faller, og større motstand jo fortere det beveger seg.

Rett etter at fallskjermhopperen har hoppet ut av flyet, har han lav fart, luftmotstanden er liten og han faller nesten i fritt fall. Men med farten vokser motstanden, farten øker stadig langsommere, til den slutter å øke helt. Fallskjermhopperen faller da med konstant fart, som vi kaller terminalfart. Flat på magen når han omtrent 200 km/h. Åpen fallskjerm øker luftmotstanden kraftig, og farten synker til noen få meter per sekund, som man trygt kan lande med.

Luften kommer også godt med når det regner. En regndråpe fra en sky i to kilometers høyde ville uten luftmotstand truffet med farten $\sqrt{2\cdot 9,81{\mathrm{m}/\mathrm{s}}^2\cdot 2000\mathrm{m}}\approx 198\mathrm{m}/\mathrm{s}$, over 700 km/h, som et fly. I virkeligheten faller også store dråper bare med omtrent 9 m/s.

Fjær og papirark har en svært liten terminalfart, de når den nesten øyeblikkelig, og derfor daler de så sakte ned. Hvorfor form og masse betyr så mye, viser dynamikken. En stein i en brønn eller en stuper fra et tårn har farter på høyst rundt sytti kilometer i timen, og da er luftmotstanden fortsatt liten, så formlene for fritt fall stemmer godt.

Kalkulator for fritt fall

Fyll inn falltiden, så sier kalkulatoren fra hvilken høyde legemet falt og med hvilken fart det traff bakken. Den regner med g = 9,81 m/s² og uten luftmotstand.

Og omvendt: fyll inn høyden, så bestemmer kalkulatoren hvor lenge legemet faller og med hvilken fart det treffer.

En stein som faller, utfører bare én bevegelse, rett nedover. Ofte utfører imidlertid et legeme flere bevegelser samtidig: en liten båt som styrer mot den andre bredden, blir ført av strømmen, og regndråper som faller loddrett, flyr på skrå fra en bil i fart. Hvor båten kommer fram og hvordan den må styre for å lande rett overfor, regner vi ut i neste artikkel, Sammensatte bevegelser.